Aiuto su serie di funzioni
Salve, ho bisogno di avere conferma sull'esattezza dello svolgimento di un esercizio ed eventualmente una correzione, lo proporrò qui di seguito con la soluzione secondo me.
Data la serie di funzioni $\sum_{n=1}^oo e^(-nx^2)cos(nx)$
1. Studiare la convergenza totale sugli intervalli $(-2\pi,+2\pi)$ e $(+2\pi,+oo)$
2.Cosa si può dire sulla convergenza uniforme su $(-2\pi,+2\pi)$?
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ Quindi converge totalmente su questo intervallo
Intervallo $(+2\pi,+oo)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(+2\pi,+oo)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=\sum_{n=1}^oo |e^(-n4(pi)^2)cos(2n pi)|$ $=>$ $-e^(-n4(pi)^2)<=e^(-n4(pi)^2)cos(2n pi)<=e^(-n4(pi)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo
2.Sull'intervallo dato la serie converge totalmente e quindi anche uniformemente.
Grazie a chiunque mi aiuterà
Data la serie di funzioni $\sum_{n=1}^oo e^(-nx^2)cos(nx)$
1. Studiare la convergenza totale sugli intervalli $(-2\pi,+2\pi)$ e $(+2\pi,+oo)$
2.Cosa si può dire sulla convergenza uniforme su $(-2\pi,+2\pi)$?
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ Quindi converge totalmente su questo intervallo
Intervallo $(+2\pi,+oo)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(+2\pi,+oo)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=\sum_{n=1}^oo |e^(-n4(pi)^2)cos(2n pi)|$ $=>$ $-e^(-n4(pi)^2)<=e^(-n4(pi)^2)cos(2n pi)<=e^(-n4(pi)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo
2.Sull'intervallo dato la serie converge totalmente e quindi anche uniformemente.
Grazie a chiunque mi aiuterà
Risposte
"marcook":
Data la serie di funzioni $\sum_{n=1}^oo e^(-nx^2)cos(nx)$
1. Studiare la convergenza totale sugli intervalli $(-2\pi,+2\pi)$ [...]
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ Quindi converge totalmente su questo intervallo.
Hai dimenticato un simbolo sommatorio:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{x \in (-2\pi,+2\pi)} |e^{-nx^2} \cos(nx)|=\sum_{n=1}^{+\infty}1$[/tex].
Quindi c'è da rivedere qualcosa, no?
"gugo82":
[quote="marcook"]Data la serie di funzioni $\sum_{n=1}^oo e^(-nx^2)cos(nx)$
1. Studiare la convergenza totale sugli intervalli $(-2\pi,+2\pi)$ [...]
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ Quindi converge totalmente su questo intervallo.
Hai dimenticato un simbolo sommatorio:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{x \in (-2\pi,+2\pi)} |e^{-nx^2} \cos(nx)|=\sum_{n=1}^{+\infty}1$[/tex].
Quindi c'è da rivedere qualcosa, no?[/quote]
Si, ma la serie di uno non converge ugualmente?
"marcook":
[quote="gugo82"]Hai dimenticato un simbolo sommatorio:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{x \in (-2\pi,+2\pi)} |e^{-nx^2} \cos(nx)|=\sum_{n=1}^{+\infty}1$[/tex].
Quindi c'è da rivedere qualcosa, no?
Si, ma la serie di uno non converge ugualmente?[/quote]
Prova a determinarne le somme parziali...
Beh mi viene da dire visto che non ci sono le n:
$S(1)=1$ $S(2)=1$ $S(3)=1$ .......giusto?
$S(1)=1$ $S(2)=1$ $S(3)=1$ .......giusto?
[tex]$\sum_{n=1}^1 1=1,\ \sum_{n=1}^2 1=1+1=2,\ \sum_{n=1}^3 1=1+1+1=3,\ldots ,\ \sum_{n=1}^N 1=\underbrace{1+\ldots +1}_{\text{$N$ volte}} =N,\ \ldots$[/tex]
"gugo82":
:-s
[tex]$\sum_{n=1}^1 1=1,\ \sum_{n=1}^2 1=1+1=2,\ \sum_{n=1}^3 1=1+1+1=3,\ldots ,\ \sum_{n=1}^N 1=\underbrace{1+\ldots +1}_{\text{$N$ volte}} =N,\ \ldots$[/tex]
ecco, vedi dove era il mio problema....quindi diverge palesemente
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=\sum1$ Quindi non converge totalmente su questo intervallo
la serie convergerà totalmente su insiemi tipo $(-oo,-r) e (s,+oo)$ con $r,s>0$
Adesso ci siamo?
Quindi il quesito 2 è errato, e dovrebbe essere:
La condizione necessaria per la convergenza uniforme è data da $\lim_{n \to \infty} Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ che è diverso da 0per cui manca la condizione per la convergenza uniforme su questo intervallo.
Che ne dici adesso?
"marcook":
[quote="gugo82"]:-s
[tex]$\sum_{n=1}^1 1=1,\ \sum_{n=1}^2 1=1+1=2,\ \sum_{n=1}^3 1=1+1+1=3,\ldots ,\ \sum_{n=1}^N 1=\underbrace{1+\ldots +1}_{\text{$N$ volte}} =N,\ \ldots$[/tex]
ecco, vedi dove era il mio problema....quindi diverge palesemente
[/quote]Contento che te ne sia accorto.
In generale, ovviamente, ogni serie del tipo [tex]$\sum_{n=n_0}^{+\infty} a$[/tex], con [tex]$a$[/tex] costante [tex]$\neq 0$[/tex], è divergente.
"marcook":
1.
Intervallo $(-2\pi,+2\pi)$
la convergenza totale è data dalla convergenza di $\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=\sum1$ Quindi non converge totalmente su questo intervallo
la serie convergerà totalmente su insiemi tipo $(-oo,-r)$ e $(s,+oo)$ con $r,s>0$
Adesso ci siamo?
E vabbè, fare affermazioni così non costa nulla... Pure io potrei tirare ad indovinare e sperare di prenderci.
Mostraci una dimostrazione di quanto asserisci.
P.S.: Ricorda che stai lavorando in [tex]$]-2\pi ,2\pi[$[/tex].
"marcook":
Quindi il quesito 2 è errato, e dovrebbe essere:
La condizione necessaria per la convergenza uniforme è data da $\lim_{n \to \infty} Sup_(x in(-2\pi,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=1$ che è diverso da 0per cui manca la condizione per la convergenza uniforme su questo intervallo.
Quella che citi è la convergenza uniforme per una successione di funzioni...
Condizioni per l'uniforme convergenza di una serie non ce ne sono d'immediate.
Come certamente saprai, la convergenza uniforme di una serie [tex]$\sum f_n$[/tex] dipende dalla convergenza uniforme della successione delle sue somme parziali [tex]$\sum_{n=1}^N f_n$[/tex]; visto che in generale non è possibile scrivere in forma chiusa tali somme, non è possibile calcolare esplicitamente il [tex]$\sup_{x\in X} \sum_{n=1}^N f_n(x)$[/tex]. Pertanto in generale nulla si può dire sulla convergenza uniforme di [tex]$\sum f_n$[/tex].
Per questo motivo si preferisce studiare la convergenza totale, che è più forte ma non fa intervenire le somme parziali in alcun modo.
Ovviamente non ho tirato ad indovinare….per gli intervalli sono stanco ed ho sbagliato, dovevo scrivere $(-2pi,-r)$ e $(s,+2pi)$ 
Comunque ho ragionato in questo modo per la convergenza totale:
In x=0 la serie non converge totalmente come abbiamo già visto, quindi dovremo cercare in questo caso (si disegna un grafico al variare di n) la convergenza totale in due intervalli $(-2pi,-r)$ e $(s,+2pi)$ escludendo cioè il punto x=0.
In $(-2pi,-r)$ avremo che:
$\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,-r)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=sum_{n=1}^oo |e^(-nr^2)cos(-nr)|$ $=>$ $-e^(-n(r)^2)<=e^(-n(r)^2)cos(-nr)<=e^(-n(r)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo per il criterio del confronto asintotico
In $(-2pi,s)$ avremo che:
$\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(s,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=sum_{n=1}^oo |e^(-ns^2)cos(ns)|$ $=>$ $-e^(-n(s)^2)<=e^(-n(s)^2)cos(ns)<=e^(-n(s)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo per il criterio del confronto asintotico
La serie data converge totalmente su $(-2pi,-r)$ e $(s,+2pi)$
Così dovrebbe andar bene.....
