Algebra dei limiti

[galles90]

Buongiorno a tutti,
ci sono dei passaggi nella dimostrazione che sto per riportare che non mi sono molto chiari, ovvero

Siano \(\displaystyle f(x),g(x) \) due funzioni tali che:

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l \)
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=m \)

allora
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=lm \)

Dimostrazione:

Poiché il \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l \), per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \), esiste un \(\displaystyle \delta_1 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta_1 \)
risulta \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \)

Analogamente, \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=m \), esiste un \(\displaystyle \delta_2 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta_1 \)
risulta \(\displaystyle |g(x)-l|<\epsilon \)

Per cui:

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|=|f(x)g(x)-lg(x)+lg(x)-lm|* \)
\(\displaystyle |g(x)(f(x)-l)+l(g(x)-m)|\le|g(x)||(f(x)-l)|+|l||(g(x)-m)| \)

** Sia ora \(\displaystyle \epsilon<1, \) e siano \(\displaystyle \delta_1,\delta_2 \) come sopra. Per \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta_2 \)si ha \(\displaystyle |g(x)|= |m+g(x)-m|\le |m|+|g(x)-m|<|m|+\epsilon<|m|+1 \)

che introdotta nella disuguaglianza precedente ci dà

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|< (|m|+1)|f(x)-l+|l||g(x)-m| \)

Se si prende un \(\displaystyle \delta \) minimo tra \(\displaystyle \delta_1, \delta_2 \), per \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta \) si ha \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \) e \(\displaystyle |g(x)-m|<\epsilon \) quindi:

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|< (|m|+1+|l|)\epsilon \).

Fine.

Questi sono i punti che non mi sono chiari

* Perché aggiunge e sottrae la stessa quantità, e poi da dove esce fuori !!
** Invece non basterebbe \(\displaystyle \epsilon \) scelto in già precedenza

Grazie infinite a chi risponderà

[Vicia]

Sommando e sottraendo una stessa quantità la tua equazione non cambia. Puoi sommare un milione e sottrarre un milione e la tua equazione è sempre quella, non cambia. E' per riuscire a dimostrare il tuo teorema, niente di strano o uscito fuori dal nulla.

[cooper1]

"galles90":* Perché aggiunge e sottrae la stessa quantità, e poi da dove esce fuori !!

è lo stesso principio di moltiplicare sopra e sotto per la stessa quantità: aggiungi delle quantità utili ad applicare le ipotesi del teorema non modificando la scrittura che stai considerando.. nel tuo caso perchè è come se aggiungessi 0, mentre nell'altro perchè è come se moltiplicassi per 1.
sono delle tecniche furbe ed utilizzate tantissime volte.

[dissonance]

Quanto all'altro dubbio: \(\epsilon\) non si sceglie, è stato fissato all'inizio della dimostrazione. Si può fissare piccolo a volontà, ma una volta fissato non si muove più. Probabilmente ti sta confondendo la richiesta \(\epsilon<1\), da dove esce questo \(1\)?

Quello che gli serve veramente è una stima di \(g\) uniforme in un intorno di \(x_0\), ovvero, l'esistenza di una costante \(C>0\) tale che
\[\tag{1}
|g(x)|\le C\, \quad \forall x\in(x_0-\delta, x_0+\delta), \]
dove \(\delta>0\) è quello che sceglierà alla fine. ** NOTA BENE: \(\delta\) si sceglie, \(\epsilon\) no. È così in tutte le dimostrazioni sui limiti. **

È proprio per ottenere la \(1\) che richiede \(\epsilon<1\), ottenendo la (1) con \(C=|m|+1\). Sarebbe andata bene qualsiasi fissata costante positiva: ad esempio, richiedendo che \(\epsilon<2\) avrebbe ottenuto la (1) con \(C=|m|+2\).

[galles90]

Ciao ragazzi grazie per le risposte,


Dissonance vuol dire che la funzione è localmente limitata ?
Se è cosi, non è sottointesa come cosa, cioè se esiste il limite, la funzione non è limitata oppure vuole imporre che la funzione è localmente limitata.


Invece per cooper, vicia lo so che serve al fine della dimostrazione.
Forse non mi sono espresso bene, ovvero da che cosa uno se ne accorge, he bisogna applicare queste tecniche ??

