Altro dubbio su funzione a due variabili
[tex]f(x,y)=\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Vale questa se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] altrimenti vale 0.
Verificare che sia continua, che esistano le derivate parziali prime e sia differenziabile, ovviamente tutto nel punto [tex](0,0)[/tex]
Ora per il limite:
[tex]\lim_{(x,y )\to \(0,0) }\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Ho pensato di fare una restrizione, non so se sia utile e di porre x=y, così calcolerei:
[tex]\lim_{y \to 0 }\frac{y^2}{y^2+|y|}[/tex]
Che dovrei potere scrivere come:
$\lim_{y \to 0 }1-\frac{|y|}{y^2+|y|}$
Ho pensato, anche se non so quanto vale quella frazione, il limite sarebbe 1 meno qualcosa (che mi sembra maggiore di 0), quindi 1- qualcosa è maggiore di 0.
Siccome ho trovato una restrizione che ha limite diverso da 0 la funzione non dovrebbe essere continua lì.
Correggetemi perchè prevedo di aver fatto un macello
Vale questa se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] altrimenti vale 0.
Verificare che sia continua, che esistano le derivate parziali prime e sia differenziabile, ovviamente tutto nel punto [tex](0,0)[/tex]
Ora per il limite:
[tex]\lim_{(x,y )\to \(0,0) }\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex]
Ho pensato di fare una restrizione, non so se sia utile e di porre x=y, così calcolerei:
[tex]\lim_{y \to 0 }\frac{y^2}{y^2+|y|}[/tex]
Che dovrei potere scrivere come:
$\lim_{y \to 0 }1-\frac{|y|}{y^2+|y|}$
Ho pensato, anche se non so quanto vale quella frazione, il limite sarebbe 1 meno qualcosa (che mi sembra maggiore di 0), quindi 1- qualcosa è maggiore di 0.
Siccome ho trovato una restrizione che ha limite diverso da 0 la funzione non dovrebbe essere continua lì.
Correggetemi perchè prevedo di aver fatto un macello
Risposte
Copiato male.
Se non vuoi usare AMGM puoi ricordare che [tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex] (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex]), ergo:
[tex]$\frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]
con [tex]$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sqrt{h^2+k^2} =0$[/tex].
Se non vuoi usare AMGM puoi ricordare che [tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex] (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex]), ergo:
[tex]$\frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]
con [tex]$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sqrt{h^2+k^2} =0$[/tex].
Immaginavo avessi scritto male.. 
Mah....cerco di sforzarmi.
Io penso che [tex]|hk| \leq h^2+k^2[/tex]
Questo dovrebbe vedersi a occhio...perchè ho il prodotto di due quantità che sarà minore sicuramente della somma dei quadrati.
O sbaglio?
Per il resto, facendo delle prove, noto che è vero che
[tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex]
Però non ho capito la relazione (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex])
E poi non mi è chiaro
Cioè tu scrivi l'inverso di quello che abbiamo detto....e poi il tutto lo scrivi uguale ad un solo termine......non è che fai un minimo comune multiplo?
Non so come hai fatto.
Mah....cerco di sforzarmi.
Io penso che [tex]|hk| \leq h^2+k^2[/tex]
Questo dovrebbe vedersi a occhio...perchè ho il prodotto di due quantità che sarà minore sicuramente della somma dei quadrati.
O sbaglio?
Per il resto, facendo delle prove, noto che è vero che
[tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex]
Però non ho capito la relazione (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex])
E poi non mi è chiaro
"gugo82":
ergo:
[tex]$\frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]
con [tex]$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sqrt{h^2+k^2} =0$[/tex].
Cioè tu scrivi l'inverso di quello che abbiamo detto....e poi il tutto lo scrivi uguale ad un solo termine......non è che fai un minimo comune multiplo?
Non so come hai fatto.
hai già la risposta
la maggiorante di una "cosa positiva" tende a 0, quindi anche la cosa positiva tende a 0
"gugo82":
puoi ricordare che [tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex] (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex]).
la maggiorante di una "cosa positiva" tende a 0, quindi anche la cosa positiva tende a 0
"Darèios89":
Immaginavo avessi scritto male..
