Aiuto urgentissimo su eq differenziali!!
ciao a tutti, sono nuova!
ho un grcossissmo problema..giovedi prox ho l'esame di analisi II,e non ho ancora capito come si risolvono le equazioni differenziali di secondo ordine,nonostante tutti i miei sforzi e le mie ricerche.MI sarebbe utilissimo poter vedere svolta e commentata una di queste,lo chiedo per favore perchè son veramente disperata!
y''+4y=x(elevato)2
y''-16y=e(elevato)4x
vi ringrazio in anticipo un bacione A tutti
ho un grcossissmo problema..giovedi prox ho l'esame di analisi II,e non ho ancora capito come si risolvono le equazioni differenziali di secondo ordine,nonostante tutti i miei sforzi e le mie ricerche.MI sarebbe utilissimo poter vedere svolta e commentata una di queste,lo chiedo per favore perchè son veramente disperata!
y''+4y=x(elevato)2
y''-16y=e(elevato)4x
vi ringrazio in anticipo un bacione A tutti
Risposte
per favore qualcuno mi risponda!!!!!
Ciao prova a guardare nei post vecchi ce ne sono un sacco sulle eq differenziali!!
ti consiglio un libro:analisi matematica II -enrico giusti-
ciao
BooTzenN
ti consiglio un libro:analisi matematica II -enrico giusti-
ciao
BooTzenN
grazie. ho guardato nei post vecchi non ho trovato ciò che cerco.il libro purtroppo in cosi pochi gg non riesco a procurarmelo.vabè grazie lo stesso....se lo sai magari mi potresti dire qualche sito dove si vede almeno un esercizio svolto?grazie ciao
senti so che son stressante......non ti chiedo tutto l'esercizio però dimmi almeno l'inizio dell'esercizio.per esempio in quelle di primo ordine si inizia DY/DX= ecc..
poi si dividono i termini y da quelli x..e poi si integra tutto...invece in quelle di secondo ordine?spiegamelo cosi veloce veloce...per favore sono incasinatissima..ciao e grazie!!
poi si dividono i termini y da quelli x..e poi si integra tutto...invece in quelle di secondo ordine?spiegamelo cosi veloce veloce...per favore sono incasinatissima..ciao e grazie!!
Allora il metodo è sempre lo stesso:
nel tuo primo esempio hai una di 2° non omogenea,risolvi prima l'eq di secondo grado relativa alla parte omogenea (es. nella prima da te proposta si tratta di t^2 + 4t = 0)in questo modo trovi la soluzione GENERALE,per la parte non omogenea io utilizzo sempre il metodo dell'equazione caratteristica(nel tuo caso poi si tratta di non omogenea abbastanza standard)
x^2 è simile ad una parabola di eq Ax^2+Bx+C, prendi questa roba e trovi derivata prima e derivata seconda da sostituire poi nell'equazione differenziale di partenza (al posto dei termini y'' e y') e poi tutto uguale a x^2.
ti troverai un sistema da risolvere per trovare a,b,c.
per il secondo esercizio ti consiglio di applicare l'equazione caratteristica Ae^4x e fare la stessa trafila del primo.
più chiaro ora?
Marvin
nel tuo primo esempio hai una di 2° non omogenea,risolvi prima l'eq di secondo grado relativa alla parte omogenea (es. nella prima da te proposta si tratta di t^2 + 4t = 0)in questo modo trovi la soluzione GENERALE,per la parte non omogenea io utilizzo sempre il metodo dell'equazione caratteristica(nel tuo caso poi si tratta di non omogenea abbastanza standard)
x^2 è simile ad una parabola di eq Ax^2+Bx+C, prendi questa roba e trovi derivata prima e derivata seconda da sostituire poi nell'equazione differenziale di partenza (al posto dei termini y'' e y') e poi tutto uguale a x^2.
ti troverai un sistema da risolvere per trovare a,b,c.
per il secondo esercizio ti consiglio di applicare l'equazione caratteristica Ae^4x e fare la stessa trafila del primo.
più chiaro ora?
