Altra funzione di due variabili
La funzione vale 0 se il punto è [tex](0,0)[/tex]
Altrimenti vale
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei verificare se è continua indovinate dove (nell'origine) e se è ivi dotata di derivate parziali.
Per la continuità non ho un tentativo, se non il sospetto che si possa lavorare su [tex]xy^2[/tex] per un confronto....sto cercando di pensare a cosa ma al momento non mi viene in mente una maggiorazione.
Allora...ho provato a studiare la differenziabilità in (0,0) e la funzione non mi risulta differenziabile, dunque potrei dedurre che non è continua...
Mentre esistono le derivate parziali e valgono:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Intanto è corretto?
Altrimenti vale
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei verificare se è continua indovinate dove (nell'origine) e se è ivi dotata di derivate parziali.
Per la continuità non ho un tentativo, se non il sospetto che si possa lavorare su [tex]xy^2[/tex] per un confronto....sto cercando di pensare a cosa ma al momento non mi viene in mente una maggiorazione.
Allora...ho provato a studiare la differenziabilità in (0,0) e la funzione non mi risulta differenziabile, dunque potrei dedurre che non è continua...
Mentre esistono le derivate parziali e valgono:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Intanto è corretto?
Risposte
A me la funzione risulta differenziabile ma con derivate non continue nell'origine.
Comunque per la continuità, basta sfruttare il fatto che per ogni x,y in R si ha $(x-y^2)^2 >=0 -> x^2 + y^4 - 2xy^2 >=0-> xy^2 <= (x^2 + y^4)/2$
Prova a vedere come ti esce.
Fammi vedere perché la funzione non ti risulta differenziabile.
Comunque per la continuità, basta sfruttare il fatto che per ogni x,y in R si ha $(x-y^2)^2 >=0 -> x^2 + y^4 - 2xy^2 >=0-> xy^2 <= (x^2 + y^4)/2$
Prova a vedere come ti esce.
Fammi vedere perché la funzione non ti risulta differenziabile.
La funzione non mi risulta differenziabile perchè applicando la definizione di differenziabilità devo calcolare il limite:
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
E facendo una restrizione:
[tex]E{(h,k)\in R^2, k=h, h>0}[/tex]
E calcolando il limite ottengo:
[tex]\frac{h^2}{h\sqrt{2}}[/tex] che è maggiore di 0, dunque poichè esiste una restrizione con limite diverso da 0 posso dire che il limite di partenza non è 0 dunque la funzione non è differenziabile, a meno che(cosa possibilissima) non abbia sbagliato i conti.
Poi...si esatto intendevo una cosa del genere per fare un confronto.... anche se non riesco sempre a trovare come impostarlo..
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}\leq\frac{x^2+y^4}{2}\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex] ??
P.S una cosa non mi convince:
Questo non va contro il teorema del differenziale totale?
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
E facendo una restrizione:
[tex]E{(h,k)\in R^2, k=h, h>0}[/tex]
E calcolando il limite ottengo:
[tex]\frac{h^2}{h\sqrt{2}}[/tex] che è maggiore di 0, dunque poichè esiste una restrizione con limite diverso da 0 posso dire che il limite di partenza non è 0 dunque la funzione non è differenziabile, a meno che(cosa possibilissima) non abbia sbagliato i conti.
Poi...si esatto intendevo una cosa del genere per fare un confronto.... anche se non riesco sempre a trovare come impostarlo..
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}\leq\frac{x^2+y^4}{2}\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex] ??
P.S una cosa non mi convince:
A me la funzione risulta differenziabile ma con derivate non continue nell'origine.
Questo non va contro il teorema del differenziale totale?
il limite da calcolare casomai è $lim_((h,k)->(0,0)) hk^2 ln (h^2 + k^4)/(sqrt(h^2+k^2))$ perché devi fare $((f(0 + h, 0 + k) - f(0,0)))/(sqrt(h^2+k^2))$ ed $f(0) = 0$.
