Aiuto su integrale indefinito!

[loki22]

Ragazzi buongiorno a tutti!
Stavo sbattendo la testa su questo integrale, che non sembra proprio riuscire!
eccolo :

$\int(sinx+1)/(cosx+2)dx$

Ecco il ragionamento che ho adottato :

Ho scomposto l'integrale in una somma di integrali, ottenendo :

$\int(sinx)/(cosx+2)dx + \int(1)/(cosx+2)dx

Il primo, di semplice risoluzione risulta $-ln(cosx+2).

Quello che non riesco a capire, è cosa devo fare sul secondo!
Qualcuno di voi saprebbe aiutarmi?
Grazie mille anticipatamente,

Luca.

[Seneca1]

Forse con le parametriche...

[hamming_burst]

Allora come ti è stato suggerito basta giocare sulle funzioni parametrice e sostituzione.

Il primo pezzo è corretto, per il scondo integrale:

$int 1/(cos(x) + 2) dx = int 1/(cos(x) + ((sen(2x))/(sen(x)cos(x)))) dx = int 1/((cos^2(x)sen(x) + sen(2x))/(sen(x)cos(x))) dx=$

$int 1/(((1-sen^2(x))sen(x) + sen(2x))/(sen(x)cos(x))) dx= int 1/((sen(x)-sen^3(x) + sen(2x))/(sen(x)cos(x))) dx$

ora per semplificare sostituiamo $sen(x) = t\ ,\ x=arcsen(t)\ ,\ dx=1/sqrt(1-t^2)dt$ e $sen(2x) = 2sen(x)cos(x) = 2tsqrt(1-t^2)$

$int 1/(((t - t^3 + 2tsqrt(1-t^2))/(tsqrt(1-t^2)))) * 1/sqrt(1-t^2) dt = int t/(t - t^3 + 2tsqrt(1-t^2)) dt $

se non ho sbagliato qualcosa (probabile) i passaggi per concludere è risolvere questo "meraviglioso" integrale. A te concludere.

EDIT: mi son perso la derivata in dx

[enrico_berto]

sei sicuro dell'ultimo passaggio? Si può dividere l'integrale anche se la somma è al denominatore?

[hamming_burst]

e infatti non ero sicuro, meglio togliere quel passaggio

EDIT:
ma scusa secondo me può essere ben correto, se facicamo così, lasciando da parte che non messo la derivata in dx e perciò $sqrt(1-t^2))$ sarebbe eliminato:

$int 1/(((t - t^3 + 2tsqrt(1-t^2))/(tsqrt(1-t^2)))) dt = int 1/((t/(tsqrt(1-t^2)) - t^3/(tsqrt(1-t^2)) + 2tsqrt(1-t^2)/(tsqrt(1-t^2))) dt$ e giriamo non è un po' la stessa cosa? cioè:

$int (tsqrt(1-t^2))/t - (tsqrt(1-t^2))/t^3 + (tsqrt(1-t^2))/(2tsqrt(1-t^2)) dt$

dirò forse na sciempiaggine, ma è possibile farla na cosa del genere?

PS: @loki22 scusa se mi sono intromesso con i miei dubbi.

[loki22]

corro a provare!!!
grazie mille per la disponibilità ragazzi!!!

[ciampax]

@ ham_burst: la sostituzione più "terribilmente orrenda" che io abbia mai visto! (permettetemi la licenza sgrammaticata!)

Ma usare le sostituzioni parametriche giuste, cioè queste

[tex]$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt,\qquad t=\tan\frac{x}{2}$[/tex]?

L'integrale in questo modo diventa

[tex]$\int\frac{1+t^2}{1-t^2+2+2t^2}\ \frac{2}{1+t^2}\ dt=2\int\frac{1}{3+t^2}\ dt$[/tex]

che è moooolto più immediato.

[hamming_burst]

@ciampax: grazie lo prendo come un complimento, ci vuole impegno pure in questo

già che avevo un attimo di tempo mi sono ingranato a cercare di finire quel che avevo iniziato, sarà sbagliato, ma volevo finirlo

$int t/(t - t^3 + 2tsqrt(1-t^2)) dt = 1/((1 - t^2) + 2sqrt(1-t^2)) dt $ sostituisco di nuovo tanto se si complica...

