Alcune questioni di analisi complessa elementare
Buonasera, ho dei dubbi teorici riguardo ad alcune cose di Analisi complessa che non ho ben compreso
1) sull'integrale gaussiano, così ben noto, e così dilungamente discusso, non ho trovato le risposte (ho cercato anche sul forum): cioè, wikipedia (che non è affatto chiara in questo caso) afferma che è possibile calcolare l'integrale con il metodo dei residui. Tuttavia, non presenta neanche una singolarità, come faccio ad applicarlo? Una volta me lo sono fatto spiegare dal mio prof di metodi matematici, che tuttavia ha trovato molta difficoltà e ha dovuto usare alcuni trucchetti, come fare una traslazione, e poi usare la trasformata di Fourier.
Premetto che non mi interessa il "truccaccio" da analisi 2 che utilizza gli integrali multipli, che conosco già
2)Sulla trasformata di Laplace, e sul semipiano di convergenza: essa è sicuramente olomorfa su tale semipiano, ma che si può dire sull'altra parte? Il mio prof diceva che comunque la funzione è analitica anche lì, a parte ovviamente attorno alle singolarità, e che a volte bisogna creare dei circuiti piuttosto fantasiosi per includere le singolarità (o escluderle, non ho mica capito)...
3)Un'altra cosa è quella giustificazione nel calcolo di integrali reali con il metodo dei residui di poter chiudere il circuito con un semicerchio all'infinito: cioè, ci ha dato una spiegazione spannometrica, del tipo che all'infinito il contributo della semicirconferenza è infinitesimo, ma mi servirebbe più rigore. Inoltre a volte ho visto usare il metodo dei residui anche per percorsi come tra 0 e 2pi, in presenza di funzioni trigonometriche: certo, è sicuramente intuitivo, ma non capisco se c'entra un qualche cambio di variabili o meno... non ho approfondito molto queste questioni perchè il prof è andato molto veloce
Grazie in anticipo
1) sull'integrale gaussiano, così ben noto, e così dilungamente discusso, non ho trovato le risposte (ho cercato anche sul forum): cioè, wikipedia (che non è affatto chiara in questo caso) afferma che è possibile calcolare l'integrale con il metodo dei residui. Tuttavia, non presenta neanche una singolarità, come faccio ad applicarlo? Una volta me lo sono fatto spiegare dal mio prof di metodi matematici, che tuttavia ha trovato molta difficoltà e ha dovuto usare alcuni trucchetti, come fare una traslazione, e poi usare la trasformata di Fourier.
Premetto che non mi interessa il "truccaccio" da analisi 2 che utilizza gli integrali multipli, che conosco già
2)Sulla trasformata di Laplace, e sul semipiano di convergenza: essa è sicuramente olomorfa su tale semipiano, ma che si può dire sull'altra parte? Il mio prof diceva che comunque la funzione è analitica anche lì, a parte ovviamente attorno alle singolarità, e che a volte bisogna creare dei circuiti piuttosto fantasiosi per includere le singolarità (o escluderle, non ho mica capito)...
3)Un'altra cosa è quella giustificazione nel calcolo di integrali reali con il metodo dei residui di poter chiudere il circuito con un semicerchio all'infinito: cioè, ci ha dato una spiegazione spannometrica, del tipo che all'infinito il contributo della semicirconferenza è infinitesimo, ma mi servirebbe più rigore. Inoltre a volte ho visto usare il metodo dei residui anche per percorsi come tra 0 e 2pi, in presenza di funzioni trigonometriche: certo, è sicuramente intuitivo, ma non capisco se c'entra un qualche cambio di variabili o meno... non ho approfondito molto queste questioni perchè il prof è andato molto veloce
Grazie in anticipo
Risposte
1) Per "integrale gaussiano" intendi [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex]?
2) La trasformata è definita solo in un semipiano (quello di convergenza) o in una striscia (nel caso di trasformata bilatera); fuori da tali regioni l'integrale non converge, quindi niente trasformata.
3) Per gli integrali di funzioni razionali di seno e coseno che risultino sommabili in [tex]$[0,2\pi]$[/tex], ossia per integrali del tipo
[tex]$\int_0^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\ \text{d} x$[/tex]
ove [tex]$R(t,s)=\frac{p(t,s)}{q(t,s)}$[/tex] è un rapporto tra polinomi in [tex]$t,s$[/tex], si fa semplicemente la sostituzione [tex]$z=e^{\imath x}$[/tex]; questo è possibile perchè [tex]$\cos x= \tfrac{1}{2}(e^{\imath x}+e^{-\imath x}), \sin x=\tfrac{1}{2\imath} (e^{\imath x}-e^{-\imath x})$[/tex] (insomma seno e coseno sono espressioni razionali di [tex]$e^{\imath x}$[/tex]).