Marvin
Ecco i risultati delle due equazioni differenziali che potrai confrontare con i tuoi, ottenuti seguendo il metodo di Marvin :
* Prima equazione
soluzione eq. omogenea associata : Acos(2x) +Bsin(2x)
soluzione generale eq. completa : Acos(2x)+Bsin(2x)+(2x^2-1)/8.
*Seconda equazione
soluzione omogenea associata : Ae^(4x) +Be^(-4x)
soluzione generale eq. completa : e^(4x)*[A+(x/8)-1/64]+Be^(-4x).
Camillo
* Prima equazione
soluzione eq. omogenea associata : Acos(2x) +Bsin(2x)
soluzione generale eq. completa : Acos(2x)+Bsin(2x)+(2x^2-1)/8.
*Seconda equazione
soluzione omogenea associata : Ae^(4x) +Be^(-4x)
soluzione generale eq. completa : e^(4x)*[A+(x/8)-1/64]+Be^(-4x).
Camillo
aspetta con x^2 intendi elevato?
allora..ho provato..non capisco soluzione general che intendi? facendo t^+4t=0 trovo 2 soluzioni.e poi di quelle 2 soluzioni che faccio? poi devo fare derivata prima e seconda di x^2.......sono incasinatissima ...se t va prova a rispiegarlo.se no ti ringrazio lo stesso!apprezzo la tua pazienza.ciao!!
allora..ho provato..non capisco soluzione general che intendi? facendo t^+4t=0 trovo 2 soluzioni.e poi di quelle 2 soluzioni che faccio? poi devo fare derivata prima e seconda di x^2.......sono incasinatissima ...se t va prova a rispiegarlo.se no ti ringrazio lo stesso!apprezzo la tua pazienza.ciao!!
cara joala
da quello che capisco il tuo esame è dopodomani e quindi occorre fornire in fretta i concetti essenziali. Allora le due equazioni da te postate sono…
y’’ +4y= x^2 (1)
y’’-16y=e^4x (2)
Sia la (1) sia la (2) sono equazioni differenziali lineari, ossia in esse l’incognita e le sue derivate compaiono con grado unitario. Inoltre sono entrambe a coefficienti costanti. Sei in un certo senso fortunata perché tra tutte le classi di equazioni differenziali queste sono le più ‘abbordabili’. Innanzitutto vale un teorema generale che afferma che la soluzione di una equazione di questo tipo è dato dalla somma di due termini. Il primo termine è chiamato integrale generale dell’equazione omogenea, ed è la soluzione della equazione in cui il ‘termine noto’ è nullo. Nel tuo caso quindi cominciamo a trovare l’integrale generale della (1) quando il termine noto si annulla, ossia della equazione…
y’’ +4y=0 (3)
Si tratta di una equazione a coefficienti costanti la cui soluzione è legata alle radice dell’equazione algebrica…
t^2+4=0 (4)
… le quali sono ovviamente t1= -2*j e t2=2*j. L’integrale generale sarà in questo caso …
y= c1* cos(2x) + c2* sin(2x) (5)
… ove c1 e c2 sono due ‘costanti arbitrarie’ per determinare le quali è necessario conoscere le ‘condizioni iniziali’. Operando nello stesso modo sulla (2) si ottiene la equazione caratteristica…
t^2 –16t=0 (6)
… la quale ha per soluzioni t1=-4 e t2=4. L’integrale generale sarà in questo caso…
y= c1*e^(-4x) + c2*e^(4x) (6)
Il secondo termine è chiamato integrale particolare ed è una qualsiasi funzione che soddisfi la (1) o la (2). Per determinare il secondo termine esistono diversi metodi. Per i casi più semplici si può usare del ‘buone senso’. E’ evidente che un integrale particolare della (1) avrà forma polinomiale del tipo…
yp= ao+a1x+a2x^2 (7)
Dal momento che y’=a1+2*a2*x e y’’= 2*a2, sostituendo nella (1) si ha…
2*a2+4*ao+4*a1*x+4*a2*x^2=x^2 (8)
… da cui si ricava facilmente a2=1/4,a1=0,ao=-1/8. L’integrale particolare cercato sarà dunque yp=1/4*x^2-1/8 e la soluzione della (1)…