Per quanto riguarda la continuità notiamo che $ln (sqrt(x^2+y^4)) = 1/2 ln (x^2+ y^4)$ dunque il limite diventerà $lim _((x,y)->(0,0)) 1/4 (x^2 +y^4) ln (x^2 + y^4)$
Da qui in poi sai proseguire?
Risposta al p.s.
Teorema del differenziale totale: Esistenza e continuità delle derivate parziali in un punto implica la differenziabilità in quel punto. Bada bene, non è una doppia implicazione. Se le derivate parziali non sono continue in un punto non è detto che la funzione non sia differenziabile. Se la funzione è differenziabile non è detto esistano e siano continue le derivate parziali.
Per quanto riguarda la continuità notiamo che $ln (sqrt(x^2+y^4)) = 1/2 ln (x^2+ y^4)$ dunque il limite diventerà $lim _((x,y)->(0,0)) 1/4 (x^2 +y^4) ln (x^2 + y^4)$
Da qui in poi sai proseguire?
Risposta al p.s.
Teorema del differenziale totale: Esistenza e continuità delle derivate parziali in un punto implica la differenziabilità in quel punto. Bada bene, non è una doppia implicazione. Se le derivate parziali non sono continue in un punto non è detto che la funzione non sia differenziabile. Se la funzione è differenziabile non è detto esistano e siano continue le derivate parziali.
Mh...mi sono un pò perso strada facendo, intanto verrei chiarire come concludere la continuità...che mi è rimasta in sospeso purtroppo.. 
Non capisco il perchè di tutto quello che hai detto sul teorema, premesso che ne sai molto di più tu di me.
Però a che serve allora quel teorema?
Mi spiego meglio, se sono verificate tutte le ipotesi allora posso stare tranquillo che la funzione è differenziabile?
Come pò essere che la funzione possa essere differenziabile NON SOLO se le derivate parziali non sono continue, ma anche se non esistono!!!!!!!!!!!
P.S nella differenziabilità hai ragione ma nell'ultimo passaggio mi sono perso...non avevamo h e k? perchè è spuntato [tex]\frac{1}{4}[/tex]?
Non capisco il perchè di tutto quello che hai detto sul teorema, premesso che ne sai molto di più tu di me.
Però a che serve allora quel teorema?
Mi spiego meglio, se sono verificate tutte le ipotesi allora posso stare tranquillo che la funzione è differenziabile?
Come pò essere che la funzione possa essere differenziabile NON SOLO se le derivate parziali non sono continue, ma anche se non esistono!!!!!!!!!!!
P.S nella differenziabilità hai ragione ma nell'ultimo passaggio mi sono perso...non avevamo h e k? perchè è spuntato [tex]\frac{1}{4}[/tex]?
Prima di tutto parlo dell'importanza capitale del teorema del differenziale totale:
Quel teorema è utilissimo nei calcoli, serve a dire che se ho le derivate parziali continue la funzione è differenziabile. Quindi lo studio della differenziabilità si sposta automaticamente nei punti in cui le derivate parziali non sono continue. Senza questo teorema, studiare la differenziabilità della funzione che hai proposto sarebbe infinitamente più complicato, perché in ogni punto avremmo dovuto scrivere la definizione di differenziabilità e verificare che il punto la rispettasse. Invece, grazie a questo teorema, su tutto $RR^2$ tranne che nell'origine, abbiamo assicurata la continuità delle derivate parziali, quindi la differenziabilità della funzione.
L'unico punto che rimane da studiare è l'origine: se le derivate parziali fossero continue anche nell'origine staremmo tranquilli, ma se non lo sono non resta che verificare il limite.
Rispondo al P.s:
Nel discorso che ho fatto nel post precedente il primo rigo è la descrizione del limite che devi fare per studiare la differenziabilità, il secondo rigo era un aiuto per risolvere la continuità della funzione nell'origine! $1/4$ è spuntato per via del fatto che ho usato la proprietà dei logaritmi per cui $ln(x^a) = a ln x$
Ti scrivo in spoiler la strada da fare per verificare la continuità nell'origine.
