Alcune serie particolari
avrei dei dubbi sulla risoluzione di queste due serie
dunque la prima serie è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(e^(n(x-1))+sqrt(n))/e^(nx)$,se ne studi la convergenza.
Per via degli esponenziali è una serie a termini positivi,continua e derivabile in $RR$,quindi posso usare il criterio ad esempio del rapporto
ho che $lim_(n->+oo)((e^((n+1)(x-1))+sqrt(n+1))/e^(n+1)x)*(e^(nx)/(e^(n(x-1))+sqrt(n)))=1/e$ (a meno di errori)
tale limite vale per qualunque $x inRR$ quindi si ha convergenza puntuale su tutto $RR$
per la convergenza uniforme uso la derivata $f'_n(x)$
che è uguale a (salvo errori) $-n^(3/2)*e^(-nx)$
risulta che $f'_n(x)$ è sempre negativa e quindi $f_n(x)$ è sempre decrescente ed essendo continua su utto $RR$ il sup(in mudulo) sarebbe $+oo$ e questo verificherebbe che non puo' esserci uniforme continuità su $RR$,però per ogni $MinRR$ $|f_n(M)|
la seconda è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(ln|x|)^n*arctan(n^x)$ definita in $RR \ 0$
non sapendo come approcciarla mi è venuto in mente di studiarla per$x$ positivo e negativo
quando $x<0$ per $n->+oo$ $arctan(n^x)=n^x+o(1)$ e posso trattarle la serie come una serie di potenze con $a_n=1/n^a$ con $a>0$ e raggio di centro$0$
essendo $(|a_n|)^(1/n)->1$ per ogni $a>0$ ho come raggio di convergenza $|ln|x||<1$ e quindi per converge $ln|x|<1$
invece per $x$ positivo ho che $arctan(n^x)<=pi/2$ per $n->+oo$
quindi tratto la serie $(pi/2)sum_(n=1)^(+oo)(ln|x|)^n$ che è una serie geometrica e converge solo per $|ln|x||<1$
ovvero converge per $ln|x|> - 1$
in conclusione la serie converge per $|ln|x||<1$
il primo pensiero che mi viene è che se non ho fatto errori sono stato piuttosto ridondante,che ne pensate
dunque la prima serie è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(e^(n(x-1))+sqrt(n))/e^(nx)$,se ne studi la convergenza.
Per via degli esponenziali è una serie a termini positivi,continua e derivabile in $RR$,quindi posso usare il criterio ad esempio del rapporto
ho che $lim_(n->+oo)((e^((n+1)(x-1))+sqrt(n+1))/e^(n+1)x)*(e^(nx)/(e^(n(x-1))+sqrt(n)))=1/e$ (a meno di errori)
tale limite vale per qualunque $x inRR$ quindi si ha convergenza puntuale su tutto $RR$
per la convergenza uniforme uso la derivata $f'_n(x)$
che è uguale a (salvo errori) $-n^(3/2)*e^(-nx)$
risulta che $f'_n(x)$ è sempre negativa e quindi $f_n(x)$ è sempre decrescente ed essendo continua su utto $RR$ il sup(in mudulo) sarebbe $+oo$ e questo verificherebbe che non puo' esserci uniforme continuità su $RR$,però per ogni $MinRR$ $|f_n(M)|
la seconda è del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(ln|x|)^n*arctan(n^x)$ definita in $RR \ 0$
non sapendo come approcciarla mi è venuto in mente di studiarla per$x$ positivo e negativo
quando $x<0$ per $n->+oo$ $arctan(n^x)=n^x+o(1)$ e posso trattarle la serie come una serie di potenze con $a_n=1/n^a$ con $a>0$ e raggio di centro$0$
essendo $(|a_n|)^(1/n)->1$ per ogni $a>0$ ho come raggio di convergenza $|ln|x||<1$ e quindi per converge $ln|x|<1$
invece per $x$ positivo ho che $arctan(n^x)<=pi/2$ per $n->+oo$
quindi tratto la serie $(pi/2)sum_(n=1)^(+oo)(ln|x|)^n$ che è una serie geometrica e converge solo per $|ln|x||<1$
ovvero converge per $ln|x|> - 1$
in conclusione la serie converge per $|ln|x||<1$
il primo pensiero che mi viene è che se non ho fatto errori sono stato piuttosto ridondante,che ne pensate
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo