Aiuto su Unione infinita di insiemi

[davnat]

Salve a tutti, sono nuovo del forum, questo è il mio primo post. Sto bazzicando su internet da giorni ma non riesco a trovare alcun aiuto riguardo il mio problema. Sto affrontando analisi 1 all'università di fisica e sto lottando da almeno una settimana con esercizi del tipo che esporrò adesso.
Traccia esempio: Siano dati i seguenti sottoinsiemi di R^2 e fornisce vari insiemi, di solito una terna, esempio A,B,C con
C = A U B e li definisce.
Trovare i punti di frontiera, accumulazione di C.
Il problema è che almeno uno dei due insiemi tra A e B è un iniseme del tipo, prendendo come esempio A:

A = all'unione per n che va da 1 a più infinito degli An
con
An = {(x,y) / y è in funzione di n ed x}

Io non riesco a capire come definire questo tipo di insiemi. Vi riporto un esempio di un esercizio che ho svolto, ma che probabilmente è errato.

dato An = {(x,y) / y ≥ $ 1/(nx) $ con $ x!= 0 $ }

A = all'unione infnita degli An

Allora io ho pensato di prendere il minimo valore di n, ovvero 1, ed il mio A1 diventa = {(x,y) / y ≥ $ 1/(x) $ con $ x!= 0 $ } Il massimo valore di n ovvero + $ oo $ ed il mio An diventa = {(x,y) / y ≥ 0, con con $ x!= 0 $}

Mi sono detto, A1 include in se tutti gli altri An perchè al variare di x ottengo tutti i valori che gli altri An mi possono fornire.
Tuttavia se y ≥ 0 , per y = 0, la relazione y ≥ $ 1/(x) $ non perde di significato? Perchè nessun valore di x mi darebbe mai y = 0, giusto? Allora ho pensato di dover eliminare l'uguale dalla relazione ed imporre le y strettamente maggiori di 0.
Così facendo però non perdo tutti i valori delle y, forniti da eventuali x negativi?

Credo di essermi spiegato male, e nel caso mi scuso, proverò magari a riformulare in modo più chiaro se non riuscite a capire. Magari con qualche immagine relativa all'esercizio, e ad i miei passaggi svolti, non so. Sono in panne .

[Indrjo Dedej]

in effetti c'è un po' di confusione.

"davnat":
Io non riesco a capire come definire questo tipo di insiemi. Vi riporto un esempio di un esercizio che ho svolto, ma che probabilmente è errato.

Non riesci a visualizzare in qualche modo gli insiemi? Questo intendi? Se hai problemi di questo tipo prova a disegnarti le curve di equazione $f_n (x):=1/(nx)$. Una rappresentazione grafica ti può aiutare.

"davnat":
Mi sono detto, A1 include in se tutti gli altri An perchè al variare di x ottengo tutti i valori che gli altri An mi possono fornire.

Fai il grafico.

[davnat]

Grazie per la risposta. Dunque io il grafico l'ho fatto, e quello che ho capito è questo:

Essendo l'unione di n inisemi uguale ad un insieme U composto da tutti gli elementi degli n insiemi, l'insieme A deve essere composto da tutti gli elementi degli An. Per n = 1, abbiamo che y ≥ $ 1/x $ . Per n = + $ oo $ abbiamo y ≥ 0.
Ora siccome il grafico di $ 1/x $ cade anche nel terzo quadrante e quindi anche per i valori di x negativi, quegli elementi non posso escluderli. Non posso escludere però anche gli elementi dati dai vari $ 1/(nx) $ . A quelli però ci pensa la relazione y ≥ 0.
Tuttavia siccome non posso avere i valori di x = 0 devo eludere il ≥ e porre y strettamente > 0.
Quindi quello che mi verrebbe da dire è che l'insieme A è composto da:

A = {(x,y) / y>0 per le x >0 e y ≥ $ 1/x $ per le x < 0} opure A = {(x,y) / y > 0 e y ≥ $ 1/x $, $ AA x $ \ x = 0}