Inoltre, l'applicazione [tex]$[0,2\pi] \ni x\mapsto e^{\imath x} \in \mathbb{C}$[/tex] mappa l'intervallo sulla circonferenza unitaria [tex]$+\Gamma$[/tex] e perciò, visto anche che [tex]$\text{d} z=\imath\ e^{\imath x}\ \text{d} x =\imath z\ \text{d} x$[/tex], la sostituzione trasforma l'integrale come segue:
[tex]$\int_0^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\ \text{d} x =\int_{+\Gamma} R\left( \tfrac{1}{2}(e^{\imath x}+e^{-\imath x}), \tfrac{1}{2\imath} (e^{\imath x}-e^{-\imath x})\right) \ \frac{1}{\imath z}\ \text{d} z$[/tex]
sicché è possibile applicare il metodo dei residui all'integrale a secondo membro.
2) La trasformata è definita solo in un semipiano (quello di convergenza) o in una striscia (nel caso di trasformata bilatera); fuori da tali regioni l'integrale non converge, quindi niente trasformata.
3) Per gli integrali di funzioni razionali di seno e coseno che risultino sommabili in [tex]$[0,2\pi]$[/tex], ossia per integrali del tipo
[tex]$\int_0^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\ \text{d} x$[/tex]
ove [tex]$R(t,s)=\frac{p(t,s)}{q(t,s)}$[/tex] è un rapporto tra polinomi in [tex]$t,s$[/tex], si fa semplicemente la sostituzione [tex]$z=e^{\imath x}$[/tex]; questo è possibile perchè [tex]$\cos x= \tfrac{1}{2}(e^{\imath x}+e^{-\imath x}), \sin x=\tfrac{1}{2\imath} (e^{\imath x}-e^{-\imath x})$[/tex] (insomma seno e coseno sono espressioni razionali di [tex]$e^{\imath x}$[/tex]).
Inoltre, l'applicazione [tex]$[0,2\pi] \ni x\mapsto e^{\imath x} \in \mathbb{C}$[/tex] mappa l'intervallo sulla circonferenza unitaria [tex]$+\Gamma$[/tex] e perciò, visto anche che [tex]$\text{d} z=\imath\ e^{\imath x}\ \text{d} x =\imath z\ \text{d} x$[/tex], la sostituzione trasforma l'integrale come segue:
[tex]$\int_0^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\ \text{d} x =\int_{+\Gamma} R\left( \tfrac{1}{2}(e^{\imath x}+e^{-\imath x}), \tfrac{1}{2\imath} (e^{\imath x}-e^{-\imath x})\right) \ \frac{1}{\imath z}\ \text{d} z$[/tex]
sicché è possibile applicare il metodo dei residui all'integrale a secondo membro.
Ok, grazie per aver risolto i miei due ultimi dubbi
Comunque, sì, intendevo proprio quello come integrale gaussiano
Comunque, sì, intendevo proprio quello come integrale gaussiano
Riprendo questo mio vecchio post perchè riguarda gli stessi problemi;
Accantonando un attimo il problema dell'integrale gaussiano (che tra l'altro mi è di molto interesse) vorrei chiarire nuovamente il discorso sul piano di convergenza.
Studiando Automatica, noi utilizziamo trasformate di Laplace razionali fratte abbondantemente, e ci soffermiamo particolarmente sui poli, poichè di importanza notevole nello studio della stabilità. Ma questo è lecito? Cioè, i poli non sono esclusi dal piano di convergenza? Il mio libro di automatica, in merito a questo afferma che, essendo analitica nel piano di convergenza, si può estendere la sua definizione indipendentemente dal fatto che l'integrale non converga. Perchè non ci preoccupiamo della convergenza, in questi problemi, e che senso ha questa estensione?
Accantonando un attimo il problema dell'integrale gaussiano (che tra l'altro mi è di molto interesse) vorrei chiarire nuovamente il discorso sul piano di convergenza.
Studiando Automatica, noi utilizziamo trasformate di Laplace razionali fratte abbondantemente, e ci soffermiamo particolarmente sui poli, poichè di importanza notevole nello studio della stabilità. Ma questo è lecito? Cioè, i poli non sono esclusi dal piano di convergenza? Il mio libro di automatica, in merito a questo afferma che, essendo analitica nel piano di convergenza, si può estendere la sua definizione indipendentemente dal fatto che l'integrale non converga. Perchè non ci preoccupiamo della convergenza, in questi problemi, e che senso ha questa estensione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo