Algebra della notazione di Leibniz
Ciao a tutti 
Faccio due premesse:
1- Per ora ho solo dato Analisi 1 e Algebra lineare
2- Non sono sicuro che questa roba sia nell' ambito dell' Analisi superiore
Le prime due lezioni di Fisica 1 mi hanno lasciato un grosso dubbio matematico, e facendo un paio di ricerche sul web mi è sembrato di capire che sia anche legittimo.
Vado al sodo.
Se la notazione di Leibniz è solo una notazione, e quindi
$ dy/dx $ è un oggetto che non è uguale al rapporto tra i differenziali (correggetemi se dico stupidaggini),
allora per quale motivo durante le lezioni di fisica si vedono passaggi come questi?
$ a = (dv)/dt => adt=dv => intadt= intdv => at = v $
Nel caso questo dubbio fosse legittimo, che cosa dovrei scrivere tra un passaggio e l'altro in un eventuale esercizio d'esame per rendere il tutto formalmente corretto (tipo: il passaggio è reso possibile dalle proprietà x, y e z...)?
Faccio due premesse:
1- Per ora ho solo dato Analisi 1 e Algebra lineare
2- Non sono sicuro che questa roba sia nell' ambito dell' Analisi superiore
Le prime due lezioni di Fisica 1 mi hanno lasciato un grosso dubbio matematico, e facendo un paio di ricerche sul web mi è sembrato di capire che sia anche legittimo.
Vado al sodo.
Se la notazione di Leibniz è solo una notazione, e quindi
$ dy/dx $ è un oggetto che non è uguale al rapporto tra i differenziali (correggetemi se dico stupidaggini),
allora per quale motivo durante le lezioni di fisica si vedono passaggi come questi?
$ a = (dv)/dt => adt=dv => intadt= intdv => at = v $
Nel caso questo dubbio fosse legittimo, che cosa dovrei scrivere tra un passaggio e l'altro in un eventuale esercizio d'esame per rendere il tutto formalmente corretto (tipo: il passaggio è reso possibile dalle proprietà x, y e z...)?
Risposte
Se riesci a tenere in mano la penna, sei già troppo formale per un fisico.
Ora, a parte gli scherzi, questa domanda torna e ritorna nella testa di molti studenti, ma
1. E' bene trattare la notazione come una notazione; l'abuso è comodo e facendo attenzione a un paio di cose non genera (quasi) mai degli errori
2. Tutto quello che sottende questa notazione si può formalizzare in seno ad approcci non convenzionali all'analisi, che però richiedono matematica abbastanza raffinata; se ti interessa ancora tra qualche anno, leggi un libro di analisi non standard (o ancor meglio, di geometria differenziale sintetica.
Ora, a parte gli scherzi, questa domanda torna e ritorna nella testa di molti studenti, ma
1. E' bene trattare la notazione come una notazione; l'abuso è comodo e facendo attenzione a un paio di cose non genera (quasi) mai degli errori
2. Tutto quello che sottende questa notazione si può formalizzare in seno ad approcci non convenzionali all'analisi, che però richiedono matematica abbastanza raffinata; se ti interessa ancora tra qualche anno, leggi un libro di analisi non standard (o ancor meglio, di geometria differenziale sintetica.
Ma non avete un po' di elasticità mentale voi studenti di matematica? Non mi stupisco che abbiano reso utili i matematici con cdl come ingegneria matematica.
"Vulplasir":
Ma non avete un po' di elasticità mentale voi studenti di matematica? Non mi stupisco che abbiano reso utili i matematici con cdl come ingegneria matematica.
Puoi scegliere la lingua in cui preferisci che bestemmi
Aspettate che prendo i pop corn 
Puoi scegliere la lingua in cui preferisci che bestemmi
Dimostrami che ho torto. Qui non si sta parlando di matematici di professione, ma di studenti al primo-secondo anno che si ergono a protettori del sacro formalismo, non riuscendo a cogliere un significato ulteriore e generalizzato di ciò che studiano e a capire dove e quando fermarsi con il "formalismo".
"Vulplasir":Puoi scegliere la lingua in cui preferisci che bestemmi
Dimostrami che ho torto.
Lo farei volentieri se capissi qual è il punto che cerchi di esprimere. In particolare
non riuscendo [...] a capire dove e quando fermarsi con il "formalismo"....in nessun luogo. Il formalismo è il fine.