Gli appunti del mio prof non mi danno giustamente una condizione sufficiente per la convergenza uniforme delle serie, ma come ho scritto mi dice come ocndizione necessaria(ma non sufficiente!) quel limite che ho scritto deve andare a zero. Credo si rifaccia alla condizione necessaria per serie numeriche...
Comunque ho ragionato in questo modo per la convergenza totale:
In x=0 la serie non converge totalmente come abbiamo già visto, quindi dovremo cercare in questo caso (si disegna un grafico al variare di n) la convergenza totale in due intervalli $(-2pi,-r)$ e $(s,+2pi)$ escludendo cioè il punto x=0.
In $(-2pi,-r)$ avremo che:
$\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(-2\pi,-r)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=sum_{n=1}^oo |e^(-nr^2)cos(-nr)|$ $=>$ $-e^(-n(r)^2)<=e^(-n(r)^2)cos(-nr)<=e^(-n(r)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo per il criterio del confronto asintotico
In $(-2pi,s)$ avremo che:
$\sum_{n=1}^oo Sup_(x in(s,+2\pi)) |e^(-nx^2)cos(nx)|=sum_{n=1}^oo |e^(-ns^2)cos(ns)|$ $=>$ $-e^(-n(s)^2)<=e^(-n(s)^2)cos(ns)<=e^(-n(s)^2)$ Quindi converge totalmente su questo intervallo per il criterio del confronto asintotico
La serie data converge totalmente su $(-2pi,-r)$ e $(s,+2pi)$
Così dovrebbe andar bene.....
Gli appunti del mio prof non mi danno giustamente una condizione sufficiente per la convergenza uniforme delle serie, ma come ho scritto mi dice come ocndizione necessaria(ma non sufficiente!) quel limite che ho scritto deve andare a zero. Credo si rifaccia alla condizione necessaria per serie numeriche...
Praticamente stai affermando che ogni addendo è monotono crescente [risp. decrescente] in [tex]$[-2\pi ,r]$[/tex] [risp. [tex]$[s,2\pi]$[/tex]]... Se lo dici tu sarà vero. Ti dò fiducia, giacché non ho voglia di mettermi a far conti.
Nel caso ciò sia vero, la tua serie si maggiora con una serie geometrica convergente sia in [tex]$[-2\pi ,r]$[/tex] sia in [tex]$[s,2\pi ]$[/tex], quindi hai voglia di convergenza totale.
Per la convergenza uniforme bastarebbe tener presente che il limite uniforme di funzioni limitate è limitato; se la convergenza della serie fosse uniforme in [tex]$[-2\pi ,2\pi]$[/tex] dovresti avere una somma limitata, epprò...
Nel caso ciò sia vero, la tua serie si maggiora con una serie geometrica convergente sia in [tex]$[-2\pi ,r]$[/tex] sia in [tex]$[s,2\pi ]$[/tex], quindi hai voglia di convergenza totale.
Per la convergenza uniforme bastarebbe tener presente che il limite uniforme di funzioni limitate è limitato; se la convergenza della serie fosse uniforme in [tex]$[-2\pi ,2\pi]$[/tex] dovresti avere una somma limitata, epprò...
A me negli esercizi li fanno fare così...cioè non è che ci siano altri conti da fare... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"marcook":
A me negli esercizi li fanno fare così...cioè non è che ci siano altri conti da fare...
Scusa, non capisco cosa vuoi dire marcook.
Da quanto hai scritto si evince che [tex]$\sup_{x\in [s,2\pi]} |e^{-nx^2} \cos nx| =|e^{-ns^2} \cos ns|$[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e per ogni [tex]$s\in [0,2\pi[$[/tex]; quindi presumo che tu l'abbia verificato in qualche modo... Anche perchè ad un mio post precedente rispondesti che "ovviamente" non stai tirando ad indovinare.
Fammi capire il "tuo" metodo, allora: perchè scrivi [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{x\in [s,2\pi]} |e^{-nx^2} \cos nx| =\sum_{n=1}^{+\infty}|e^{-ns^2} \cos ns|$[/tex]?
