Algebra lineare: condizione di iniettività.

[miik91]

Salve a tutti. Volevo chiedervi nell ambito dell algebra lineare, dato un'applicazione lineare e la rispettiva matrice associata, come faccio a verificare se è o non è iniettiva??? Ero convinto che per verificare ciò, bastasse verificare che il nucleo dell applicazione contenesse solo il vettore nullo, ma mi sono imbattuto in qualche esercizio che mi ha fatto sorgere dei dubbi su questa mia convinzione. Ne posto uno di esempio:

`
E dato l’endomorfismo f di R3 la cui matrice, rispetto alla base canonica di R3, ` è:

[math]\begin{bmatrix} 4 & 2& 2 \\ 4 & (a^2+1) & (a+1) \\ 8 & 4 & a^2+3 \end{bmatrix} [/math]

Per quali valori di a, f è iniettivo?
Ho provato a mettere a sistema le 3 equazioni della matrice, sperando che ricavando x,y e z nella variabile a, avrei poi facilmente ricavato i valori di a per cui le incognite trovate si annullano, ma devo aver sbagliato qualcosa nei conti o nel metodo, in quanto non mi trovo perfettamente e in ogni caso non sono sicuro di aver adottato il giusto metodo. Potreste spiegarmi come fare??? Grazie in anticipo a tutti.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ok ci sono riouscito, grazie mille e alla prossima :D !!!

[ciampax]

Il tuo problema è che ti mancano alcuni "risultati" notevoli relativi alla teoria delle applicazioni lineari. Come dicevi, giustamente, la condizione sull'iniettiva di una applicazione lineare è che il suo nucleo sia banale, cioè

[math]\ker(f)=\{0\}[/math]

e questo equivale a dire che il sistema

[math]M X=0[/math]

dove

[math]M[/math]

è la matrice che rappresenta l'applicazione e

[math]X[/math]

il vettore delle incognite, ammetta come unica soluzione

[math]X=0[/math]

. Ma dal Teorema di Cramer, questo è possibile se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti sia non nullo, e quindi

[math]\det(M)\neq 0[/math]

Per cui possiamo concludere quanto segue:
Una applicazione lineare rappresentata da una matrice

[math]M[/math]

è iniettiva se e solo se

[math]\det(M)\neq 0[/math]

.

Ora prova a risolvere.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Solo per una questione "tecnica": una volta che la risposta ti sembra adeguata, potresti sempre votarla come migliore? In questo modo si chiude automaticamente la discussione, grazie.