y= c1*cos(2x)+c2*sin(2x)+1/4*x^2-1/8 (9)
Supponiamo che l’integrale particolare della (2) sia una funzione esponenziale del tipo…
yp= f(x)*e^(4x) (10)
Calcolando y’’ e andando a sostituire nella (2) si ottiene…
f’’(x)+8*f’(x)=1 (11)
Si trova facilmente che f(x)=1/8 x soddisfa la (11) per cui l’integrale particolare cercato è…
yp= 1/8*x*e^(4x) (12)
La soluzione della (2) sarà quindi…
y=c1*e^(-4x)+c2*e^(4x)+1/8*x*e^(4x) (13)
cordiali saluti
lupo grigio
da quello che capisco il tuo esame è dopodomani e quindi occorre fornire in fretta i concetti essenziali. Allora le due equazioni da te postate sono…
y’’ +4y= x^2 (1)
y’’-16y=e^4x (2)
Sia la (1) sia la (2) sono equazioni differenziali lineari, ossia in esse l’incognita e le sue derivate compaiono con grado unitario. Inoltre sono entrambe a coefficienti costanti. Sei in un certo senso fortunata perché tra tutte le classi di equazioni differenziali queste sono le più ‘abbordabili’. Innanzitutto vale un teorema generale che afferma che la soluzione di una equazione di questo tipo è dato dalla somma di due termini. Il primo termine è chiamato integrale generale dell’equazione omogenea, ed è la soluzione della equazione in cui il ‘termine noto’ è nullo. Nel tuo caso quindi cominciamo a trovare l’integrale generale della (1) quando il termine noto si annulla, ossia della equazione…
y’’ +4y=0 (3)
Si tratta di una equazione a coefficienti costanti la cui soluzione è legata alle radice dell’equazione algebrica…
t^2+4=0 (4)
… le quali sono ovviamente t1= -2*j e t2=2*j. L’integrale generale sarà in questo caso …
y= c1* cos(2x) + c2* sin(2x) (5)
… ove c1 e c2 sono due ‘costanti arbitrarie’ per determinare le quali è necessario conoscere le ‘condizioni iniziali’. Operando nello stesso modo sulla (2) si ottiene la equazione caratteristica…
t^2 –16t=0 (6)
… la quale ha per soluzioni t1=-4 e t2=4. L’integrale generale sarà in questo caso…
y= c1*e^(-4x) + c2*e^(4x) (6)
Il secondo termine è chiamato integrale particolare ed è una qualsiasi funzione che soddisfi la (1) o la (2). Per determinare il secondo termine esistono diversi metodi. Per i casi più semplici si può usare del ‘buone senso’. E’ evidente che un integrale particolare della (1) avrà forma polinomiale del tipo…
yp= ao+a1x+a2x^2 (7)
Dal momento che y’=a1+2*a2*x e y’’= 2*a2, sostituendo nella (1) si ha…
2*a2+4*ao+4*a1*x+4*a2*x^2=x^2 (8)
… da cui si ricava facilmente a2=1/4,a1=0,ao=-1/8. L’integrale particolare cercato sarà dunque yp=1/4*x^2-1/8 e la soluzione della (1)…
y= c1*cos(2x)+c2*sin(2x)+1/4*x^2-1/8 (9)
Supponiamo che l’integrale particolare della (2) sia una funzione esponenziale del tipo…
yp= f(x)*e^(4x) (10)
Calcolando y’’ e andando a sostituire nella (2) si ottiene…
f’’(x)+8*f’(x)=1 (11)
Si trova facilmente che f(x)=1/8 x soddisfa la (11) per cui l’integrale particolare cercato è…
yp= 1/8*x*e^(4x) (12)
La soluzione della (2) sarà quindi…
y=c1*e^(-4x)+c2*e^(4x)+1/8*x*e^(4x) (13)
cordiali saluti
lupo grigio
grazie lupo grigio ora lo leggo con calma poi ti farò sapere!!!sei stato troppo gentile..ciao.
ho provato a fare l'esercizio e mi sono bloccta dopo che ho trovato le due soluzioni t1 e t2...non riesco a capire come si arriva a ottenere l'integrale generale, infatti nella 1) hai scritto Y=c1*cos(2x)+c2*sen(2x)(5)....non capisco da dove vien fuori....