Quel teorema è utilissimo nei calcoli, serve a dire che se ho le derivate parziali continue la funzione è differenziabile. Quindi lo studio della differenziabilità si sposta automaticamente nei punti in cui le derivate parziali non sono continue. Senza questo teorema, studiare la differenziabilità della funzione che hai proposto sarebbe infinitamente più complicato, perché in ogni punto avremmo dovuto scrivere la definizione di differenziabilità e verificare che il punto la rispettasse. Invece, grazie a questo teorema, su tutto $RR^2$ tranne che nell'origine, abbiamo assicurata la continuità delle derivate parziali, quindi la differenziabilità della funzione.
L'unico punto che rimane da studiare è l'origine: se le derivate parziali fossero continue anche nell'origine staremmo tranquilli, ma se non lo sono non resta che verificare il limite.
Rispondo al P.s:
Nel discorso che ho fatto nel post precedente il primo rigo è la descrizione del limite che devi fare per studiare la differenziabilità, il secondo rigo era un aiuto per risolvere la continuità della funzione nell'origine! $1/4$ è spuntato per via del fatto che ho usato la proprietà dei logaritmi per cui $ln(x^a) = a ln x$
Ti scrivo in spoiler la strada da fare per verificare la continuità nell'origine.
"Zkeggia":
Teorema del differenziale totale: Esistenza e continuità delle derivate parziali in un punto implica la differenziabilità in quel punto. Bada bene, non è una doppia implicazione. Se le derivate parziali non sono continue in un punto non è detto che la funzione non sia differenziabile. Se la funzione è differenziabile non è detto esistano e siano continue le derivate parziali.
attento: se f è differenziabile tutte le derivate (anche direzionali) esistono, tuttavia non è detto siano continue.
differenziabilità implica continuità ed esistenza derivate
Hai ragione...non avevo letto "continuità"...studiare la sera fa male....
Avrei altre due domande....
1) Visto e considerato quanto detto sul differenziale deduco che se mi accorgo che una funzione è dotata di derivate parziali continue in un punto posso dire che è differenziabile.
A parte questo una funzione potrebbe anche essere differenziabile in un punto dove le derivate parziali non sono continue, però devono esistere..?
Il differenziale esiste se il limite che avevo provato a calcolare fa 0, in quel limite ci sono anche le derivate parziali. Quindi se non esistono le derivate parziali in un punto la funzione NON POTRA' essere derivabile...giusto? Mentre può esserlo a patto che ESISTANO le derivate parziali anche se non sono continue nel punto...giusto?
2) Hai detto che non sono continue le derivate...come mai?
A volte alla mia insegnante ho visto scrivere ad esempio in una funzione come questa che vale 0 se il punto è l'origine:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Che del resto pensavo io perchè se la funzione vale 0 la derivata sarà per forza 0, sia per x che per y, anche se mi accorgo che così facendo significherebbe che una funzione sarebbe sempre derivabile nell'origine ma non può essere.
Mi suggeriresti come procedere nella verifica dell'esistenza delle derivate parziali e della loro continuità?
Devo sempre usare la definizione?
Provando ad usarla a dire il vero trovo 0. che è il valore assunto dalla funzione nel punto.
Considerando x0 e y0=0:
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Nel sostituire i punti trovo subito 0, come mai non è continua?
Ti ringrazio.
Avrei altre due domande....
1) Visto e considerato quanto detto sul differenziale deduco che se mi accorgo che una funzione è dotata di derivate parziali continue in un punto posso dire che è differenziabile.
A parte questo una funzione potrebbe anche essere differenziabile in un punto dove le derivate parziali non sono continue, però devono esistere..?
