Altro dubbio su funzione a due variabili
[tex]f(x,y)=\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Vale questa se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] altrimenti vale 0.
Verificare che sia continua, che esistano le derivate parziali prime e sia differenziabile, ovviamente tutto nel punto [tex](0,0)[/tex]
Ora per il limite:
[tex]\lim_{(x,y )\to \(0,0) }\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Ho pensato di fare una restrizione, non so se sia utile e di porre x=y, così calcolerei:
[tex]\lim_{y \to 0 }\frac{y^2}{y^2+|y|}[/tex]
Che dovrei potere scrivere come:
$\lim_{y \to 0 }1-\frac{|y|}{y^2+|y|}$
Ho pensato, anche se non so quanto vale quella frazione, il limite sarebbe 1 meno qualcosa (che mi sembra maggiore di 0), quindi 1- qualcosa è maggiore di 0.
Siccome ho trovato una restrizione che ha limite diverso da 0 la funzione non dovrebbe essere continua lì.
Correggetemi perchè prevedo di aver fatto un macello
Vale questa se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] altrimenti vale 0.
Verificare che sia continua, che esistano le derivate parziali prime e sia differenziabile, ovviamente tutto nel punto [tex](0,0)[/tex]
Ora per il limite:
[tex]\lim_{(x,y )\to \(0,0) }\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Ho pensato di fare una restrizione, non so se sia utile e di porre x=y, così calcolerei:
[tex]\lim_{y \to 0 }\frac{y^2}{y^2+|y|}[/tex]
Che dovrei potere scrivere come:
$\lim_{y \to 0 }1-\frac{|y|}{y^2+|y|}$
Ho pensato, anche se non so quanto vale quella frazione, il limite sarebbe 1 meno qualcosa (che mi sembra maggiore di 0), quindi 1- qualcosa è maggiore di 0.
Siccome ho trovato una restrizione che ha limite diverso da 0 la funzione non dovrebbe essere continua lì.
Correggetemi perchè prevedo di aver fatto un macello
Risposte
Per verificare la continuità io avrei utilizzato un avvicinamento per parabole, con x=y^2 così posso trascurare il modulo considerandone il quadrato e ne verifico velocemente la continuità. Con un avvicinamento per rette del tipo y=x separi i casi e i due limiti tendono entrambi a zero.
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(xy)/(y^2+|x|) $
Avvicinamento per parabole:
$ x=y^2 $
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->y^3/(y^2+y^2)=lim_(x,yarr 0,0) ->y/2=0$
$y=x$
Per x<0:
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(x^2)/(x^2-x)=0 $
Per x>0
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(x^2)/(x^2+x)=0 $
Così è verificata la continuità in (0,0).
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(xy)/(y^2+|x|) $
Avvicinamento per parabole:
$ x=y^2 $
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->y^3/(y^2+y^2)=lim_(x,yarr 0,0) ->y/2=0$
$y=x$
Per x<0:
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(x^2)/(x^2-x)=0 $
Per x>0
$ lim_(x,yrarr 0,0) ->(x^2)/(x^2+x)=0 $
Così è verificata la continuità in (0,0).
@Darèios89: Direi che il limite [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{y^2}{y^2+|y|}$[/tex] dovresti saperlo calcolare da Analisi I, no?
@Gypsy: Perchè basta controllare il limite lungo una sola parabola o una sola retta per essere sicuri della sua esistenza?... Consiglio di rivedere la teoria.
Per risolvere, consiglio di minorare il denominatore con la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica, ossia di tener presente che:
[tex]$\frac{|x|+y^2}{2}\geq \sqrt{|x|\ y^2} \quad \Rightarrow \quad |x|+y^2\geq 2\ \sqrt{|x|}\ |y|$[/tex].
@Gypsy: Perchè basta controllare il limite lungo una sola parabola o una sola retta per essere sicuri della sua esistenza?... Consiglio di rivedere la teoria.