"killing_buddha":
[...] Il formalismo è il fine.
Senza considerare che in Matematica la forma è sostanza. Poi se uno non lo capisce non e' un problema, puo' sempre darsi all'ingegneria o al bugchasing.
Te lo dico meglio: da un punto di vista astratto lo scopo della matematica pura è enucleare le regole generali attraverso le quali gli oggetti (il cognoscendum) e gli utenti di quegli oggetti (il cognoscente) si interrelazionano. In tale prospettiva, l'acquisizione di un linguaggio potente e descrittivo è il fine, non il mezzo per l'applicazione o per la deduzione.
Beh, allora l'OP ha sbagliato CdL ...
C'è da dire che la visione della matematica di KB è ortogonale a quella di altri matematici. "Il formalismo è il fine", io non lo direi mai.
Il fatto è che il mondo scientifico è vasto e complicato, e le classificazioni in "matematici", "fisici", "ingegneri", lasciano il tempo che trovano. Per esempio, mi capita di passare giornate facendo calcoli che assomigliano a quelli di un fisico teorico. Io sono solo un pesce piccolo, ma questi signori sono dei grandi nomi dell'analisi armonica e delle equazioni alle derivate parziali (questa è la wiki di Klainerman, uno dei pesci più grossi in circolazione, e Foschi è un ottimo matematico italiano, è stato suo studente). Guardate come manipolano la "funzione" \(\delta\) nella sezione "Preliminaries". (Questo articolo è molto conosciuto, e la rivista su cui è apparso -Annales de l'Ecole normale supérieure- è una delle più importanti in Europa.)
In conclusione, si può fare dell'ottima matematica ragionando sul formalismo, e si può fare dell'ottima matematica manipolando i differenziali. Entrambe le cose si chiamano "matematica" anche se sono molto diverse tra loro.
Il fatto è che il mondo scientifico è vasto e complicato, e le classificazioni in "matematici", "fisici", "ingegneri", lasciano il tempo che trovano. Per esempio, mi capita di passare giornate facendo calcoli che assomigliano a quelli di un fisico teorico. Io sono solo un pesce piccolo, ma questi signori sono dei grandi nomi dell'analisi armonica e delle equazioni alle derivate parziali (questa è la wiki di Klainerman, uno dei pesci più grossi in circolazione, e Foschi è un ottimo matematico italiano, è stato suo studente). Guardate come manipolano la "funzione" \(\delta\) nella sezione "Preliminaries". (Questo articolo è molto conosciuto, e la rivista su cui è apparso -Annales de l'Ecole normale supérieure- è una delle più importanti in Europa.)
In conclusione, si può fare dell'ottima matematica ragionando sul formalismo, e si può fare dell'ottima matematica manipolando i differenziali. Entrambe le cose si chiamano "matematica" anche se sono molto diverse tra loro.
Mi scuso con tutti gli utenti che sono intervenuti in questa discussione ma sto per fare una cosa tanto inaspettata quanto rivoluzionaria: risponderò alla domanda che ha iniziato la discussione!
@Barberofan: non è difficile scrivere quel tipo di passaggi in maniera da non far accapponare la pelle ai matematici. Semplicemente indica le dipendenze dalla variabile indipendente [il tempo] e scrivi le derivate senza occupare due righe:
\[
a(t) = v'(t).
\]
Ora hai due funzioni della variabile \(t\), quindi ha senso integrarle entrambe, nella stessa variabile, sullo stesso intervallo [ricorda che l'integrale indefinito non esiste in realtà, è un trucco per bocciare gli studenti che dimenticano la costante di integrazione]
\[
\int_{0}^t a(t) \ dt= \int_0^t v'(t) \ dt
\]
e a questo punto, usando le regole di integrazione e l'ipotesi che non hai scritto che l'accelerazione è costante,
\[
at = v(t) - v(0).
\]
La velocità iniziale può essere soppressa con opportune ipotesi.
Questo trucco "giustifica" il metodo di separazione delle variabili per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie, dove alla fine tutto quello che si fa è usare di nascosto regole di integrazione del tipo
\[
\int \text{(qualcosa)} \cdot f'(x) \ dx = \dots
\]
@Barberofan: non è difficile scrivere quel tipo di passaggi in maniera da non far accapponare la pelle ai matematici. Semplicemente indica le dipendenze dalla variabile indipendente [il tempo] e scrivi le derivate senza occupare due righe:
\[
a(t) = v'(t).