Il differenziale esiste se il limite che avevo provato a calcolare fa 0, in quel limite ci sono anche le derivate parziali. Quindi se non esistono le derivate parziali in un punto la funzione NON POTRA' essere derivabile...giusto? Mentre può esserlo a patto che ESISTANO le derivate parziali anche se non sono continue nel punto...giusto?
2) Hai detto che non sono continue le derivate...come mai?
A volte alla mia insegnante ho visto scrivere ad esempio in una funzione come questa che vale 0 se il punto è l'origine:
[tex]fx(0,0)=fy(0,0)=0[/tex]
Che del resto pensavo io perchè se la funzione vale 0 la derivata sarà per forza 0, sia per x che per y, anche se mi accorgo che così facendo significherebbe che una funzione sarebbe sempre derivabile nell'origine ma non può essere.
Mi suggeriresti come procedere nella verifica dell'esistenza delle derivate parziali e della loro continuità?
Devo sempre usare la definizione?
Provando ad usarla a dire il vero trovo 0. che è il valore assunto dalla funzione nel punto.
Considerando x0 e y0=0:
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Nel sostituire i punti trovo subito 0, come mai non è continua?
Ti ringrazio.
@ ern87, sì mi sono espresso un po' male, quando ho scritto "esistono e sono continue" intendevo porre l'accento sulla continuità, l'esistenza è chiara.
Questo risponde alla prima domanda di Dareios, cioè sì, possono esistere punti in cui si ha la differenziabilità (ovvero l'esistenza delle derivate parziali) ma non la continuità delle stesse
Se non esistono derivate direzionali in quel punto non può esistere neanche il differenziale, per il teorema di unicità del differenziale (se il differenziale esiste, coincide con la derivata direzionale in quel punto)
2) Così come esistono funzioni non continue nell'origine, esistono derivate parziali non continue nell'origine.
La definizione di derivata parziale è un limite di un rapporto incrementale, quindi non ha senso dire che se in un punto la funzione fa 0 allora le derivate in quel punto devono dare zero, perché per definizione avrai che la derivata parziale rispetto alla direzione v è $lim_(t->0)(f(u+tv) - f (u))/t$ Se in 0 la funzione si annulla, la derivata in quel punto rispetto alla direzione v sarà semplicemente $lim_(t->0) (f(tv))/t$. Per lo studio della differenziabilità e per verificare se la funzione è di classe $C^1$ però ti interessa che siano continue SOLO le derivate parziali rispetto agli assi x ed y. Quindi devi scrivere la derivata della funzione rispetto ad x nel caso in cui non ti trovi nell'origine. Dopo di che devi risolvere il
$lim_(t->0) (f(t,0))/t$ e verificare che il risultato di quest'ultimo limite coincida con il risultato che ottieni facendo $ lim_((x,y)->(0,0))(delf)/(delx)$. Devi quindi verificare che $lim_(t->0) f((t,0))/t = lim_((x,y)->(0,0))(delf)/(delx)$
Devi quindi ripetere lo stesso ragionamento per quanto riguarda la derivata parziale nella direzione y.
Se sia rispetto ad x che rispetto ad y i limiti coincidono, allora le derivate parziali sono continue nell'origine, e a questo punto la funzione è differenziabile.
Questo risponde alla prima domanda di Dareios, cioè sì, possono esistere punti in cui si ha la differenziabilità (ovvero l'esistenza delle derivate parziali) ma non la continuità delle stesse
Se non esistono derivate direzionali in quel punto non può esistere neanche il differenziale, per il teorema di unicità del differenziale (se il differenziale esiste, coincide con la derivata direzionale in quel punto)
2) Così come esistono funzioni non continue nell'origine, esistono derivate parziali non continue nell'origine.