e non capisco anche perchè l'integrale particolare (sempre nella 1) ha forma yp=ao+a1x+a2x^2
.......ho guardato nel libro e ho visto anche li qualcosa di simile.
ringrazio chi vorrà rispondere, perdonatemi se sto diventando insistente...!pietàààà!!!
e non capisco anche perchè l'integrale particolare (sempre nella 1) ha forma yp=ao+a1x+a2x^2
.......ho guardato nel libro e ho visto anche li qualcosa di simile.
ringrazio chi vorrà rispondere, perdonatemi se sto diventando insistente...!pietàààà!!!
Allora, per prima cosa… calma e sangue freddo!… Vediamo come si risolve una equazione omogenea di secondo grado a coefficienti costanti, ossia nella forma…
y’’ + b*y’ + c*y=0 (1)
Scriviamo l’equazione caratteristica corrispondente…
t^2+b*t+c=0 (2)
… e supponiamo che il determinante D= b^2-4*c sia diverso da 0. Si avranno due casi…
Se D>0 allora le due radici della (2) sono…
t1= -1/2 [b-sqrt(D)] t2= -1/2 [b+sqrt(D)] (3)
… e l’integrale generale dell’equazione è dato da…
y= c1*e^(t1*x) + c2*e^(t2*x) (4)
Se D<0 allora le dadici della (2) sono…
t1= -b/2 – j/2*sqrt(-D) t2= -b/2 + j/2*sqrt(-D) (5)
… e l’integrale generale è dato stavolta da…
y= e^(-b/2*x) * [c1*cos [sqrt(-D)*x/2] + c2*sin [sqrt(-D)*x/2]] (6)
E’ chiaro fin qui?…
cordiali saluti
lupo grigio
y’’ + b*y’ + c*y=0 (1)
Scriviamo l’equazione caratteristica corrispondente…
t^2+b*t+c=0 (2)
… e supponiamo che il determinante D= b^2-4*c sia diverso da 0. Si avranno due casi…
Se D>0 allora le due radici della (2) sono…
t1= -1/2 [b-sqrt(D)] t2= -1/2 [b+sqrt(D)] (3)
… e l’integrale generale dell’equazione è dato da…
y= c1*e^(t1*x) + c2*e^(t2*x) (4)
Se D<0 allora le dadici della (2) sono…
t1= -b/2 – j/2*sqrt(-D) t2= -b/2 + j/2*sqrt(-D) (5)
… e l’integrale generale è dato stavolta da…
y= e^(-b/2*x) * [c1*cos [sqrt(-D)*x/2] + c2*sin [sqrt(-D)*x/2]] (6)
E’ chiaro fin qui?…
cordiali saluti
lupo grigio
ora ci provo.....dopo ti dirò se è tt chiaro!grazie 1000!!!!
allora ho capito il ragionamento fin qui..ho confrontato anche con il mio libro e più o meno è chiaro..solo che magari mi è più facile capirlo con esempi numerici....però va bene. dopo di che come si prosegue? quest'argomento non mi entra proprio in testa eh..!!grassie ciao!
...