Mah....cerco di sforzarmi.
Io penso che [tex]|hk| \leq h^2+k^2[/tex]
Questo dovrebbe vedersi a occhio...perchè ho il prodotto di due quantità che sarà minore sicuramente della somma dei quadrati.
O sbaglio?
Non sbagli: è giusta pure questa, solo che è più laboriosa da provare; infatti discende dal fatto che [tex]$(|h|-\tfrac{1}{2}\ |k|)^2+\tfrac{3}{4}\ |k|^2 \geq 0$[/tex].
"Darèios89":
Per il resto, facendo delle prove, noto che è vero che
[tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex]
Però non ho capito la relazione (perchè [tex]$(|h|-|k|)^2\geq 0$[/tex])
E certo che è vero; infatti visto che [tex]$0\leq (|h|-|k|)^2 =h^2-2|h\ k|+k^2$[/tex], si ha [tex]$2|h\ k|\leq h^2+k^2$[/tex].
"Darèios89":
E poi non mi è chiaro
[quote="gugo82"] ergo:
[tex]$\frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]
con [tex]$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \sqrt{h^2+k^2} =0$[/tex].
Cioè tu scrivi l'inverso di quello che abbiamo detto....e poi il tutto lo scrivi uguale ad un solo termine......non è che fai un minimo comune multiplo?
Non so come hai fatto.[/quote]
Ma come inverso?
Da [tex]$|h\ k|\leq \frac{1}{2}\ (h^2+k^2)$[/tex] segue immediatamente che [tex]$\frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}}$[/tex] ed il secondo membro di tale relazione è uguale a [tex]$\frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]; allora è:
[tex]$0\leq \frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2}$[/tex]
e quindi:
[tex]$0\leq \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{1}{2}\ \sqrt{h^2+k^2} =0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h\ k|}{\sqrt{h^2+k^2}} =0$[/tex].
Mh si...credo di essere sulla buona strada, una cosa non ho capito: tu hai scritto:
[tex]2|hk|\leq h^2+k^2[/tex] e poi hai scritto:
[tex]|hk| \leq \frac{1}{2}(h^2+k^2)[/tex]
Hai diviso tutto per 2?
Proprietà delle potenze che mi ero scordato vero?
[tex]2|hk|\leq h^2+k^2[/tex] e poi hai scritto:
[tex]|hk| \leq \frac{1}{2}(h^2+k^2)[/tex]
Hai diviso tutto per 2?
[tex]\frac{1}{2}\sqrt{h^2+k^2}[/tex]
Proprietà delle potenze che mi ero scordato vero?
Esatto, per tutti e due i passaggi.
Ah ok.....ti ringrazio tanto....ora cerco di memorizzare meglio, quindi hai diviso per 2, bene.
P.S....ultima domanda e poi ti/vi lascio in pace.
Se una funzione non è continua in in un punto posso dire che non è derivabile, se è a una sola variabile, mentre se è a due variabili devo verificare tramite definizione se esiste o meno la derivata parziale anche se la funzione non è continua vero?
P.S....ultima domanda e poi ti/vi lascio in pace.
Se una funzione non è continua in in un punto posso dire che non è derivabile, se è a una sola variabile, mentre se è a due variabili devo verificare tramite definizione se esiste o meno la derivata parziale anche se la funzione non è continua vero?
Di norma sì.
Ad esempio la funzione:
[tex]$f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se $x=0$ oppure $y=0$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
che è nulla ovunque tranne che sugli assi coordinati, lungo i quali è costante e vale [tex]$1$[/tex], è discontinua in [tex]$(0,0)$[/tex] però ha entrambe le derivate parziali prime in [tex]$(0,0)$[/tex] (e tali derivate sono nulle).
Ad esempio la funzione:
[tex]$f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se $x=0$ oppure $y=0$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
che è nulla ovunque tranne che sugli assi coordinati, lungo i quali è costante e vale [tex]$1$[/tex], è discontinua in [tex]$(0,0)$[/tex] però ha entrambe le derivate parziali prime in [tex]$(0,0)$[/tex] (e tali derivate sono nulle).
Grazie mille...
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