La definizione di derivata parziale è un limite di un rapporto incrementale, quindi non ha senso dire che se in un punto la funzione fa 0 allora le derivate in quel punto devono dare zero, perché per definizione avrai che la derivata parziale rispetto alla direzione v è $lim_(t->0)(f(u+tv) - f (u))/t$ Se in 0 la funzione si annulla, la derivata in quel punto rispetto alla direzione v sarà semplicemente $lim_(t->0) (f(tv))/t$. Per lo studio della differenziabilità e per verificare se la funzione è di classe $C^1$ però ti interessa che siano continue SOLO le derivate parziali rispetto agli assi x ed y. Quindi devi scrivere la derivata della funzione rispetto ad x nel caso in cui non ti trovi nell'origine. Dopo di che devi risolvere il
$lim_(t->0) (f(t,0))/t$ e verificare che il risultato di quest'ultimo limite coincida con il risultato che ottieni facendo $ lim_((x,y)->(0,0))(delf)/(delx)$. Devi quindi verificare che $lim_(t->0) f((t,0))/t = lim_((x,y)->(0,0))(delf)/(delx)$
Devi quindi ripetere lo stesso ragionamento per quanto riguarda la derivata parziale nella direzione y.
Se sia rispetto ad x che rispetto ad y i limiti coincidono, allora le derivate parziali sono continue nell'origine, e a questo punto la funzione è differenziabile.
Bene..un punto è chiaro...per quanto riguarda la continuità delle derivate quella definizione l'ho presa dal quaderno, non credo sia scorretta, come per le funzioni di una sola variabile la derivata di f(x) in x=x0 si indica con:
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/tex]
Per le funzioni di due variabili mi trovo una cosa simile, e non penso di avere fatto errori di copiatura, la derivata parzia in (0,0) sarebbe la derivata in O(x0,yo) con x0,y0 entrambi uguali a 0, e la formula è:
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Sostituendo a questa i valori viene 0 sostituendo alla prima parte del numeratore.
So che la prima risposta a questo post sarà "Ma non ha senso chiamare x0........bisogna verificare il rapporto incrementale" ma questa definizione io ce l'ho sul quaderno...siete certi che l'abbia sbagliata? A me non sembra...
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/tex]
Per le funzioni di due variabili mi trovo una cosa simile, e non penso di avere fatto errori di copiatura, la derivata parzia in (0,0) sarebbe la derivata in O(x0,yo) con x0,y0 entrambi uguali a 0, e la formula è:
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Sostituendo a questa i valori viene 0 sostituendo alla prima parte del numeratore.
So che la prima risposta a questo post sarà "Ma non ha senso chiamare x0........bisogna verificare il rapporto incrementale" ma questa definizione io ce l'ho sul quaderno...siete certi che l'abbia sbagliata? A me non sembra...
Allora, partendo dal limite che hai scritto, considerando che $x_0=y_0=0$ dal momento che vogliamo calcolare la derivata parziale rispetto all'origine, si avrà da risolvere il
$lim_(x->0) (f(x,0) - f(0))/ x = lim_(x->0) f(x,0)/x$ che è esattamente ciò che ho scritto.
Una volta trovato questo limite però non hai mica scoperto se la derivata parziale è continua nell'origine, hai solo scoperto che esiste. Per verificare se è ANCHE continua allora dovrai verificare che $ lim_(x->0) f(x,0)/x = lim_((x,y)->(0,0)) (del f) / (del x)$
Nella pratica dovrai veificare che $lim_((x,y)->(0,0)) y^2ln(x^2 + y^4) + 1/2 xy *1/(x^2+y^4)*2x = lim_(x->0) x*0*ln(x^2+0^4)/x$ (quest'ultimo limite fa chiaramente 0)
E discorso analogo per il limite su y.
Così come nel caso di una funzione in una variabile, per verificare che esiste la derivata devi scrivere $lim_(x->x_0) (f(x) - f (x_0))/x$, per verificare che sia continua devi guardare se $ lim_ (x->x_0)(df)/(dx)= lim_(x->x_0) (f(x) - f (x_0))/x$. Altro esempio: per vedere se una funzione è continua in un punto, non basta vedere se in quel punto la funzione esiste, ma devi verificare anche che $lim_(x->x_0) f (x) = f (x_0)$.