Ok!… esempi ‘pratici’ ne possiamo fare quanti ne vuoi, prima però finiamo il discorso. Due parole riguardo all’equazione di secondo grado a coefficienti costanti, vale a dire…
y’’+ b*y’+c*y= f(x) (1)
Nel caso l’equazione caratteristica [t^2+b*t+c=0] abbia determinante=0 essa avrà una unica radice di molteplicità due data da to=-b/2. In tal caso l’integrale generale dell’equazione omogenea sarà del tipo…
y= c1*e^(to*x) + c2*x*e^(to*x) (2)
Due parole sull’equazione lineare di ordine uno a coefficienti costanti, vale a dire del tipo…
y’+a*y= f(x) (3)
L’equazione caratteristica in questo caso è t+a=0 che ha per soluzione to=-a. L’integrale generale sarà in questo caso…
y= c1*e^(to*x) (4)
Dal punto di vista ‘tattico’ è improbabile che all’esame di domani ti possa capitare un’equazione di grado superiore al secondo, giacchè in tal caso la soluzione dell’equazione caratteristica sarebbe un poco complessa. In ogni caso se l’equazione è di grado n e t1,t2,…, tn sono le radici [reali o complesse…] dell’equazione caratteristica, allora l’integrale generale sarà del tipo…
y= c1*e^(t1*x)+c2*e^(t2*x)+…+cn*e^(tn*x) (5)
Ora veniamo alla seconda parte del problema, vale a dire la ricerca di un integrale particolare dell’equazione ‘non omogenea’. Non è ancora stato trovato un metodo che permetta la soluzione del problema per tutte le possibili funzioni f(x) che compaiono nella (1) e nella (3). Vediamo il caso più semplice di tutti, ossia quando f(x) è un polinomio, ossia è…
f(x)= ao+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n (6)
Essendo tutte le derivate di un polinomio anch’esse un polinomio di grado inferiore al polinomio dato, possiamo concludere che anche l’integrale particolare è un polinomio di grado n del tipo…
yp= yo+y1*x+y2*x^2+… yn*x^n (7)
… i cui coefficienti possono essere trovati calcolando le derivate della (7), andandole a sostituire nella (1) e imponendo che risulti la (6). Un caso frequente è che il ‘termine noto' contenga una funzione esponenziale [ o anche più di una…] e sia del tipo…
f(x)= h(x)*e^(a*x) (8)
… con h(x) generica e a costante. In tal caso è facile dimostrare che l’integrale particolare cercato è può essere anch’esso scritto nella forma…
yp= g(x)*e^(a*x) (9)
Calcolando la derivata della (9) si ottiene…
yp’= [a*g(x)+g’(x)] * e^(a*x) (10)
… ossia si ottiene una espressione analoga alla (9). Calcolando poi la derivata seconda, dalla (10) si ottiene…
yp’’= a*yp’+[a*g’(x)+g’’(x)]*e^(a*x) (11)
… anch’essa analoga alla (9). Sostituendo la (10) e (11) nella (1) e imponendo che il termine noto eguagli la (8) si ottiene una equazione differenziale in cui la funzione incognita è la g(x), equazione che risolta frnisce l’integrale particolare dato dalla (9)…
Se hai un poco capito, ti consiglio di rivedere i due esercizi da te proposti all’inizio e cercare di risolverli da sola nel modo che ti ho descritto. Poi possiamo fare tutti gli ‘esempi’ che vuoi…
cordiali saluti
lupo grigio
y’’+ b*y’+c*y= f(x) (1)
Nel caso l’equazione caratteristica [t^2+b*t+c=0] abbia determinante=0 essa avrà una unica radice di molteplicità due data da to=-b/2. In tal caso l’integrale generale dell’equazione omogenea sarà del tipo…
y= c1*e^(to*x) + c2*x*e^(to*x) (2)
Due parole sull’equazione lineare di ordine uno a coefficienti costanti, vale a dire del tipo…
y’+a*y= f(x) (3)
L’equazione caratteristica in questo caso è t+a=0 che ha per soluzione to=-a. L’integrale generale sarà in questo caso…
y= c1*e^(to*x) (4)
