Altro esercizietto

[TheWiz@rd]

eccone un altro...

verificare l'invertibilità della funzione f(x)=x^2+2tanx+1 nell'intorno di Xo=0;Calcolare la derivata dell'inversa di f nell'intorno del punto f(0)

TheWiz@rd

[fireball1]

Innanzitutto calcoliamo la derivata di f(x):
f'(x) = 2x + 2*(1 + tg²x) = 2(x + tg²x + 1)
La funzione è invertibile se è crescente nell'intorno di zero.
Risolvendo per via grafica o numerica la
disequazione trascendente f'(x) > 0 , le cui
soluzioni rappresentano gli intervalli in cui
la funzione è crescente, si osserva che anche
nell'intorno di zero f(x) è strettamente crescente.
Dunque è invertibile. f(0) = 1
La derivata dell'inversa è: F'(y) = 1/(2*(x + tg²x + 1))
che in x = 0 vale 1/2, dunque F'(1) = 1/2