Per risolvere, consiglio di minorare il denominatore con la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica, ossia di tener presente che:
[tex]$\frac{|x|+y^2}{2}\geq \sqrt{|x|\ y^2} \quad \Rightarrow \quad |x|+y^2\geq 2\ \sqrt{|x|}\ |y|$[/tex].
@gugo82
Dovrei saperlo calcolare...punto
Non da analisi 1.
Quella che devo dare è analisi 1, solo che noi facciamo anche parte della 2, cioè funzioni a due variabili e integrali.
P.S....non conosco la disuguaglianza tra media aritmetica e geoemtrica..non è che mi sia molto chiaro..
@Darèios89: Direi che il limite dovresti saperlo calcolare da analisi I, no?
Dovrei saperlo calcolare...punto
Non da analisi 1.Quella che devo dare è analisi 1, solo che noi facciamo anche parte della 2, cioè funzioni a due variabili e integrali.
P.S....non conosco la disuguaglianza tra media aritmetica e geoemtrica..non è che mi sia molto chiaro..
Se non vuoi scomodare la disuguaglianza di gugo (che comunque è il modo più veloce) puoi dimostrare che $|f(x,y)|$ ha limite zero per $(x,y)->(0,0)$(seguirà poi chè, poichè $-|f(x,y)|<=f(x,y)<=|f(x,y)|$ allora anche $f(x,y)$ ha limite zero per $(x,y)->(0,0)$
Su $|f(x,y)|$ valgono queste disuguaglianze:
$0<=|((xy)/(y^2+|x|))|<=|((xy)/|x|)|<=|y|$ ...
Quindi il nostro limite vale zero.
Su $|f(x,y)|$ valgono queste disuguaglianze:
$0<=|((xy)/(y^2+|x|))|<=|((xy)/|x|)|<=|y|$ ...
Quindi il nostro limite vale zero.
@Darèios: Per la questione del limite... 
!
La disuguaglianza AM-GM (arithmetic mean-geometric mean, o media aritmetica-media geometrica) è la seguente:
La disuguaglianza si può dimostrare in millemila modi.
Un modo è elevare ambo i membri al quadrato e ridurre il tutto a [tex]$(a-b)^2\geq 0$[/tex], che è banalmente vera per ogni [tex]$a,b\geq 0$[/tex]; inoltre l'uguaglianza vale solo se [tex]$a-b=0$[/tex], ossia se [tex]$a=b$[/tex].
Un altro modo è provare che [tex]$4A^2(a,b)-4G^2(a,b)$[/tex] è [tex]$\geq 0$[/tex]: una via semplice è supporre [tex]$a>0$[/tex] (per [tex]$a=0$[/tex] la disuguaglianza è banalmente vera) e dividere per [tex]$a$[/tex], in modo da trasformare la funzione [tex]$4A^2(a,b)-4G^2(a,b)$[/tex] in una funzione ausiliaria [tex]$\phi$[/tex] del rapporto [tex]$t=\tfrac{b}{a} \geq 0$[/tex]:
[tex]$\phi (t)=(1+t)^2-4t$[/tex]
e far vedere che [tex]$\phi (t)\geq 0$[/tex] per [tex]$t\geq 0$[/tex]; ma ciò è banale, perchè [tex]$\phi (t)=(1-t)^2 \geq 0$[/tex]. Inoltre da ll'ugualianza [tex]$\phi (t)=0 \Leftrightarrow t=1$[/tex] si ricava subito che l'uguaglianza in (AMGM) vale se e solo se [tex]$a=b$[/tex].
!La disuguaglianza AM-GM (arithmetic mean-geometric mean, o media aritmetica-media geometrica) è la seguente:
Siano [tex]$a,b\geq 0$[/tex] e siano [tex]$A(a,b)=\frac{a+b}{2}$[/tex] e [tex]$G(a,b)=\sqrt{a\ b}$[/tex] rispettivamente la media aritmetica e la media geometrica di [tex]$a,b$[/tex].
