Alcuni dubbi pre-esame Analisi II
Ho alcuni dubbi che come a solito vengono solo poco prima dell'esame XD
1. Iniziamo con le dimostrazioni. Nel programma, tra le altre cose, sono indicate da sapere le dimostrazioni che "una funzione Riemann integrabile ha funzione integrale continua" e "convergenza della serie armonica generalizzata $1/n^alpha$".
La prima si riferisce al Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed alla sua dimostrazione??
E la seconda è riferita al Criterio integrale per le serie (che una volta dato per buono permette di fare i calcoli esattamente come nel caso $int_{1}^{infty} 1/t^alpha dt$ con $alpha>0$ ?
2. Integrazione di quozienti di polinomi. Ho qualche problema quando mi trovo con delle radici al denominatore; faccio subito un esempio pratico:
$int_{0}^{pi/2} ((sinx)^3+4(sinx)+1)/((sinx)^2+4) *cosx dx$
Faccio la sostituzione $t=sinx$ (sempre se è la migliore) e dopo i soliti calcoli di rito mi trovo con:
$int_{0}^{1} (t^3+4t+1)/(t^2+4) *(1-t)*1/(sqrt(1-t^2)) dt$
E a questo punto che mi conviene fare?? (Anche se non fosse tutto giusto, mi riferisco comunque ad un caso in cui magari sostituendo con seno o coseno mi trovo al denominatore delle radici date dalle derivate delle inverse di queste funzioni.
3. Per finire, le serie! Se ho una cosa del genere, come me la cavo:
$sum_{n=0}^\infty\ 1/x^(n^(2-n)) $
1. Iniziamo con le dimostrazioni. Nel programma, tra le altre cose, sono indicate da sapere le dimostrazioni che "una funzione Riemann integrabile ha funzione integrale continua" e "convergenza della serie armonica generalizzata $1/n^alpha$".
La prima si riferisce al Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed alla sua dimostrazione??
E la seconda è riferita al Criterio integrale per le serie (che una volta dato per buono permette di fare i calcoli esattamente come nel caso $int_{1}^{infty} 1/t^alpha dt$ con $alpha>0$ ?
2. Integrazione di quozienti di polinomi. Ho qualche problema quando mi trovo con delle radici al denominatore; faccio subito un esempio pratico:
$int_{0}^{pi/2} ((sinx)^3+4(sinx)+1)/((sinx)^2+4) *cosx dx$
Faccio la sostituzione $t=sinx$ (sempre se è la migliore) e dopo i soliti calcoli di rito mi trovo con:
$int_{0}^{1} (t^3+4t+1)/(t^2+4) *(1-t)*1/(sqrt(1-t^2)) dt$
E a questo punto che mi conviene fare?? (Anche se non fosse tutto giusto, mi riferisco comunque ad un caso in cui magari sostituendo con seno o coseno mi trovo al denominatore delle radici date dalle derivate delle inverse di queste funzioni.
3. Per finire, le serie! Se ho una cosa del genere, come me la cavo:
$sum_{n=0}^\infty\ 1/x^(n^(2-n)) $
Risposte
Non vorrei dire fesserie ma io credo che per "convergenza della serie armonica generalizzata" il tuo prof. intenda di dimostrare semplicemente il motivo per cui la serie diverge quando $a<=1$ ,mentre converge per $a>1$.
E' piuttosto banale verificarlo.
E' piuttosto banale verificarlo.
"Arado90":
3. Per finire, le serie! Se ho una cosa del genere, come me la cavo:
$sum_{n=0}^\infty\ 1/x^(n^(2-n)) $
precisamente $x^(-(n^2)/(n^n))$, con $(n^2)/(n^n)$ che tende a $0$, direi quindi che il limite è pari ad $1$, allora non soddisfa la condizione necessaria per la convergenza
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