$lim_(x->0) (f(x,0) - f(0))/ x = lim_(x->0) f(x,0)/x$ che è esattamente ciò che ho scritto.
Una volta trovato questo limite però non hai mica scoperto se la derivata parziale è continua nell'origine, hai solo scoperto che esiste. Per verificare se è ANCHE continua allora dovrai verificare che $ lim_(x->0) f(x,0)/x = lim_((x,y)->(0,0)) (del f) / (del x)$
Nella pratica dovrai veificare che $lim_((x,y)->(0,0)) y^2ln(x^2 + y^4) + 1/2 xy *1/(x^2+y^4)*2x = lim_(x->0) x*0*ln(x^2+0^4)/x$ (quest'ultimo limite fa chiaramente 0)
E discorso analogo per il limite su y.
Così come nel caso di una funzione in una variabile, per verificare che esiste la derivata devi scrivere $lim_(x->x_0) (f(x) - f (x_0))/x$, per verificare che sia continua devi guardare se $ lim_ (x->x_0)(df)/(dx)= lim_(x->x_0) (f(x) - f (x_0))/x$. Altro esempio: per vedere se una funzione è continua in un punto, non basta vedere se in quel punto la funzione esiste, ma devi verificare anche che $lim_(x->x_0) f (x) = f (x_0)$.
Mh.....allora...io sono un pò lento...l'avrai capito 
Dunque per la continuità di una funzione di una sola variabile deve essere:
[tex]\lim_{x->x_0}f(x)=f(x_0)[/tex]
Il valore del limite deve coincidere con il valore che la funzione assume nel punto.
Non vale lo stesso per la derivata?
Per esempio sempre per una f ad una variabile, ammesso che la mia derivata valga 0.
Allora non dovrei potere dire che la mia derivata è continua nel punto x0 (dove so che la derivata vale 0) se e solo se la funzione in quel punto vale 0?
Altrimenti non ho capito la simbologia, come lo devo verificare?
Dopo questo dubbio che in generale riguarda le funzioni ad una variabile a questo punto, passando alla nostra funzione a due "dannate" variabili:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{f(x,0)}{x}[/tex]
Ma nella nostra funzione, sostituendo per come dobbiamo fare y=0 non ottengo subito 0 in [tex]f(x,0)[/tex]?
Dunque per la continuità di una funzione di una sola variabile deve essere:
[tex]\lim_{x->x_0}f(x)=f(x_0)[/tex]
Il valore del limite deve coincidere con il valore che la funzione assume nel punto.
Non vale lo stesso per la derivata?
Per esempio sempre per una f ad una variabile, ammesso che la mia derivata valga 0.
Allora non dovrei potere dire che la mia derivata è continua nel punto x0 (dove so che la derivata vale 0) se e solo se la funzione in quel punto vale 0?
Altrimenti non ho capito la simbologia, come lo devo verificare?
Dopo questo dubbio che in generale riguarda le funzioni ad una variabile a questo punto, passando alla nostra funzione a due "dannate" variabili:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{f(x,0)}{x}[/tex]
Ma nella nostra funzione, sostituendo per come dobbiamo fare y=0 non ottengo subito 0 in [tex]f(x,0)[/tex]?
Ma l'hai letto bene il mio ultimo post?
Sì, vale lo steso per la derivata, ed è proprio quello che ho fatto nell'ultimo post: Ho calcolato la derivata tramite la definizione (il limite $lim f(x,0)/x$) e poi ho verificato che $(delf)/(delx)$ tendesse, al tendere di x e y a 0, proprio al risultato del limite che mi definisce la derivata in 0. Sì, nella nostra funzione si ottiene 0.
Quindi devi verificare se $(delf)/(delx) = y^2ln(x^2 + y^4) + 1/2x^2y/(x^2+y^4) * 2x$, quando la coppia $(x,y)$ tende a 0, tende a 0.