Risulta:
(AM-GM) [tex]$G(a,b)\leq A(a,b)$[/tex] ossia [tex]$\sqrt{a\ b} \leq \frac{a+b}{2}$[/tex]
con uguaglianza se e solo se [tex]$a=b$[/tex].
La disuguaglianza si può dimostrare in millemila modi.
Un modo è elevare ambo i membri al quadrato e ridurre il tutto a [tex]$(a-b)^2\geq 0$[/tex], che è banalmente vera per ogni [tex]$a,b\geq 0$[/tex]; inoltre l'uguaglianza vale solo se [tex]$a-b=0$[/tex], ossia se [tex]$a=b$[/tex].
Un altro modo è provare che [tex]$4A^2(a,b)-4G^2(a,b)$[/tex] è [tex]$\geq 0$[/tex]: una via semplice è supporre [tex]$a>0$[/tex] (per [tex]$a=0$[/tex] la disuguaglianza è banalmente vera) e dividere per [tex]$a$[/tex], in modo da trasformare la funzione [tex]$4A^2(a,b)-4G^2(a,b)$[/tex] in una funzione ausiliaria [tex]$\phi$[/tex] del rapporto [tex]$t=\tfrac{b}{a} \geq 0$[/tex]:
[tex]$\phi (t)=(1+t)^2-4t$[/tex]
e far vedere che [tex]$\phi (t)\geq 0$[/tex] per [tex]$t\geq 0$[/tex]; ma ciò è banale, perchè [tex]$\phi (t)=(1-t)^2 \geq 0$[/tex]. Inoltre da ll'ugualianza [tex]$\phi (t)=0 \Leftrightarrow t=1$[/tex] si ricava subito che l'uguaglianza in (AMGM) vale se e solo se [tex]$a=b$[/tex].
"klarence":
Se non vuoi scomodare la disuguaglianza di gugo (che comunque è il modo più veloce) puoi dimostrare che $|f(x,y)|$ ha limite zero per $(x,y)->(0,0)$(seguirà poi chè, poichè $-|f(x,y)|<=f(x,y)<=|f(x,y)|$ allora anche $f(x,y)$ ha limite zero per $(x,y)->(0,0)$
Su $|f(x,y)|$ valgono queste disuguaglianze:
$0<=|((xy)/(y^2+|x|))|<=|((xy)/|x|)|<=|y|$ ...
Quindi il nostro limite vale zero.
Bene...questo già mi convince.....ma avrei potuto fare il confronto senza valore assoluto? Cioè così?
$0<=((xy)/(y^2+|x|))<=((xy)/|x|)<=y$ ...
Oppure no per via di quel valore assoluto che abbiamo al denominatore che per rendere sempre positivo necessita di avere quel valore assoluto che hai messo tu?
il valore assoluto nasce da un'altra cosa: (nel seguito x indica un vettore, non uno scalare) sai che se $ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $, allora il limite è verificato se $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |f(x) - l| < \epsilon \ se \ |x - x_0| < \delta $.
quello che tu fai nei limiti in due variabili è verificare che $ |f(x) - l| < \epsilon $, dove l in questo caso è 0. è ovvio che se trovi una funzione |g(x)| che maggiora |f(x) - l| e che inoltre tenda a 0, il limite è verificato
quello che tu fai nei limiti in due variabili è verificare che $ |f(x) - l| < \epsilon $, dove l in questo caso è 0. è ovvio che se trovi una funzione |g(x)| che maggiora |f(x) - l| e che inoltre tenda a 0, il limite è verificato
Ma...perchè scusa, il valore assoluto è nella definizione, ma lì fai un confronto, non mi pare che sia stata usata la definizione di limite, o sbaglio?
Sono più stupito di prima.
