Alcuni limiti di funzioni di due variabili
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}*|x|\leq 1*|x|[/tex]
Per il teorema del confronto dovrebbe fare 0....
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }xy\log(x^2+y^2)[/tex]
[tex](x-y)^2=x^2+y^2-xy\geq 0[/tex]
[tex]xy\leq x^2+y^2[/tex]
[tex]xy\log(x^2+y^2)\leq(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)[/tex]
Il secondo è un limite notevole, dunque fa 0, e per il teorema del confronto anche il primo...
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}[/tex]
Se considero un prima restrizione in cui x=y ottengo come limite [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Se invece considero una restrizione dove x=0 e y>0 come limite ottengo 1.
Dunque il limite di partenza non dovrebbe esistere.
L'ultimo è:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{y^4}{x^2+y^4}[/tex]
Anche qui considerando una restrizione dove x=y^2 e y>0 trovo come limite [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Se considero quella con x=0 e y>0 trovo 1 e quindi il limite non dovrebbe esistere.
A no scusa è questo l'ultimo
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]\left |\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2} \right| \leq |x\sin(xy)|[/tex] per ogni coppia di punti diversa da 0. Dunque per il teorema del confronto il limite di partenza farebbe 0.
Vi sembrano corretti?
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}*|x|\leq 1*|x|[/tex]
Per il teorema del confronto dovrebbe fare 0....
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }xy\log(x^2+y^2)[/tex]
[tex](x-y)^2=x^2+y^2-xy\geq 0[/tex]
[tex]xy\leq x^2+y^2[/tex]
[tex]xy\log(x^2+y^2)\leq(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)[/tex]
Il secondo è un limite notevole, dunque fa 0, e per il teorema del confronto anche il primo...
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}[/tex]
Se considero un prima restrizione in cui x=y ottengo come limite [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Se invece considero una restrizione dove x=0 e y>0 come limite ottengo 1.
Dunque il limite di partenza non dovrebbe esistere.
L'ultimo è:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{y^4}{x^2+y^4}[/tex]
Anche qui considerando una restrizione dove x=y^2 e y>0 trovo come limite [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Se considero quella con x=0 e y>0 trovo 1 e quindi il limite non dovrebbe esistere.
A no scusa è questo l'ultimo
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]\left |\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2} \right| \leq |x\sin(xy)|[/tex] per ogni coppia di punti diversa da 0. Dunque per il teorema del confronto il limite di partenza farebbe 0.
Vi sembrano corretti?
Risposte
"Darèios89":
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}*|x|\leq 1*|x|[/tex]
Per il teorema del confronto dovrebbe fare 0...
Esatto.
"Darèios89":
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }xy\log(x^2+y^2)[/tex]
[tex](x-y)^2=x^2+y^2-xy\geq 0[/tex]
[tex]xy\leq x^2+y^2[/tex]
[tex]xy\log(x^2+y^2)\leq(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)[/tex]
Il secondo è un limite notevole, dunque fa 0, e per il teorema del confronto anche il primo...
L'idea è quella, ma dovresti usare i valori assoluti (perchè altrimenti i segni di [tex]$xy$[/tex] e del [tex]$\log$[/tex] creano problemi con la maggiorazione).
"Darèios89":
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}[/tex]
Se considero un prima restrizione in cui x=y ottengo come limite [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Se invece considero una restrizione dove x=0 e y>0 come limite ottengo 1.
Dunque il limite di partenza non dovrebbe esistere.
Esatto.
Restringersi a [tex]$y>0$[/tex] non è necessario.
"Darèios89":
L'ultimo è:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{y^4}{x^2+y^4}[/tex]
Anche qui considerando una restrizione dove x=y^2 e y>0 trovo come limite [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Se considero quella con x=0 e y>0 trovo 1 e quindi il limite non dovrebbe esistere.
Esatto.
Come prima, la restrizione [tex]$y>0$[/tex] non è ncessaria.
