Alcuni limiti di funzioni di due variabili

Darèios89 · 2010-08-31CEST13:03:56+02:00

"[tex]\\lim_{(x,y) \\to (0,0) }\\frac{xy^2}{x^2+y^2}[\//tex]\r\n\r\n\r\n[tex]0\\leq \\frac{y^2}{x^2+y^2}*|x|\\leq 1*|x|[\//tex]\r\n\r\nPer il teorema del confronto dovrebbe fare 0....\r\n\r\n[tex]\\lim_{(x,y) \\to (0,0) }xy\\log(x^2+y^2)[\//tex]\r\n\r\n[tex](x-y)^2=x^2+y^2-xy\\geq 0[\//tex]\r\n\r\n[tex]xy\\leq x^2+y^2[\//tex]\r\n\r\n[tex]xy\\log(x^2+y^2)\\leq(x^2+y^2)\\log(x^2+y^2)[\//tex]\r\n\r\nIl secondo \u00e8 un limite notevole, dunque fa 0, e per il teorema del confronto anche il primo...\r\n\r\n[tex]\\lim_{(x,y) \\to (0,0) } \\frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}[\//tex]\r\n\r\n\r\nSe considero un prima restrizione in cui x=y ottengo come limite [tex]-\\frac{1}{2}[\//tex]\r\n\r\nSe invece considero una restrizione dove x=0 e y>0 come limite ottengo 1.\r\n\r\nDunque il limite di partenza non dovrebbe esistere.\r\n\r\nL'ultimo \u00e8:\r\n\r\n[tex]\\lim_{(x,y) \\to (0,0) }\\frac{y^4}{x^2+y^4}[\//tex]\r\n\r\nAnche qui considerando una restrizione dove x=y^2 e y>0 trovo come limite [tex]\\frac{1}{2}[\//tex]\r\n\r\nSe considero quella con x=0 e y>0 trovo 1 e quindi il limite non dovrebbe esistere.\r\n\r\n\r\nA no scusa \u00e8 questo l'ultimo \r\n\r\n[tex]\\lim_{(x,y) \\to (0,0) }\\frac{x\\sin(xy)}{x^2+y^2}[\//tex]\r\n\r\n[tex]\\left |\\frac{x\\sin(xy)}{x^2+y^2} \\right| \\leq |x\\sin(xy)|[\//tex] per ogni coppia di punti diversa da 0. Dunque per il teorema del confronto il limite di partenza farebbe 0.\r\n\r\nVi sembrano corretti?"

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Darèios89

31 ago 2010, 13:03

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]

[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}*|x|\leq 1*|x|[/tex]

Per il teorema del confronto dovrebbe fare 0....

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }xy\log(x^2+y^2)[/tex]

[tex](x-y)^2=x^2+y^2-xy\geq 0[/tex]

[tex]xy\leq x^2+y^2[/tex]

[tex]xy\log(x^2+y^2)\leq(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)[/tex]

Il secondo è un limite notevole, dunque fa 0, e per il teorema del confronto anche il primo...

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}[/tex]

Se considero un prima restrizione in cui x=y ottengo come limite [tex]-\frac{1}{2}[/tex]

Se invece considero una restrizione dove x=0 e y>0 come limite ottengo 1.

Dunque il limite di partenza non dovrebbe esistere.

L'ultimo è:

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{y^4}{x^2+y^4}[/tex]

Anche qui considerando una restrizione dove x=y^2 e y>0 trovo come limite [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Se considero quella con x=0 e y>0 trovo 1 e quindi il limite non dovrebbe esistere.

A no scusa è questo l'ultimo

[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\left |\frac{x\sin(xy)}{x^2+y^2} \right| \leq |x\sin(xy)|[/tex] per ogni coppia di punti diversa da 0. Dunque per il teorema del confronto il limite di partenza farebbe 0.

Vi sembrano corretti?