Sono più stupito di prima.
la definizione ti dice che $|f(x) - l| < \epsilon$. nessuno ti dice di fare confronti, ma per i limiti di più variabili è più comodo farli.
guarda la funzione che hai preso per maggiorare: tende a 0. questo ti dice che allora f(x) - l, in modulo, tende a 0. allora, visto che hai assunto l = 0, f(x) tende a 0 per x che tende a x_0.. se mi spieghi meglio il tuo problema cerco di essere più preciso
guarda la funzione che hai preso per maggiorare: tende a 0. questo ti dice che allora f(x) - l, in modulo, tende a 0. allora, visto che hai assunto l = 0, f(x) tende a 0 per x che tende a x_0.. se mi spieghi meglio il tuo problema cerco di essere più preciso
Non capisco ancora perchè c'è bisogno del valore assoluto, cioè io per risolvere un limite o una serie per dire uso il criterio del confronto, quindi lo applico anche qui.
Io un confronto lo faccio così:
[tex]n>\frac{n}{2}[/tex]
Non capisco perchè se avessi fatto il confronto identico che hai fatto tu, però senza valore assoluto è scorretto....
Io un confronto lo faccio così:
[tex]n>\frac{n}{2}[/tex]
Non capisco perchè se avessi fatto il confronto identico che hai fatto tu, però senza valore assoluto è scorretto....
se lo fai senza valore assoluto non stai verificando il limite (devi rispecchiare la definizione..) quello che vuoi vedere è che $ |f(x) - l| < \epsilon $. se qui ci togli il valore assoluto cosa succede? che f(x) potrebbe "distare molto" da l (prendi f(x) - l < 0) e la disuguaglianza resterebbe soddisfatta, perchè $\epsilon > 0$. in altre parole, puoi prendere un l che non sia il limite di f e tale che $f(x) - l < 0 < \epsilon$.. capisci bene che questa cosa non può funzionare.
se io trovo |g(x)| tale che $ |f(x) - l| < |g(x)| < \epsilon $ per $ x $ in un intorno di $ x_0 $ (e la disuguaglianza $ |g(x)| < \epsilon $ vale se e solo se, per definizione, $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $) allora sono sicuro che $ |f(x) - l| < \epsilon $, e quindi che il limite di f sia proprio l. capito?
ho appena modificato perchè avevo scritto una cosa di dubbia veridicità..
se io trovo |g(x)| tale che $ |f(x) - l| < |g(x)| < \epsilon $ per $ x $ in un intorno di $ x_0 $ (e la disuguaglianza $ |g(x)| < \epsilon $ vale se e solo se, per definizione, $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $) allora sono sicuro che $ |f(x) - l| < \epsilon $, e quindi che il limite di f sia proprio l. capito?
ho appena modificato perchè avevo scritto una cosa di dubbia veridicità..
@Darèios: Ricorda che [tex]$f(x,y)\to 0$[/tex] se e solo se [tex]$|f(x,y)|\to 0$[/tex] (segue dalla definizione di limite); quindi, quando devi provare che una quantità è infinitesima, per eliminare tutti gli eventuali i problemi di segno (che nascono quando vai a maggiorare, perchè i segni negativi t'invertono le disuguaglianze) conviene usare il valore assoluto.
Ah bene, mi sembra più chiaro, quindi siccome io devo verificare che il limite sia 0, siccome nella funzione ho un valore assoluto che se positivo resta invariato, se negativo si cambia di segno, per avere sempre una quantità positiva, come avevo pensato prima, metto il valore assoluto nel confronto....o sbaglio?
Detto questo, quando mi si chiede di vedere se esistono le derivate parziali in [tex](0,0[/tex] e se la funzione è differenziabile lì.
Io non so se devo calcolare con la definizione la derivata parziale, oppure dato che la funzione vale 0 in quel punto, ho che le derivate parziali esistono entrambe e sono uguali e valgono entrambe 0.
Se è così dovrei calcolare la differenziabilità, con la definizione, a parte questo stavo cercando di capire com'è il dominio della funzione, dovrei avere:
[tex]y^2+|x|\neq 0[/tex]
Penso sia vero sempre.