Ciao

[dissonance]

Buh, non so cosa significhi "localmente limitata" e non ho intenzione di scoprirlo. Quello di cui lui ha bisogno è la disuguaglianza (1). Fine.

[cooper1]

"galles90":Forse non mi sono espresso bene, ovvero da che cosa uno se ne accorge, he bisogna applicare queste tecniche ??

non è che ci sia una regola preconfezionata. lo capisci un po' ad occhio. qui per esempio vogliamo arrivare a poter dire che la quantità $|fg-lm|$ è minore di un certo epsilon. per ipotesi sappiamo che già esistono delle quantità più piccole di questo epsilon, allora dobbiamo cercare di ricrearle per poter maggiorare sfruttando le ipotesi del teorema. il come fare a crearle lo vedi un po' ad occhio. qui hanno usato $lg$ perchè raccogliendo si vedeva facilmente che si ricreavano le due definizioni dei limiti di cui sopra.

[galles90]

Ciao amici

Forse ho capito il succo della dimostrazione, cioè si ha come ipotesi :
\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm| \)

dobbiamo arrivare a far vedere che:

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|
per poter far vedere che si ha
\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|
bisogna applicare due proprietà del valore assoluto, che sono

1) \(\displaystyle |a+b|\le |a|+|b| \)
2)\(\displaystyle |ab|=|a||b| \)

Come diceva cooper

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|=|f(x)g(x)-lg(x)+lg(x)-lm|=|g(x)(f(x)-l)+l(g(x)-m)\le |g(x)||f(x)-l|+|l||g(x)-m|
ora si tratta di determinare la costante \(\displaystyle k \) , tale che la distanza tra \(\displaystyle |f(x)g(x)-lm| \) risulti minore di \(\displaystyle k\epsilon \).

Quindi scegliamo \(\displaystyle \epsilon=1 \) ovviamente la scelta di \(\displaystyle \epsilon \) , implica l'esistenza dei rispettivi intorni di \(\displaystyle x_0 \) delle relative funzioni.

In particolare per \(\displaystyle |g(x)-m|<1 \), facendo qualche passaggio algebrico si ottiene

\(\displaystyle |g(x)|\le m+1 \)

Sostituiamo nella disuguaglianza precedente e si ottiene

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|<|(m+1)||f(x)-l|+|l||g(x)-m|\)

dobbiamo scegliere un \(\displaystyle \delta \) il più piccolo tra \(\displaystyle \delta_1,\delta_2 \).

Quini si ottiene

\(\displaystyle |f(x)g(x)-lm|<(|m|+1|+|l|)\epsilon
Fine.

Spero di non aver commesso errori

Ciao

[dissonance]

Galles, non va bene. Scrivi vari strafalcioni, ma specialmente
\[
\epsilon=1.\]
Porre epsilon uguale a 1 dimostra che degli argomenti con epsilon e delta ci hai capito poco. Normale, sono cose difficili, ma purtroppo un matematico le DEVE capire. Epsilon è un parametro che deve avere la libertà di essere piccolo a volontà.

Purtroppo non ho tempo per mettermi a riscrivere tutto. Rileggi con calma le risposte precedenti e cerca di aggiustare il tiro. Meglio ancora, lascia perdere questa dimostrazione per adesso e comincia a dimostrare bene il teorema sul limite della somma, è più facile. Ripassati bene la definizione di limite. Fai qualche esercizio per capire bene quella definizione.

Finché non avrai dominato i fondamentali non ti rimettere sul limite del prodotto.

[cooper1]

oltre ad associarmi in toto a @dissonance aggiungo questo:

"galles90":Forse ho capito il succo della dimostrazione, cioè si ha come ipotesi :
|f(x)g(x)−lm|

NO! quello che hai scritto non è niente dell'enunciato del teorema. le ipotesi sono il limite di f ed il limite di g (ovvero le due definizioni dei loro limiti), mentre la tesi assomiglia a quello che dici ma non è quello. la tesi (ciò che vogliamo dimostrare, in parole spicciole ciò che di solito sta dopo "allora") è che $|fg-lm|

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[galles90]

Grazie per avermi fatto notare gli errori.

Invece, per il valore \(\displaystyle \epsilon \), dove ho posto \(\displaystyle \epsilon=1 \), intendo la grandezza dell'intorno del limite, dove per definizione deve essere minore di 1. Non so se ho detto bene

Ciao