Altra funzione di due variabili
La funzione vale 0 se il punto è [tex](0,0)[/tex]
Altrimenti vale
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei verificare se è continua indovinate dove (nell'origine) e se è ivi dotata di derivate parziali.
Per la continuità non ho un tentativo, se non il sospetto che si possa lavorare su [tex]xy^2[/tex] per un confronto....sto cercando di pensare a cosa ma al momento non mi viene in mente una maggiorazione.
Allora...ho provato a studiare la differenziabilità in (0,0) e la funzione non mi risulta differenziabile, dunque potrei dedurre che non è continua...
Mentre esistono le derivate parziali e valgono:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Intanto è corretto?
Altrimenti vale
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei verificare se è continua indovinate dove (nell'origine) e se è ivi dotata di derivate parziali.
Per la continuità non ho un tentativo, se non il sospetto che si possa lavorare su [tex]xy^2[/tex] per un confronto....sto cercando di pensare a cosa ma al momento non mi viene in mente una maggiorazione.
Allora...ho provato a studiare la differenziabilità in (0,0) e la funzione non mi risulta differenziabile, dunque potrei dedurre che non è continua...
Mentre esistono le derivate parziali e valgono:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Intanto è corretto?
Risposte
Ah...wow...se era complicato verificare la continuià peccato per questo limite...XD
L'esercizio sarebbe finito perchè le derivate valgono 0 e non era richiesto lo studio della continuità....comunque già che ci siamo...dovrei calcolare il limite di:
[tex]\frac{y^2}{2}\log(x^2+y^4)+\frac{x^2y^2}{x^2+y^4}[/tex]
Bello.....però col fatto che mi hai detto non sia continua deduco che non può fare 0.
Come posso fare...sempre con maggiorazioni?
L'esercizio sarebbe finito perchè le derivate valgono 0 e non era richiesto lo studio della continuità....comunque già che ci siamo...dovrei calcolare il limite di:
[tex]\frac{y^2}{2}\log(x^2+y^4)+\frac{x^2y^2}{x^2+y^4}[/tex]
Bello.....però col fatto che mi hai detto non sia continua deduco che non può fare 0.
Come posso fare...sempre con maggiorazioni?
il secondo addendo del limite tende chiaramente a 0, il primo addendo mi sa che ponendo $y=x^a$ con a positivo si ottiene un limite il cui risultato dipende da a, e quindi il limite generale non esiste. Però può darsi che abbia fatto errori di conto, quindi controlla.
"Zkeggia":
@ ern87, sì mi sono espresso un po' male, quando ho scritto "esistono e sono continue" intendevo porre l'accento sulla continuità, l'esistenza è chiara.
Questo risponde alla prima domanda di Dareios, cioè sì, possono esistere punti in cui si ha la differenziabilità (ovvero l'esistenza delle derivate parziali) ma non la continuità delle stesse
Se non esistono derivate direzionali in quel punto non può esistere neanche il differenziale, per il teorema di unicità del differenziale (se il differenziale esiste, coincide con la derivata direzionale in quel punto)
attento che differenziale e derivata (direzionale) sono due cose distinte
Non esattamente, se una funzione è differenziabile in u rispetto a v si ha che esiste la derivata direzionale e $df (u)(v) = f'_v$
allora credo sia questione di definizioni un po' diverse.
io con derivata nella direzione di v intendo dire il $lim_(t->0) (f(u+tv)- f(u))/t$, cioè la derivata rispetto a v.Tu cosa intendi?
pure io. ma non capisco cosa significa "differenziabile rispetto a", è una dicitura che non ho mai sentito.
Ovviamente il differenziale è funzione del punto in cui è applicato, questo è chiaro, quindi si parla sempre di differenziale nel punto $x_0$. Quando dico rispetto a v intendo la notazione
$df(x_0)(v) = lim_(v->0) (f(x_0+v) - f(x_0))/||v||$
$df(x_0)(v) = lim_(v->0) (f(x_0+v) - f(x_0))/||v||$
ecco, questa non la sapevo. ma tu studi matematica?
Magari... mi piacerebbe, sono un fisico. Infatti ogni tanto qualche matematico vero qui sul forum (e anche nella "vita reale") mi accusa di essere poco preciso e quindi confusionario!
ah.. ho appena visto sul tuo profilo, beato te! più tardi ti mando un pm sennò andiamo ot (ora devo uscire).
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