Quindi avrei [tex]R^2[/tex] come dominio.
Mi pare non abbia punti di accumulazione, quindi dovrebbe essere chiuso.
Detto questo, quando mi si chiede di vedere se esistono le derivate parziali in [tex](0,0[/tex] e se la funzione è differenziabile lì.
Io non so se devo calcolare con la definizione la derivata parziale, oppure dato che la funzione vale 0 in quel punto, ho che le derivate parziali esistono entrambe e sono uguali e valgono entrambe 0.
Se è così dovrei calcolare la differenziabilità, con la definizione, a parte questo stavo cercando di capire com'è il dominio della funzione, dovrei avere:
[tex]y^2+|x|\neq 0[/tex]
Penso sia vero sempre.
Quindi avrei [tex]R^2[/tex] come dominio.
Mi pare non abbia punti di accumulazione, quindi dovrebbe essere chiuso.
Se devo verificare la differenziabilità ho:
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Qui forse conviene fare qualche restrizione, ma non saprei come procedere..
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Qui forse conviene fare qualche restrizione, ma non saprei come procedere..
"Darèios89":
Ah bene, mi sembra più chiaro, quindi siccome io devo verificare che il limite sia 0, siccome nella funzione ho un valore assoluto che se positivo resta invariato, se negativo si cambia di segno, per avere sempre una quantità positiva, come avevo pensato prima, metto il valore assoluto nel confronto....o sbaglio?
è la stessa domanda che hai fatto prima. il valore assoluto che racchiude f(x) - l non è una comodità, ma una necessità (per il motivo che ti ho spiegato sopra, ovvero devi tenere conto delle distanze). il valore assoluto lo usi anche con funzioni che non hanno moduli al loro interno, prendi ad esempio la funzione $\frac{xy}{x+y} $ e prova a verificare che il limite per (x,y) che tende a 0 vale 0 (voglio vedere come fai)..
è la stessa domanda che hai fatto prima. il valore assoluto che racchiude f(x) - l non è una comodità, ma una necessità (per il motivo che ti ho spiegato sopra, ovvero devi tenere conto delle distanze). il valore assoluto lo usi anche con funzioni che non hanno moduli al loro interno, prendi ad esempio la funzione $\frac{xy}{x+y} $ e prova a verificare che il limite per (x,y) che tende a 0 vale 0 (voglio vedere come fai)..
Io, studente poco bravo farei così
Faccio un confronto, che secondo me non necessita del valore assoluto
[tex]\frac{xy}{x+1}
Il secondo tende a 0 perciò anche il primo vale 0.
Ho applicato il teorema del confronto, l'ho controllato e non c'è valore assoluto nell'enunciato.
Quindi il limite di partenza dovrebbe essere 0 se non ho sbagliato la........minorazione(lo confronto con uno maggiore, dovrebbe essere una minorazione).
P.S.....ma il limite non era in una forma indeterminata, si vedeva ad occhio o sbaglio?
"Darèios89":
Il secondo tende a 0 perciò anchei il primo vale 0
Ho applicato il teorema del confronto, l'ho controllato e non c'è valore assoluto nell'enunciato.
Quindi il limite di partenza dovrebbe essere 0 se non ho sbagliato la........minorazione(lo confronto con uno maggiore, dovrebbe essere una minorazione).
P.S.....ma il limite non era in una forma indeterminata, si vedeva ad occhio o sbaglio?
il limite era in una forma 0/0, spero che sia evidente, quindi hai sbagliato la maggiorazione perchè hai preso una funzione con lo stesso numeratore ma denominatore più grande (e quindi più piccola).. ah forse hai letto male, al denominatore avevi x+y, ma teniamo pure x+1 ormai: in questo caso la maggiorazione va bene, ma così non hai dimostrato che la funzione tende a 0: potrebbe essere anche negativa e soddisfare quella disuguaglianza ugualmente. devi trovare un termine che la minora (e col valore assoluto avresti già risolto)
facciamo un passo in avanti, considera la funzione $\frac{xy}{x+1} + 1$ e verifica che tende ad 1 se x,y -> 0,0
Ah si scusa avevo dimenticato il limite di partenza e l'ho confuso, ma non è che potrei confrontare e fare:
[tex]|\frac{xy}{x+y}|\leq |xy|[/tex]
Così non dovrebbe essere corretto?
