ALGEBRA LINEARE , DETERMINARE NUCLEO E IMMAGINE DI F

[scavatorejr]

APPLICAZIONI LINEARI, DETERMINARE NUCLEO E IMMAGINE DI F
Salve a tutti non so svolgere questo esercizio :
Sia F : R3 che tende a R3 l applicazione lineare definita da
F((2,0,-2))= (3,-k,2)
F((0,3,6))= (k-3,k,k)
F((2,3,1))= (1,0,2)
dove K è un parametro reale.Per quali valori F è iniettiva?
determinare al variare di K , il nucleo e l'immagine di F.
Vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochi giorni :cry

[ciampax]

F da R3 che tende a R3???? Se dici una cosa del genere all'esame, sappi che ti cacciano da ogni università italiana! Ti dico cosa devi fare: se hai problemi, chiedi.
1) per prima cosa scrivi la matrice che rappresenta la tua applicazione (avendo cura di determinare, prima, se i vettori che vengono forniti e di cui viene calcolata l'immagine siano una base di

[math]\mathbb{R}^3[/math]

);
2) Una volta scritta tale matrice, ti è possibile calcolare il suo determinante. Ricorda che

[math]F[/math]

iniettiva

[math]\Leftrightarrow\ \det M_F\not=0[/math]

dove

[math]M_F[/math]

è la matrice che rappresenta l'applicazione;
3) Per determinare il nucleo di tale applicazione, basta risolvere il sistema

[math]M_F X=0[/math]

, trovando così una base del nucleo e la sua dimensione, di conseguenza;
4) Per determinare l'immagine, ricorda prima di tutto che se

[math]F:V\rightarrow W[/math]

è una applicazione lineare tra due spazi vettoriali, allora

[math]\dim V=\dim(\ker F)+\dim(Im(f))[/math]

e questo ti fornisce una informazione certa sulla dimensione dell'immagine. Per determinarne i vettori di base, allora, ti basterà prendere, nella matrice che rappresenta la tua applicazione, un numero di colonne linearmente indipendenti pari a tale dimensione.

[scavatorejr]

scusa potresti farmi vedere i passaggi per determinare il nucleo e l immagine.Credo di essermi incasinato un po la vita.

[ciampax]

Per prima cosa, vediamo se i vettori di cui vengono calcolate le immagini sono linearmente indipendenti: possiamo scrivere la matrice

[math]A=\left\{\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -2\\ 0 & 3 & 6\\ 2 & 3 & 1
\end{array}\right)[/math]

e poiché

[math]\det A=6-(-12+36)=-18[/math]

segue che i tre vettori sono indipendenti e formano una base per

[math]\mathbb{R}^3[/math]

. Scegliendo come base del codominio la base canonica

[math]\{(1\ 0\ 0),\ (0\ 1\ 0),\ (0\ 0\ 1)\}[/math]

possiamo scrivere la matrice rappresentativa come

[math]M_F=\left(\begin{array}{ccc}
3 & k-3 & 1\\ -k & k & 0\\ 2 & k & 2
\end{array}\right)[/math]

Osserviamo che

[math]\det M_F=6k-k^2-(2k-2k^2+6k)=k^2-2k[/math]

tale determinante si annulla per

[math]k=0,\ k=2[/math]

e pertanto, per

[math]k[/math]

diverso da tali valori possiamo affermare che l'applicazione è iniettiva. Inoltre, ricordando che quando una applicazione è iniettiva il nucleo è banale e ha dimensione zero, si ha

[math]\dim(Im(F))=3-0=3[/math]

pertanto l'immagine è un sottospazio vettoriale di dimensione 3 in

[math]\mathbb{R}^3[/math]

e coincide con quest'ultimo.

Vediamo ora cosa succede per i due casi particolari di

[math]k[/math]

1)

[math]k=0[/math]

: la matrice diventa

[math]M_F=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 2
\end{array}\right)[/math]

e pertanto per determinare il nucleo risolviamo il sistema

[math]3x-3y+z=0,\qquad 2x+2z=0[/math]

da cui

[math]x=-z,\qquad y=-\frac{2}{3} z[/math]

ne segue che

[math]\ker(F)=\{(-z\ -2z/3\ z)\ |\ z\in\mathbb{R}\}[/math]

e possiamo scegliere come base

[math]B=\{(3\ 2\ -3)\}[/math]

per cui

[math]\dim(\ker(F))=1[/math]

e quindi

[math]\dim(Im(F))=2[/math]

. Ne segue che una base dell'immagine è data da

[math]B'=\{(3\ 0\ 2),\ (-3\ 0\ 0)\}[/math]

Il caso con k=2 si svolge in modo analogo e ti prego di farlo.