"Darèios89":
A no scusa è questo l'ultimo
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]\left |\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2} \right| \leq |x\sin(xy)|[/tex] per ogni coppia di punti diversa da 0. Dunque per il teorema del confronto il limite di partenza farebbe 0.
Qui invece fai lo stesso errore di due mesi fa.
Non è vero che [tex]$\frac{1}{x^2+y^2}\leq 1$[/tex] intorno a [tex]$(0,0)$[/tex], anzi vale l'opposto...
Due appunti soli:
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$, ti sei mangiato un 2.
L'ultimo limite è sbagliato nella risoluzione, perché per x ed y tendenti a 0 si ha $x/(x^2+y^2) >= x$ mentre tu hai scritto il contrario. Casomai, visto che hai imparato il trucchetto di scrivere $xy <= (x^2+y^2)/2$, allora hai $lim (xsin(xy))/(x^2+y^2) <= lim x sin( (x^2+y^2)/2)/(x^2+y^2)$, da cui poter ricollegarti direttamente al solito limite notevole $lim_(t->0)sint/t$
Bravo comunque, alla fine ce la stai facendo a capire i limiti.
Edit: Vabbè Gugo, non c'è sfida, arrivi sempre primo.
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$, ti sei mangiato un 2.
L'ultimo limite è sbagliato nella risoluzione, perché per x ed y tendenti a 0 si ha $x/(x^2+y^2) >= x$ mentre tu hai scritto il contrario. Casomai, visto che hai imparato il trucchetto di scrivere $xy <= (x^2+y^2)/2$, allora hai $lim (xsin(xy))/(x^2+y^2) <= lim x sin( (x^2+y^2)/2)/(x^2+y^2)$, da cui poter ricollegarti direttamente al solito limite notevole $lim_(t->0)sint/t$
Bravo comunque, alla fine ce la stai facendo a capire i limiti.
Edit: Vabbè Gugo, non c'è sfida, arrivi sempre primo.
Grazie Skeggia....e grazie anche a gugo...hai ragione mi sono ammuccato(mangiato) un 2, sarà che era ora di pranzo, quindi il limite dove devo mettere il valore assoluto dovrebbe diventare:
[tex]|xy\log(x^2+y^2)|\leq|\frac{(x^2+y^2)}{2}\log\frac{(x^2+y^2)}{2}*2|[/tex] ?
Non l'ho indicato bene ma l'argomento del logaritmo a destra è tutta la frazione compreso il 2 dopo che moltiplica.
Poi hai detto nelle altre che non è necessario nelle restrizioni porre la y>0, sicuramente perchè i termini hanno esponenti pari.
Per l'ultimo limite va benissimo come suggerisce skeggia, però è grave che non mi renda conto dell'errore, e siccome non lo capisco, vorrei insistere si questo in attimo:
Avete detto che non è vero che [tex]\frac{1}{x^2+y^2}\leq 1[/tex] intorno all'origine, ma non capisco perchè.
Significa che vicino all'origine non è vero, cioè che se sostituisco (0,0) ai punti ottengo il contrario.
Ah forse ci sono.....perchè più è grande il denominatore più piccola è la frazione...quindi avrei nel primo caso 1 fratto 0, nell'altro 1 fratto 1, e quindi sarebbe una quantità più piccola poichè il denominatore è maggiore, o sbaglio ragionamento?
[tex]|xy\log(x^2+y^2)|\leq|\frac{(x^2+y^2)}{2}\log\frac{(x^2+y^2)}{2}*2|[/tex] ?
Non l'ho indicato bene ma l'argomento del logaritmo a destra è tutta la frazione compreso il 2 dopo che moltiplica.
Poi hai detto nelle altre che non è necessario nelle restrizioni porre la y>0, sicuramente perchè i termini hanno esponenti pari.
Per l'ultimo limite va benissimo come suggerisce skeggia, però è grave che non mi renda conto dell'errore, e siccome non lo capisco, vorrei insistere si questo in attimo:
Avete detto che non è vero che [tex]\frac{1}{x^2+y^2}\leq 1[/tex] intorno all'origine, ma non capisco perchè.