Stesso discorso per la derivata rispetto ad y.
Sì, vale lo steso per la derivata, ed è proprio quello che ho fatto nell'ultimo post: Ho calcolato la derivata tramite la definizione (il limite $lim f(x,0)/x$) e poi ho verificato che $(delf)/(delx)$ tendesse, al tendere di x e y a 0, proprio al risultato del limite che mi definisce la derivata in 0. Sì, nella nostra funzione si ottiene 0.
Quindi devi verificare se $(delf)/(delx) = y^2ln(x^2 + y^4) + 1/2x^2y/(x^2+y^4) * 2x$, quando la coppia $(x,y)$ tende a 0, tende a 0.
Stesso discorso per la derivata rispetto ad y.
E allora scusa ma se vale lo stesso per la derivata devo verificare dato che la derivata mi viene 0, se la funzione assume nell'origine il valore 0.
E mi sembra che per come è stata definità la funzione....in (0,0) sia proprio 0.
Allora perchè non è continua?
E mi sembra che per come è stata definità la funzione....in (0,0) sia proprio 0.
Allora perchè non è continua?
Mi spieghi cosa ho fatto che non ti torna? non so quante volte ti ho detto che se la funzione è 0 in un upnto la sua derivata non è detto che sia nulla. Per definizione di derivata. Dopodiché ti ho scritto cosa devi fare per verificare che la derivata della funzione è continua nell'origine, ovvero guardare se il limite della derivata della funzione coincide con il valore della derivata nel punto. In maniera perfettamente analoga al caso delle funzioni continue in una variabile.
Da quello che scrivi sembra che tu per vedere se una funzione è continua in 0 verifichi che si abbia $f(0)=l$ e non fai altro. È così?
Da quello che scrivi sembra che tu per vedere se una funzione è continua in 0 verifichi che si abbia $f(0)=l$ e non fai altro. È così?
Per le fuzioni di una variabile il limite nel punto deve coincidere con il valore che la funzione assume nel punto.
Per la derivata sto capendo che non devo calcolare la derivata, trovo l, e se la funzione nel punto vale l allora è continua.
Invece calcolo la derivata e vedo se il limite della derivata della funzione nel punto è uguale al valore della derivata?
Cioè mi calcolo sulla funzione di partenza la derivata parziale rispeto ad x, calcolo il limite a + infinito e vedo se il limite coincide con il valore che ho trovato per la derivata utilizzando la definizione?
E lo stesso per la ?
Per la derivata sto capendo che non devo calcolare la derivata, trovo l, e se la funzione nel punto vale l allora è continua.
Invece calcolo la derivata e vedo se il limite della derivata della funzione nel punto è uguale al valore della derivata?
Cioè mi calcolo sulla funzione di partenza la derivata parziale rispeto ad x, calcolo il limite a + infinito e vedo se il limite coincide con il valore che ho trovato per la derivata utilizzando la definizione?
E lo stesso per la ?
"Darèios89":
Per le fuzioni di una variabile il limite nel punto deve coincidere con il valore che la funzione assume nel punto.
Per la derivata sto capendo che non devo calcolare la derivata, trovo l, e se la funzione nel punto vale l allora è continua.
ma io ho chiaramente scritto
Sì, vale lo steso per la derivata, ed è proprio quello che ho fatto nell'ultimo post: Ho calcolato la derivata tramite la definizione (il limite $limf(x,0)/x$) e poi ho verificato che ∂f/∂x tendesse, al tendere di x e y a 0, proprio al risultato del limite che mi definisce la derivata in 0. Sì, nella nostra funzione si ottiene 0.
e
Allora, partendo dal limite che hai scritto, considerando che x0=y0=0 dal momento che vogliamo calcolare la derivata parziale rispetto all'origine, si avrà da risolvere il
$lim_(x→0)(f(x,0)-f(0))/x=lim_(x→0)f(x,0)/x$ che è esattamente ciò che ho scritto.