\]
Ora hai due funzioni della variabile \(t\), quindi ha senso integrarle entrambe, nella stessa variabile, sullo stesso intervallo [ricorda che l'integrale indefinito non esiste in realtà, è un trucco per bocciare gli studenti che dimenticano la costante di integrazione]
\[
\int_{0}^t a(t) \ dt= \int_0^t v'(t) \ dt
\]
e a questo punto, usando le regole di integrazione e l'ipotesi che non hai scritto che l'accelerazione è costante,
\[
at = v(t) - v(0).
\]
La velocità iniziale può essere soppressa con opportune ipotesi.
Questo trucco "giustifica" il metodo di separazione delle variabili per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie, dove alla fine tutto quello che si fa è usare di nascosto regole di integrazione del tipo
\[
\int \text{(qualcosa)} \cdot f'(x) \ dx = \dots
\]
[xdom="Raptorista"]Dimenticavo: sposto da Analisi superiore.[/xdom]
@dissonance: [ot]Non so chi sia quella gente, ma in generale l'uso sportivo che viene fatto della \(\delta\) dai fisici è aberrante. Lavoro con gente che pensa che la \(\delta\) sia una funzione caratteristica o che semplifica gli operatori tipo \(Lu=Lf\) implica \(u=f\). Il mio intero progetto si basa su questo problema di linguaggio, perché devo sostanzialmente fare da "ponte" tra la Matematica pura e gente che vive di trasformate di Fourier e cacciaviti. Comunicare significa (anche) stabilire un linguaggio e un piano comunicativo comuni, quindi se io studio ottica e interazione dei raggi x con la materia non posso tollerare che i miei interlocutori non facciano lo stesso sforzo (e non posso tollerare che un dottorando in fisica non sappia cos'è uno spazio \(L^1\), mi è successo l'altro giorno). La teoria che c'è dietro molte modellizzazioni fisiche è contorta e spesso sofisticata, non conoscerne i dettagli formali signica rischiare di incorrere in bias di vario tipo.[/ot]
Wow, non credevo che questa domanda avrebbe scatenato questo putiferio, ahah.
Ringrazio tutti, killing_buddha per avermi risposto e gli altri utenti per avermi fatto finalmente capire per quale motivo esistono "faide" tra matematici/fisici/ingegneri
Ringrazio tutti, killing_buddha per avermi risposto e gli altri utenti per avermi fatto finalmente capire per quale motivo esistono "faide" tra matematici/fisici/ingegneri
E ringrazio Raptorista, ho visto ora il messaggio
"axpgn":
Beh, allora l'OP ha sbagliato CdL ...
Sono solo un ingegnere curioso
@delirium menatela meno che finito il dottorato farai il precario a vita per poi finire a insegnare al liceo oppure analisi 1 ai tuoi amati ingegneri.
"Vulplasir":
@delirium menatela meno che finito il dottorato farai il precario a vita per poi finire a insegnare al liceo oppure analisi 1 ai tuoi amati ingegneri.
Questo linguaggio è offensivo e questo non mi piace, non vedo perché dobbiamo prenderci a insulti. Sono sicuro che non è tua intenzione insultare, stiamo discutendo civilmente.
@Delirium: parafrasando von Neumann, alla matematica -e ai suoi abusi- ci si abitua. Anche a me capita di avere a che fare con situazioni come quelle che descrivi tu; per mia fortuna, mi capita più leggendo articoli e libri che avendo a che fare con gente in carne e ossa. La cosa importante è il risultato: se un fisico ha fatto proprio il calcolo che mi serve, e lo ha pubblicato alla sua maniera manipolando delta e differenziali, io posso lamentarmi tutta una giornata ma alla fine il suo articolo me lo leggerò. (A meno che non sia proprio illeggibile, cosa che pure capita, e spesso.
Ma quello succede spessissimo pure con gli articoli dei matematici, però). Con il tempo uno si abitua.
"Vulplasir":
@delirium menatela meno che finito il dottorato farai il precario a vita per poi finire a insegnare al liceo oppure analisi 1 ai tuoi amati ingegneri.
Tutto bene a San Patrignano? Avete anche internet lì?
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