Altra serie con e senza parametro $\alpha$
Ragazzi posto un'altra serie con il parametro $\alpha$ che non riesco proprio a capire come risolvere , il suo termine generale è :
$tan^(\alpha)(1/n*e^n)$
Inoltre ho provato a risolvere altre serie sempre con il parametro $\alpha$ vorrei sapere se è corretto quello che faccio o se sbaglio qualcosa.
1 ) $(arctan(1/n)^(\alpha))/(sen(1/n))$ essendo $arctan(1/n)^(\alpha)$ asintotico a $(1/n)^(\alpha)$ e $sen(1/n)$ asintotico a $1/n$ ottengo
$n/n^(\alpha)$ $=$ $(1/n)^(\alpha-1)$ che è una serie armonica generalizzata. E' Giusto?
2 ) $1/(ln n)^n$ essendo $ln n$ asintotico a $n$ ottengo $(1/n)^n$ che risolvo con il criterio della radice e ottengo la Convergenza . Giusto ?
Vi ringrazio in anticipo
$tan^(\alpha)(1/n*e^n)$
Inoltre ho provato a risolvere altre serie sempre con il parametro $\alpha$ vorrei sapere se è corretto quello che faccio o se sbaglio qualcosa.
1 ) $(arctan(1/n)^(\alpha))/(sen(1/n))$ essendo $arctan(1/n)^(\alpha)$ asintotico a $(1/n)^(\alpha)$ e $sen(1/n)$ asintotico a $1/n$ ottengo
$n/n^(\alpha)$ $=$ $(1/n)^(\alpha-1)$ che è una serie armonica generalizzata. E' Giusto?
2 ) $1/(ln n)^n$ essendo $ln n$ asintotico a $n$ ottengo $(1/n)^n$ che risolvo con il criterio della radice e ottengo la Convergenza . Giusto ?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
"frenky46":
Ragazzi posto un'altra serie con il parametro $\alpha$ che non riesco proprio a capire come risolvere , il suo termine generale è :
$tan^(\alpha)(1/n*e^n)$
Inoltre ho provato a risolvere altre serie sempre con il parametro $\alpha$ vorrei sapere se è corretto quello che faccio o se sbaglio qualcosa.
1 ) $(arctan(1/n)^(\alpha))/(sen(1/n))$ essendo $arctan(1/n)^(\alpha)$ asintotico a $(1/n)^(\alpha)$ e $sen(1/n)$ asintotico a $1/n$ ottengo
$n/n^(\alpha)$ $=$ $(1/n)^(\alpha-1)$ che è una serie armonica generalizzata. E' Giusto?
2 ) $1/(ln n)^n$ essendo $ln n$ asintotico a $n$ ottengo $(1/n)^n$ che risolvo con il criterio della radice e ottengo la Convergenza . Giusto ?
Vi ringrazio in anticipo
1) Si, o perlomeno mi trovo anche io così.
2) Senza "asintotarlo"
applica direttamente il metodo della radiceRiguardo l'altro dubbio, mi sembra che non soddisfi il criterio di convergenza; perchè $e^(\alphan)$ va ad infinito più rapidamente rispetto a $n^(\alpha)$
Grazie mille.....mi sei veramente di grande aiuto. Aspetto che mi dia qualche aiuto anche sulla prima serie
Ho fatto un'altra serie in questo modo, ma il ragiomanento mi sembra un po contorto
$(1-e^(1/n))^(\alpha)/(cos(1/n))$ essendo asintoticamente $(1-e^(1/n))$ $=$ $1/n$
poi ho riscritto $cos(1/n)$ cosi $-(1-cos(1/n))+1$ che è asintotico a $-(1/n)^2+1$ e quindi sostituendo ottengo
$(1/n)^(\alpha)/(-(1/n)^2+1)$ però non riesco a proseguire e mi sembra un ragionamento molto contorto, dove sbaglio ?
Ho fatto un'altra serie in questo modo, ma il ragiomanento mi sembra un po contorto
$(1-e^(1/n))^(\alpha)/(cos(1/n))$ essendo asintoticamente $(1-e^(1/n))$ $=$ $1/n$
poi ho riscritto $cos(1/n)$ cosi $-(1-cos(1/n))+1$ che è asintotico a $-(1/n)^2+1$ e quindi sostituendo ottengo
$(1/n)^(\alpha)/(-(1/n)^2+1)$ però non riesco a proseguire e mi sembra un ragionamento molto contorto, dove sbaglio ?
"frenky46":
Grazie mille.....mi sei veramente di grande aiuto. Aspetto che mi dia qualche aiuto anche sulla prima serie
Ho fatto un'altra serie in questo modo, ma il ragiomanento mi sembra un po contorto
$(1-e^(1/n))^(\alpha)/(cos(1/n))$ essendo asintoticamente $(1-e^(1/n))$ $=$ $1/n$
poi ho riscritto $cos(1/n)$ cosi $-(1-cos(1/n))+1$ che è asintotico a $-(1/n)^2+1$ e quindi sostituendo ottengo
$(1/n)^(\alpha)/(-(1/n)^2+1)$ però non riesco a proseguire e mi sembra un ragionamento molto contorto, dove sbaglio ?
Ricordiamo $ (a^x -1) \approx x \cdot lna $ per $x -> 0$.
Si ha:
$ \lim \frac { (1 -e^{1/n}) ^\alpha } {\cos \frac {1}{n} } = \lim ( -1 )^\alpha \cdot \frac {1}{ n \cos \frac {1}{n} } = \lim (-1)^\alpha \cdot \frac {1}{n \cdot 1 } = 0$
Infatti $\lim \cos \frac {1}{n} = 1$ ( non è forma indeterminata! }
Il termine generale è infinitesimo. Fossi in te proverei a risolverla col metodo del confronto.