Significa che vicino all'origine non è vero, cioè che se sostituisco (0,0) ai punti ottengo il contrario.
Ah forse ci sono.....perchè più è grande il denominatore più piccola è la frazione...quindi avrei nel primo caso 1 fratto 0, nell'altro 1 fratto 1, e quindi sarebbe una quantità più piccola poichè il denominatore è maggiore, o sbaglio ragionamento?
@Darèios: Ne abbiamo già discusso un mese fa (se non erro).
Intorno all'origine hai definitivamente [tex]$0\leq x^2+y^2<1$[/tex], ergo...
Intorno all'origine hai definitivamente [tex]$0\leq x^2+y^2<1$[/tex], ergo...
$ \lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2} $$
questo è semplice
sin(xy) è asintotico a xy
$ x^2y / (x^2 + y^2 ) $
ora effettuo una maggiorazione
$ <= (x^2 + y^2 )y / (x^2 + y^2 ) $
questa si semplifica, rimane y che tende a 0
quindi anche l'altra tende a 0
questo è semplice
sin(xy) è asintotico a xy
$ x^2y / (x^2 + y^2 ) $
ora effettuo una maggiorazione
$ <= (x^2 + y^2 )y / (x^2 + y^2 ) $
questa si semplifica, rimane y che tende a 0
quindi anche l'altra tende a 0
Visto che la dimostrazione che ti ha fatto gugo non ti è stata molto chiara (perché è la stessa di un mese fa, ma tu l'errore lo hai rifatto), provo io con un esempio terra terra.
Tu stai considerando $(x,y)->0$. In particolare quindi a un certo punto sia x che y dovranno essere in modulo entrambi minori di $1/2$.
Ora, se x ed y sono minori di 1/2, allora si avrà $x^2 + y^2 < 1/2^2 + 1/2^2= 1/2$
Allora $1/(x^2+y^2) > 1 /(1/2) = 2$
Puoi applicare questo ragionamento per ogni numero positivo.
Tu stai considerando $(x,y)->0$. In particolare quindi a un certo punto sia x che y dovranno essere in modulo entrambi minori di $1/2$.
Ora, se x ed y sono minori di 1/2, allora si avrà $x^2 + y^2 < 1/2^2 + 1/2^2= 1/2$
Allora $1/(x^2+y^2) > 1 /(1/2) = 2$
Puoi applicare questo ragionamento per ogni numero positivo.
Perfect...my friend.....
Grazie.
Grazie.
Mi è venuto un solo dubbio, ho capito che l'ultima mia disuguaglianza per l'ultimo limite è scorretta e ho anche capito perchè.
Se però avessi una funzione definita così
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex] se x e y diversi da 0 altrimenti vale 0.
Volendo studiare la continuità in (0,0).
Se io facessi questo confronto:
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}\leq x^2+y^4[/tex] Per ogni x,y diversi da (0,0).
Voi mi direste che ho sbagliato come prima, però il fatto che io abbia specificato alla fine "Per ogni x,y diversi da (0,0)." non mi porta a rendere vera la disuguaglianza?
Cioè noi sappiamo che ciò che ho scritto non è vero in un intorno dell'origine, anzi vale il contrario, però se io scrivo "Per ogni x,y diversi da (0,0)." diventa vera giusto?
Siccome questa legge è quella che assume la mia funzione proprio quando "x,y diversi da (0,0)" io ho certezza che non saranno mai 0 ma diversi, quindi in teoria non è valida?
Oppure il solo fatto che non sia vera in un intorno mi deve fare pensare che anche se i valori non saranno mai zero arriveranno vicinissimo in un intorno tale che non è valida la disuguaglianza?
Scusate la confusione
Se però avessi una funzione definita così
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex] se x e y diversi da 0 altrimenti vale 0.
Volendo studiare la continuità in (0,0).