Si, lo scrivo perchè disegnando un grafico, si vede che la funzione al variare di n è decrescente quindi in s (ed in r) c'è il sup.
Cioè lo dimostriamo intuitivamente con un grafico
Cioè lo dimostriamo intuitivamente con un grafico
Esempio: [tex]$n=8$[/tex], [tex]$|f_8(x)|=e^{-8x^2} |\cos 8x|$[/tex] ed [tex]$s=1$[/tex].
Guardando il grafico (ho diagrammato la funzione [tex]$|f_8|$[/tex] solo per [tex]$x\in [1,2]\subseteq [1,2\pi]$[/tex])
[asvg]xmin=1;xmax=2;ymin=0;ymax=1;
axes("labels");
line([1,-2],[1,2]);
stroke="red";
plot("abs(10000*exp(-8*x^2)*cos(8*x))",1,2);[/asvg]
si vede che [tex]$|f_8(1)|<\max_{[1,2\pi]} |f_8|$[/tex].
Quindi in generale non posso esser certo che [tex]$\max_{[s,2\pi]} |f_n|=|f_n(s)|$[/tex].
Però si può certamente aggirare questa difficoltà... Come?
Guardando il grafico (ho diagrammato la funzione [tex]$|f_8|$[/tex] solo per [tex]$x\in [1,2]\subseteq [1,2\pi]$[/tex])
[asvg]xmin=1;xmax=2;ymin=0;ymax=1;
axes("labels");
line([1,-2],[1,2]);
stroke="red";
plot("abs(10000*exp(-8*x^2)*cos(8*x))",1,2);[/asvg]
si vede che [tex]$|f_8(1)|<\max_{[1,2\pi]} |f_8|$[/tex].
Quindi in generale non posso esser certo che [tex]$\max_{[s,2\pi]} |f_n|=|f_n(s)|$[/tex].
Però si può certamente aggirare questa difficoltà... Come?
Basta prendere s sufficientemente grande quanto basta per stare a destra di 1 giusto?
E vabbè allora buttiamo a mare l'esercizio!
Nono, guarda bene. Si può maggiorare prima di prendere il massimo, quindi...
Nono, guarda bene. Si può maggiorare prima di prendere il massimo, quindi...
Uff è la prima volta che facendo matematica mi sento così frustrato 
con le serie non c'ho mai capito niente
Beh,comunque posso dire che $|f_8(x)|=e^{-8x^2} |\cos 8x| <= e^{-8x^2}$ e poi prendere il massimo
con le serie non c'ho mai capito nienteBeh,comunque posso dire che $|f_8(x)|=e^{-8x^2} |\cos 8x| <= e^{-8x^2}$ e poi prendere il massimo
"marcook":
posso dire che $|f_8(x)|=e^{-8x^2} |\cos 8x| <= e^{-8x^2}$ e poi prendere il massimo
Esatto!
Ed il massimo di [tex]$e^{-8x^2}$[/tex] lo trovi proprio in [tex]$s$[/tex], giacché questa funzione è strettamente decrescente.
In generale, hai [tex]$|f_n(x)|\leq e^{-nx^2}$[/tex], quindi [tex]$\max_{[s,2\pi]} |f_n| \leq e^{-ns^2}$[/tex] ed il tuo ragionamento precedente si salva tutto!
(Insomma, era il passaggio intermedio ad essere sbagliato, non l'idea od il punto d'arrivo.)
"marcook":
Uff è la prima volta che facendo matematica mi sento così frustrato
Lascia stare la frustrazione... Hai capito dove sbagliavi: già questo deve renderti allegro, perchè in futuro non farai lo stesso errore.
Eh grazie a te che mi hai guidato....questo è l'esercizio che avevo nel compito d'esame, è l'utimo esame di analisi però il mio punto debole è stato sempre nelle serie.....non so com'è ma quando le vedo perdo ogni logica e mi blocco. Purtroppo avendola sbagliata per metà nel compito me la chiederà all'orale sicuramente.....grazie ancora, davvero 
[OT]
Ultimo esame di Analisi? Con le serie di funzioni... Sarà un Analisi II, no?
Che facoltà, se non sono indiscreto?
[/OT]
Ultimo esame di Analisi? Con le serie di funzioni... Sarà un Analisi II, no?
Che facoltà, se non sono indiscreto?
[/OT]
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