Dal punto di vista ‘tattico’ è improbabile che all’esame di domani ti possa capitare un’equazione di grado superiore al secondo, giacchè in tal caso la soluzione dell’equazione caratteristica sarebbe un poco complessa. In ogni caso se l’equazione è di grado n e t1,t2,…, tn sono le radici [reali o complesse…] dell’equazione caratteristica, allora l’integrale generale sarà del tipo…
y= c1*e^(t1*x)+c2*e^(t2*x)+…+cn*e^(tn*x) (5)
Ora veniamo alla seconda parte del problema, vale a dire la ricerca di un integrale particolare dell’equazione ‘non omogenea’. Non è ancora stato trovato un metodo che permetta la soluzione del problema per tutte le possibili funzioni f(x) che compaiono nella (1) e nella (3). Vediamo il caso più semplice di tutti, ossia quando f(x) è un polinomio, ossia è…
f(x)= ao+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n (6)
Essendo tutte le derivate di un polinomio anch’esse un polinomio di grado inferiore al polinomio dato, possiamo concludere che anche l’integrale particolare è un polinomio di grado n del tipo…
yp= yo+y1*x+y2*x^2+… yn*x^n (7)
… i cui coefficienti possono essere trovati calcolando le derivate della (7), andandole a sostituire nella (1) e imponendo che risulti la (6). Un caso frequente è che il ‘termine noto' contenga una funzione esponenziale [ o anche più di una…] e sia del tipo…
f(x)= h(x)*e^(a*x) (8)
… con h(x) generica e a costante. In tal caso è facile dimostrare che l’integrale particolare cercato è può essere anch’esso scritto nella forma…
yp= g(x)*e^(a*x) (9)
Calcolando la derivata della (9) si ottiene…
yp’= [a*g(x)+g’(x)] * e^(a*x) (10)
… ossia si ottiene una espressione analoga alla (9). Calcolando poi la derivata seconda, dalla (10) si ottiene…
yp’’= a*yp’+[a*g’(x)+g’’(x)]*e^(a*x) (11)
… anch’essa analoga alla (9). Sostituendo la (10) e (11) nella (1) e imponendo che il termine noto eguagli la (8) si ottiene una equazione differenziale in cui la funzione incognita è la g(x), equazione che risolta frnisce l’integrale particolare dato dalla (9)…
Se hai un poco capito, ti consiglio di rivedere i due esercizi da te proposti all’inizio e cercare di risolverli da sola nel modo che ti ho descritto. Poi possiamo fare tutti gli ‘esempi’ che vuoi…
cordiali saluti
lupo grigio
se vuoi aiuto joala sulle eq differ ho delle dispense di esercizi svolti, se m dai l email..e se t servono ancora.. saluti
lupo grigio io nn so più continuare dopo che trovo l'integrale generale..se lo trovo....nn capisco cm si trova l'integrale particolare...sto impazzendo.nn so cm andrà quest'esame...fortuna che nn ci da solo d questi!!!
cara joala
per prima cosa ti raccomando ancora una volta di non farti prendere dallo sconforto e guardare le cose con ottimismo… Quanto al ‘come fare’ ora vediamo qualche esempio che chiarirà un poco le idee. Allora proviamo con questa equazione di secondo ordine…
y’’ + 3*y’+2*y= h(x) (1)
… con h(x) ‘termine noto’ che per il momento lasciamo indefinito. Cominciamo col trovare l’intergrale generale della ‘non omogena’ ponendo h(x)=0. Scriviamo l’equazione caratteristica…
t^2+3*t+2=0 (2)
… la quale ha per radici t1=-1 e t2=-2. L’integrale generale cercato sarà pertanto…
yg(x)= c1*e^(-x) + c2*e(-2x) (3)
… con c1 e c2 ‘costanti arbitrarie’ per determinare le quali è necessario conoscere le ‘condizioni iniziali’. Detto per inciso la (3) rappresenta la cosiddetta ‘evoluzione libera’ di un sistema descritto dalla (1) in assenza di ‘perturbazione’ [vale a dire con h(x)=0…]. Dal momento che tale ‘evoluzione’ tende a 0 per x -> +oo, si dice che il sistema sotto esame è stabile. Proviamo ora a ‘perturbare’ il sisema scegliendo una ‘perturbazione’ h(x) diversa da 0. La soluzione della (1) sarà data dalla somma della ‘evoluzione libera’ [ossia l’integrale generale dato dalla (3)…] e della ‘evoluzione forzata’ [ossia un qualunque integrale particolare della (1)…]. Partiamo dal caso più semplice e supponiamo che h(x) sia un polinomio di ordine n, ovvero:
h(x)= ho+h1*x+h2*x^2+…+hn*x^n (4)
E’ evidente che le derivate di un polinomio sono esse stesse dei polinomi. In particolare la derivata di ordine 1 sarà un polinomio di grado n-1, la derivata di ordine 2 un polinomio di grado n-2, etc… E’ immediato concludere che in questo caso l’integrale particolare cercato sarà anch’esso un polinomio di grado n che indichiamo com p(x). Se ci fermiamo alla derivata seconda [l’equazione data è di ordine due…] potremo scrivere…
p(x)=po+p1*x+p2*x^2+…+pn*x^n
p’(x)= p1+2*p2*x+…+n*pn*x^(n-1)
p’’(x)=2*p2+6*p3*x+…+n*(n-1)*pn*x^(n-2) (5)
I valori di po,p1,…,pn si determinano andando a sostuire p(x) e le sue derivate al posto della y(x) e delle sue derivate nella (1) e imponendo che il polonimio risultante sia uguale a h(x). Ciò equivale a risolvere un sistema di n+1 equazioni lineari in n+1 incognite. Facciamo subito un esempio e poniamo h(x)=x^2, ossia ho=h1=0 e h2=1 e n=2. La (1) diviene quindi…
p’’(x)+3*p’(x)+2*p(x)=h(x) (6)
Sostituendo nella (6) i valori di p(x), p’(x),p’’(x) e h(x) limitati a n=2 [calcolo noioso ma non diffcile…], si ottiene il sistema lineare cercato…
2*p2+3*p1+2*po=0
6*p2+2*p1=0
2*p2=1 (7)
La soluzione [abbastanza immediata…] è p2=1/2, p1=-3/2 e po= 7/4. L’integrale particolare cercato sarà dunque [verificare per credere!]…
p(x)=1/2*x^2-3/2*x+7/4 (8)
Proviamo ora a scegliere per h(x) un altro tipo di funzione, per esempio h(x)=e^(a*x). In casi come questi conviene cercare un integrale particolare del tipo q(x)=g(x)*e^(a*x). Il moltivo di ciò è evidente se andiamo a scrivere le derivate prima e seconda della q(x)…
q’(x)= [g’(x)+a*g(x)]*e^(a*x)
q’’(x)= [g’’(x)+2*a*g’(x)+a^2*g(x)]*e^(a*x) (9)
Sostituendo q(x),q’(x) e q’’(x) e h(x) nella (1) ci si accorge facilmente che il termine e^(a*x) può essere semplificato e ci si ritrova a risolvere una equazione differenziale nella quale il ‘termine noto’ è un polinomio di grado nullo, caso che abbiamo trattato or ora. Per esempio se h(x)=e^x si ha a=1 e pertanto la (1) diviene…
g’’(x)+2*g’(x)+g(x)+ 3*[g’(x)+g(x)]+2*g(x)=1 (10)
… la quale, opportunamente riordinata, diviene
g’’(x)+5*g’(x)+6*g(x)=1 (11)
E’ immediato verificare che un integrale particolare della (11) è dato dalla costante g(x)=1/6, per cui l’integrale particolare cercato vale [verificare per credere!]…
yp(x)=1/6*e^x (12)
E’ chiaro che potremmo andare avanti con altri esempi. L’importante è però aver compreso lo ‘spirito’ necessario per afrrontare questo genere di problemi…
cordiali saluti
lupo grigio
per prima cosa ti raccomando ancora una volta di non farti prendere dallo sconforto e guardare le cose con ottimismo… Quanto al ‘come fare’ ora vediamo qualche esempio che chiarirà un poco le idee. Allora proviamo con questa equazione di secondo ordine…
y’’ + 3*y’+2*y= h(x) (1)
… con h(x) ‘termine noto’ che per il momento lasciamo indefinito. Cominciamo col trovare l’intergrale generale della ‘non omogena’ ponendo h(x)=0. Scriviamo l’equazione caratteristica…
t^2+3*t+2=0 (2)
… la quale ha per radici t1=-1 e t2=-2. L’integrale generale cercato sarà pertanto…
yg(x)= c1*e^(-x) + c2*e(-2x) (3)