Se io facessi questo confronto:
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}\leq x^2+y^4[/tex] Per ogni x,y diversi da (0,0).
Voi mi direste che ho sbagliato come prima, però il fatto che io abbia specificato alla fine "Per ogni x,y diversi da (0,0)." non mi porta a rendere vera la disuguaglianza?
Cioè noi sappiamo che ciò che ho scritto non è vero in un intorno dell'origine, anzi vale il contrario, però se io scrivo "Per ogni x,y diversi da (0,0)." diventa vera giusto?
Siccome questa legge è quella che assume la mia funzione proprio quando "x,y diversi da (0,0)" io ho certezza che non saranno mai 0 ma diversi, quindi in teoria non è valida?
Oppure il solo fatto che non sia vera in un intorno mi deve fare pensare che anche se i valori non saranno mai zero arriveranno vicinissimo in un intorno tale che non è valida la disuguaglianza?
Scusate la confusione
A parte che non ha mai senso dividere per zero, quindi tutti i discorsi che facciamo chiaramente hanno come presupposto che non si può dividere per 0. Quando si studia $lim_((x,y)->0) 1 / (x^2 +y^2)$ o altre cose analoghe è chiaro che x ed y NON possono essere 0. Per x ed y tendente a 0 significa, per x,y che si avvicinano il più possibile a 0. L'esempio che ti ho fatto prima è valido sempre, perché dal momento che x ed y tenderanno a 0, esisterà sempre un $(barx,bary)$ tale che per ogni $01$. Il problema è che non hai molto chiaro il significato di limite e di intorni secondo me.
Per esempio, su $RR$ ti torna che $lim_(x->0) 1/x^2 >1$?
Per esempio, su $RR$ ti torna che $lim_(x->0) 1/x^2 >1$?
Certo...fa più infinito....
E allora perché se invece di $1/x^2$ consideri $1/(x^2+y^2)$ non ti torna più? la sostanza è la stessa, in entrambi i casi devi considerare numeri sempre più piccoli!
Ok....allora non la posso usare come tecnica...
Allora il limite proposto adesso, come lo risolveresti?
Utilizzando sempre la tecnica di prima? Sfruttando qualche quadrato?
Allora il limite proposto adesso, come lo risolveresti?
Utilizzando sempre la tecnica di prima? Sfruttando qualche quadrato?
@Darèios: Non vedo cosa ci sia di tanto misterioso in questo fatto che ti ostini a non accettare.
Voglio dire, prendi una funzione qualsiasi [tex]$g(x,y)$[/tex] tale che [tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(x,y)=0$[/tex] e anche che intorno a [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] risulti [tex]$g(x,y)\neq 0$[/tex]; allora [tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \left| \frac{1}{g(x,y)}\right| =+\infty$[/tex], perciò non potrai mai usare una maggiorazione del tipo:
[tex]$\left| \frac{1}{g(x,y)}\right| \leq M$[/tex]
intorno a [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] perchè essa contradirrebbe la stessa definizione di limite.
Tutti gli esempi in cui fai questo errore rientrano in questa fattispecie. Riflettici un po'.
Voglio dire, prendi una funzione qualsiasi [tex]$g(x,y)$[/tex] tale che [tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(x,y)=0$[/tex] e anche che intorno a [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] risulti [tex]$g(x,y)\neq 0$[/tex]; allora [tex]$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \left| \frac{1}{g(x,y)}\right| =+\infty$[/tex], perciò non potrai mai usare una maggiorazione del tipo:
[tex]$\left| \frac{1}{g(x,y)}\right| \leq M$[/tex]
intorno a [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] perchè essa contradirrebbe la stessa definizione di limite.
Tutti gli esempi in cui fai questo errore rientrano in questa fattispecie. Riflettici un po'.
Si bene, adesso cercherò di non ripeterlo più come errore, c'è però un limite, l'ultimo che ho postato, non quello con il seno, in uno dei miei ultimo post, che non sono riuscito a risolvere, non mi sembra che ci siano restrizioni con limite differente, quindi deduco che ci sia da fare qualche maggiorazione..La funzione è:
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex]
Ora non so se conviene utilizzare un quadrato come negli altri casi, mi verrebbe da dire:
[tex](x+y^2)^2\geq 0[/tex] [tex]x^2+y^4+2xy^2\geq0[/tex]
[tex]x^2+y^4\geq -2xy^2[/tex]
Però non mi convince tanto, non so se conviene usarla..
[tex]\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex]
Ora non so se conviene utilizzare un quadrato come negli altri casi, mi verrebbe da dire:
[tex](x+y^2)^2\geq 0[/tex] [tex]x^2+y^4+2xy^2\geq0[/tex]
[tex]x^2+y^4\geq -2xy^2[/tex]
Però non mi convince tanto, non so se conviene usarla..
Io direi di spezzre il limite in
$lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(|x|+y^2) + lim y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
$lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(|x|+y^2) + lim y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
"Zkeggia":
Io direi di spezzre il limite in
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2)/(|x|+y^2) + lim_((x,y)->(0,0)) y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
Già... Consiglio molto saggio.
"Zkeggia":
Io direi di spezzre il limite in
$lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(|x|+y^2) + lim y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
si direi che è una scelta intelligente
$x^2/(|x|+y^2) = (|x|*|x|)/(|x|+y^2) <= ((|x|+y^2)*|x|)/(|x|+y^2)$
stessa cosa l'altro...
"gugo82":
[quote="Zkeggia"]Io direi di spezzre il limite in
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2)/(|x|+y^2) + lim_((x,y)->(0,0)) y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
Già... Consiglio molto saggio.[/quote]
"NickBPM":
[quote="Zkeggia"]Io direi di spezzre il limite in
$lim_((x,y)->(0,0)) x^2/(|x|+y^2) + lim y^4/(|x|+y^2)$
e risolvere separatamente
si direi che è una scelta intelligente
$x^2/(|x|+y^2) = (|x|*|x|)/(|x|+y^2) <= ((|x|+y^2)*|x|)/(|x|+y^2)$
stessa cosa l'altro...[/quote]
Ragazzi così però arrossisco
. Mi viene da pensare che FORSE domani posso passarlo questo benedetto Analisi 
Io ho fatto così....per il primo:
[tex]\frac{|x|}{|x|+y^2}*|x|\leq1*|x|[/tex] e per il teorema di confronto dovrebbe fare 0.
[tex]\frac{y^2}{|x|+y^2}*y^2\leq y^2[/tex] e sempre per lo stesso motivo dovrebbe essere 0.
Dunque il limite di partenza fa 0.
Anche tu esame di analisi?
Come sei messo con la teoria? Anche se siamo in posti diversi
P.S. per caso potreste dare anche unì occhiata qui?
Vi ringrazio.
[tex]\frac{|x|}{|x|+y^2}*|x|\leq1*|x|[/tex] e per il teorema di confronto dovrebbe fare 0.
[tex]\frac{y^2}{|x|+y^2}*y^2\leq y^2[/tex] e sempre per lo stesso motivo dovrebbe essere 0.
Dunque il limite di partenza fa 0.
Anche tu esame di analisi?
Come sei messo con la teoria? Anche se siamo in posti diversi
P.S. per caso potreste dare anche unì occhiata qui?
Vi ringrazio.
Sì vanno bene i limiti. Io ho studiato tutta l'estate praticamente solo la teoria, perché non riesco a fare gli esercizi se non so da dove vengono le tecniche per risolverli. E poi a me piace tanto studiare la teoria, molto più che imparare a fare gli esercizi. Il problema è che non è che abbia una grandissima memoria quindi per immagazzinare una settantina di pagine con dimostrazioni e capirle a fondo senza scordare l'idea che ci sta dietro ogni corollario ci ho messo metà luglio e tutto agosto, e su 4-5 teoremi traballo ancora... boh, speriamo...
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