Uffa non capisco...è come se avessi "una quantità" fratto qualcosa minore di "una quantità"...sempre vero se non sbaglio.
Cioè tipo:
[tex]|\frac{1}{........}| \leq |1|[/tex]
[tex]|\frac{xy}{x+y}|\leq |xy|[/tex]
Così non dovrebbe essere corretto?
Uffa non capisco...è come se avessi "una quantità" fratto qualcosa minore di "una quantità"...sempre vero se non sbaglio.
Cioè tipo:
[tex]|\frac{1}{........}| \leq |1|[/tex]
"Darèios89":
Ah si scusa avevo dimenticato il limite di partenza e l'ho confuso, ma non è che potrei confrontare e fare:
[tex]|\frac{xy}{x+y}|\leq |xy|[/tex]
Così non dovrebbe essere corretto?
Se [tex]$|x|,|y|<\tfrac{1}{2}$[/tex] (cosa che effettivamente accade quando [tex]$(x,y)\to (0,0)$[/tex]) allora [tex]$|x+y|\leq |x|+|y|<1$[/tex] ergo [tex]$\frac{|xy|}{|x+y|} \geq |xy|$[/tex].
Ne viene che la tua maggiorazione è falsa intorno a [tex]$(0,0)$[/tex].
"Darèios89":
Se devo verificare la differenziabilità ho:
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0) }\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Qui forse conviene fare qualche restrizione, ma non saprei come procedere..
Anche qui conviene usare la AMGM.
Infatti:
[tex]$h^2+k^2\geq 2\sqrt{h^2\ k^2} =2|h\ k| \text{ per ({\bf AMGM})}\quad \Rightarrow \quad \sqrt{h^2+k^2} \geq \sqrt{2\ |h\ k|}$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{|h\ k|}{\sqrt{2}\ \sqrt{|h\ k|}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\ \sqrt{|h\ k|}$[/tex]
quindi che il tuo nuovo limite faccia [tex]$0$[/tex] segue dal teorema dei carabinieri e dal fatto che [tex]$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sqrt{|h\ k|} =0$[/tex].
[mod="gugo82"]@Darèios89: L'avatar eccede le dimensioni massime consentite (cfr. regolamento, 2.3). Per favore, trovane uno leggermente più piccolo.[/mod]
Ho trovato sul quaderno una cosa che non ho capito questo limite lo trovo risolto così:
[tex]\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}= \frac{hk}{h^2+k^2\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Considero
[tex]E={(h,k): h=0, k\neq 0}[/tex]
hk tende a 0.
ora se prendo la restrizione dove [tex]h=k, k>0[/tex]
[tex]\frac{h^2}{2h^2\sqrt{2h^2}}= \frac{h^2}{2\sqrt{2}h}[/tex]
Non esiste limite.
Non so se ho copiato male in aula, ma non ho capito, soprattutto nemmeno :
[tex]\frac{hk}{h^2+k^2\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
[tex]\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}= \frac{hk}{h^2+k^2\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Considero
[tex]E={(h,k): h=0, k\neq 0}[/tex]
hk tende a 0.
ora se prendo la restrizione dove [tex]h=k, k>0[/tex]
[tex]\frac{h^2}{2h^2\sqrt{2h^2}}= \frac{h^2}{2\sqrt{2}h}[/tex]
Non esiste limite.
Non so se ho copiato male in aula, ma non ho capito, soprattutto nemmeno :
[tex]\frac{hk}{h^2+k^2\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
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