Per la prima serie.... sei sicuro che l'argomento della tangente sia $ \frac {e^n}{n} $ e non $ \frac {1}{e^n \cdot n}$ ?
Perchè il limite di $\tan \frac {e^n}{n}$ per $n->\infty$ non esiste, in quanto la tangente è funzione periodica di periodo $\pi$ e $\lim_{x->\infty} \frac {e^n}{n} = +\infty$...
Perchè il limite di $\tan \frac {e^n}{n}$ per $n->\infty$ non esiste, in quanto la tangente è funzione periodica di periodo $\pi$ e $\lim_{x->\infty} \frac {e^n}{n} = +\infty$...
Purtroppo si sono sicuro sull'argomento della Tangente , infatti anche io avevo la stessa difficoltà. E purtroppo non è l'unico esercizio dove ho la tangente tendente all'infinito.
pater46 non ho capito bene il tuo ragionamento
come sei passato da $1-e^(1/n)$ a $e^(1/n)-1$ ? Cioè hai moltiplicato e diviso per $-1$ ma detro la parentesi ?
E poi utilizzando il criterio del confronto potrei confrontarla con $1/n$ ?
pater46 non ho capito bene il tuo ragionamento
Ricordiamo (ax-1)≈x⋅lna per x→0.
Si ha:
lim(1-e1n)αcos1n=lim(-1)α⋅1ncos1n=lim(-1)α⋅1n⋅1=0
come sei passato da $1-e^(1/n)$ a $e^(1/n)-1$ ? Cioè hai moltiplicato e diviso per $-1$ ma detro la parentesi ?
E poi utilizzando il criterio del confronto potrei confrontarla con $1/n$ ?
"frenky46":
Grazie mille.....mi sei veramente di grande aiuto. Aspetto che mi dia qualche aiuto anche sulla prima serie
Ho fatto un'altra serie in questo modo, ma il ragiomanento mi sembra un po contorto
$(1-e^(1/n))^(\alpha)/(cos(1/n))$ essendo asintoticamente $(1-e^(1/n))$ $=$ $1/n$
poi ho riscritto $cos(1/n)$ cosi $-(1-cos(1/n))+1$ che è asintotico a $-(1/n)^2+1$ e quindi sostituendo ottengo
$(1/n)^(\alpha)/(-(1/n)^2+1)$ però non riesco a proseguire e mi sembra un ragionamento molto contorto, dove sbaglio ?
A me sembra che
$(1-e^(1/n))^(\alpha) \sim -1/n $
$(cos(1/n))$ è semplicemente $1$ all'infinito
Quindi il tutto si riconduce a $(-1/n)^(\alpha)$ che converge per $\alpha>1$
Perchè $1-e^(1/n)\sim-1/n$
e non $1-e^(1/n)\sim1/n$ ?
e non $1-e^(1/n)\sim1/n$ ?
"frenky46":
Perchè $1-e^(1/n)\sim-1/n$
e non $1-e^(1/n)\sim1/n$ ?
perchè la derivata di $1-e^(x)=-e^x$
"frenky46":
Purtroppo si sono sicuro sull'argomento della Tangente , infatti anche io avevo la stessa difficoltà. E purtroppo non è l'unico esercizio dove ho la tangente tendente all'infinito.
pater46 non ho capito bene il tuo ragionamento
Ricordiamo (ax-1)≈x⋅lna per x→0.
Si ha:
lim(1-e1n)αcos1n=lim(-1)α⋅1ncos1n=lim(-1)α⋅1n⋅1=0
come sei passato da $1-e^(1/n)$ a $e^(1/n)-1$ ? Cioè hai moltiplicato e diviso per $-1$ ma detro la parentesi ?
E poi utilizzando il criterio del confronto potrei confrontarla con $1/n$ ?
Ho messo in evidenza -1. $1-e^(1/n) = -(e^(1/n)-1)$
Ricorda il limite noto $\lim_{x -> 0} \frac {a^x -1}{x} = \ln a$ ed usa il teorema ponte per usarlo con la successione infinitesima $1/n$.
Ti è ora chiaro il perchè del - davanti? Comunque rivedendo il tutto mi sono reso conto di aver tralasciato l'$\alpha$ all'esponente.
e quindi si, viene come suggerito da faximus, ovvero $( \frac {-1}{n})^\alpha$
Ho fatto unì'altro errore, scusa, ero proprio distratto. Volevo dire di risolverla col metodo del rapporto, oppure col metodo del confronto asintotico ( se l'hai studiato ).
nel secondo caso hai già la risposta immediata, dato che il termine generale è asintotico a $( - \frac{1}{n} )^\alpha $
nel secondo caso hai già la risposta immediata, dato che il termine generale è asintotico a $( - \frac{1}{n} )^\alpha $
Grazie mille.
Per la sereie con la tangente onn si puo far unlla ?
Per la sereie con la tangente onn si puo far unlla ?
Nada... Azzarderei che è oscillante $\forall \alpha != 0$, mentre è divergente positivamente per $ \alpha = 0 $. Tuttavia c'è da considerare il fatto che ti trovi con:
$ \infty ^ 0 $ quando $ e^n/n = \pi/2 + k\pi $ e
$ 0^0 $ quando $ e^n/n = k\pi $
Il che non è poco.. Mi sa che non puoi dire nulla su quella serie.
$ \infty ^ 0 $ quando $ e^n/n = \pi/2 + k\pi $ e
$ 0^0 $ quando $ e^n/n = k\pi $
Il che non è poco.. Mi sa che non puoi dire nulla su quella serie.
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