Una volta trovato questo limite però non hai mica scoperto se la derivata parziale è continua nell'origine, hai solo scoperto che esiste. Per verificare se è ANCHE continua allora dovrai verificare che $lim_(x→0)f(x,0)/x= lim_((x,y)→(0,0))∂f/∂x$
Te lo ripeto: ciò che devi fare per verificare se una derivata è continua in un punto è esattamente quello che devi fare per vedere se una funzione è continua in punto.
Ovvero:
1) ti trovi il valore della derivata in quel punto usando la definizione (nel caso che la funzione sia definita a tratti)
2) prendi la derivata della funzione in "generale" ( che nel nostro caso è $(∂f)/(∂x)=y^2ln(x^2+y^4)+1/2xy^2*1/(x^2+y4)⋅2x$) e verifichi se il limite per $(x,y)->0$ coincide con la derivata calcolata in 0 nel punto 1.
Nel nostro caso per definizione di derivata rispetto a x calcolata in 0 abbiamo scoperto che il punto 1) ci restituisce 0, perché $f(x,0) =0$.
Non ti rimane che verificare il secondo punto.
Non capisco cosa non ti torna.
Ah ok ok...benissimo...ora il problema è che quella derivata mi viene abominevole....
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei avere una composta e fare la derivata della prima per la seconda non derivata [tex]y^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex].
+ la prima non derivata per la derivata della seconda?
Avrei [tex]\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Quindi la derivata della radice dovrebbe essere [tex]\frac{x}{\sqrt{x^2+y^4}}[/tex] che moltiplica [tex]\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex].
Nella derivata io all'inizio ho una radice...in totale mi viene:
[tex]y^2\log\sqrt{x^2+y^4}+\frac{x^3y^2}{x^2+y^4}[/tex]
[tex]xy^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Dovrei avere una composta e fare la derivata della prima per la seconda non derivata [tex]y^2\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex].
+ la prima non derivata per la derivata della seconda?
Avrei [tex]\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]
Quindi la derivata della radice dovrebbe essere [tex]\frac{x}{\sqrt{x^2+y^4}}[/tex] che moltiplica [tex]\log\sqrt{x^2+y^4}[/tex].
Nella derivata io all'inizio ho una radice...in totale mi viene:
[tex]y^2\log\sqrt{x^2+y^4}+\frac{x^3y^2}{x^2+y^4}[/tex]
1) ma non hai visto che l'ho scrirtta almeno due volte la derivata della funzione?
2) perché non usi la proprietà dei logaritmi $ln(x^a) = a ln(x)$ in modo che la radice dentro il logaritmo sparisce prima della derivata?
2) perché non usi la proprietà dei logaritmi $ln(x^a) = a ln(x)$ in modo che la radice dentro il logaritmo sparisce prima della derivata?
Ah già già....ci siamo quasi...c'è solo una cosa che non mi coincide....a me viene esattamente come te...solo che la funzione utilizzando la propretà dei logaritmi viene:
[tex]xy^2(\frac{1}{2}\log(x^2+y^4))[/tex]
A me all'inizio al posto di essere [tex]y^2\log....[/tex] mi viene [tex]y^2(\frac{1}{2}\log(x^2+y^4))+xy^2(\frac{1}{2(x^2+y^4)})2x[/tex]
Cioè uguale tranne un mezzo all'inizio...è un errore mio vero?
[tex]xy^2(\frac{1}{2}\log(x^2+y^4))[/tex]
A me all'inizio al posto di essere [tex]y^2\log....[/tex] mi viene [tex]y^2(\frac{1}{2}\log(x^2+y^4))+xy^2(\frac{1}{2(x^2+y^4)})2x[/tex]
Cioè uguale tranne un mezzo all'inizio...è un errore mio vero?
No mi son mangiato $1/2$ io stavolta... è buona la tua.
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