… con c1 e c2 ‘costanti arbitrarie’ per determinare le quali è necessario conoscere le ‘condizioni iniziali’. Detto per inciso la (3) rappresenta la cosiddetta ‘evoluzione libera’ di un sistema descritto dalla (1) in assenza di ‘perturbazione’ [vale a dire con h(x)=0…]. Dal momento che tale ‘evoluzione’ tende a 0 per x -> +oo, si dice che il sistema sotto esame è stabile. Proviamo ora a ‘perturbare’ il sisema scegliendo una ‘perturbazione’ h(x) diversa da 0. La soluzione della (1) sarà data dalla somma della ‘evoluzione libera’ [ossia l’integrale generale dato dalla (3)…] e della ‘evoluzione forzata’ [ossia un qualunque integrale particolare della (1)…]. Partiamo dal caso più semplice e supponiamo che h(x) sia un polinomio di ordine n, ovvero:
h(x)= ho+h1*x+h2*x^2+…+hn*x^n (4)
E’ evidente che le derivate di un polinomio sono esse stesse dei polinomi. In particolare la derivata di ordine 1 sarà un polinomio di grado n-1, la derivata di ordine 2 un polinomio di grado n-2, etc… E’ immediato concludere che in questo caso l’integrale particolare cercato sarà anch’esso un polinomio di grado n che indichiamo com p(x). Se ci fermiamo alla derivata seconda [l’equazione data è di ordine due…] potremo scrivere…
p(x)=po+p1*x+p2*x^2+…+pn*x^n
p’(x)= p1+2*p2*x+…+n*pn*x^(n-1)
p’’(x)=2*p2+6*p3*x+…+n*(n-1)*pn*x^(n-2) (5)
I valori di po,p1,…,pn si determinano andando a sostuire p(x) e le sue derivate al posto della y(x) e delle sue derivate nella (1) e imponendo che il polonimio risultante sia uguale a h(x). Ciò equivale a risolvere un sistema di n+1 equazioni lineari in n+1 incognite. Facciamo subito un esempio e poniamo h(x)=x^2, ossia ho=h1=0 e h2=1 e n=2. La (1) diviene quindi…
p’’(x)+3*p’(x)+2*p(x)=h(x) (6)
Sostituendo nella (6) i valori di p(x), p’(x),p’’(x) e h(x) limitati a n=2 [calcolo noioso ma non diffcile…], si ottiene il sistema lineare cercato…
2*p2+3*p1+2*po=0
6*p2+2*p1=0
2*p2=1 (7)
La soluzione [abbastanza immediata…] è p2=1/2, p1=-3/2 e po= 7/4. L’integrale particolare cercato sarà dunque [verificare per credere!]…
p(x)=1/2*x^2-3/2*x+7/4 (8)
Proviamo ora a scegliere per h(x) un altro tipo di funzione, per esempio h(x)=e^(a*x). In casi come questi conviene cercare un integrale particolare del tipo q(x)=g(x)*e^(a*x). Il moltivo di ciò è evidente se andiamo a scrivere le derivate prima e seconda della q(x)…
q’(x)= [g’(x)+a*g(x)]*e^(a*x)
q’’(x)= [g’’(x)+2*a*g’(x)+a^2*g(x)]*e^(a*x) (9)
Sostituendo q(x),q’(x) e q’’(x) e h(x) nella (1) ci si accorge facilmente che il termine e^(a*x) può essere semplificato e ci si ritrova a risolvere una equazione differenziale nella quale il ‘termine noto’ è un polinomio di grado nullo, caso che abbiamo trattato or ora. Per esempio se h(x)=e^x si ha a=1 e pertanto la (1) diviene…
g’’(x)+2*g’(x)+g(x)+ 3*[g’(x)+g(x)]+2*g(x)=1 (10)
… la quale, opportunamente riordinata, diviene
g’’(x)+5*g’(x)+6*g(x)=1 (11)
E’ immediato verificare che un integrale particolare della (11) è dato dalla costante g(x)=1/6, per cui l’integrale particolare cercato vale [verificare per credere!]…
yp(x)=1/6*e^x (12)
E’ chiaro che potremmo andare avanti con altri esempi. L’importante è però aver compreso lo ‘spirito’ necessario per afrrontare questo genere di problemi…
cordiali saluti
lupo grigio
ora provo.....poi t dirò...ho solo poche ore per capire!!!!!!!
credo di nn averlo fatto tanto bene quest'esame...anzi dubito di averlo passato...vabbè lo darò a gennaio.però volevo ringraziare a tt quelli che mi hanno aiutata in particolare lupo grigio!!che ha avuto tanta pazienza. però tornerò a stressarvi con le equazioni differenziali!!ciaoo
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