$1-t^2=g\ ,\ t=sqrt(1-g)\ ,\ dt=1/(2sqrt(1-g))dg$

$int 1/(g +2sqrt(g)) * 1/(2sqrt(1-g))dg = (1/2)int 1/(gsqrt(1-g) +2sqrt(g(1-g)))dg$ razionalizzo e semplifico

$-(1/2)int (sqrt(g-1)*(1/2-(1/sqrt(g)))2g)/(g(g^2+4g+3)) dg = - 2/2 int sqrt(1-g)*(1/2-(1/sqrt(g)))/((g+3)*(g+1)) dg$

________________________________sbagliato________________________________________

$- int sqrt(1-g) * ((-1/4)/(g+3) + (5/4)/(g+1)) dg$ integro per parti (se corretto)

$- int sqrt(1-g) * ((-1/4)ln(g+3) + (5/4)ln(g+1))^{\prime} dg = 1/4sqrt(1-g) * (ln(g+3) - 5ln(g+1)) + int 1/(2sqrt(1-g)) * ((-1/4)ln(g+3) + (5/4)ln(g+1)) dg$

$1/4sqrt(1-g) * (ln(g+3) - 5ln(g+1)) -(1/8) int (ln(g+3)/sqrt(1-g) + (5/8) int (ln(g+1))/sqrt(1-g) dg =$

$(5/8) int (ln(g+1))/sqrt(1-g) dg = (5/8)sqrt(1-g)ln|1-g| - (5/8)sqrt(1-g)$

$1/4sqrt(1-g) * (ln(g+3) - 5ln(g+1)) + (5/8)sqrt(1-g)ln|1-g| - (5/8)sqrt(1-g) -(1/8) int ln(g+3)/sqrt(1-g) =$

$1/4sqrt(sen^2(x)) * (ln(4-sen^2(x)) - 5ln(2-sen^2(x))) + (5/8)sqrt(sen^2(x))ln|sen^2(x)| - (5/8)sqrt(sen^2(x)) -(1/8) int ln(g+3)/sqrt(1-g) =$

e qua mi riarrendo

EDIT: con la correzione di ciampax, ho ricalcolato un po' tutto. Sicuramente è ancora pieno di errori.

[ciampax]

Hai fatto un errore: se poni $1-t^2=g$ allora $t=\sqrt{1-g}$...

[hamming_burst]

Grazie ciampax

Visto che vorrei riuscire a risolvere quel bell'integrale sopra, chiedo una mano, vorrei risucire a scomporre questo pezzo:

$(1/2-(1/sqrt(g)))/((g+3)*(g+1))$

pensavo fosse possibile dividerlo con il metodo dei polinomi fratti con gradi $P(x)
E' possibile scomporre questo pezzo con una bella somma?

Ringrazio chi aiuta.

[Antimius]

Ma quello a numeratore non è un polinomio.
Scusa la domanda: ma perché torturarsi in questo modo?

[hamming_burst]

si immaginavo che non si potesse usare, ma chiedevo se c'era un metodo simile, da suddiviedere quel pezzo con un operatore.

sai com'è mi piace il sado

[ciampax]

"ham_burst":sai com'è mi piace il sado

Io direi che ti piace il "maso"... di quello che finisce con la morte del torturato!

[Antimius]

Ahahah. In ogni caso, se proprio non volevo usare le parametriche e volevo risolvere l'integrale di quella funzione irrazionale, io avrei sostituito $t=sqrt((1-g)/(1+g))$, perché avrebbe razionalizzato il tutto (credo). Però, se vuoi sapere come risolvere l'ultimo pezzo, prova a sostituire $g=x^2$.

[hamming_burst]

brutta cosa mettere $g=x^2$ mi ritroverei con un bel valore assoluto. Ma se invece elevassi a potenza quadra numeratore e denominatore?

"ciampax":[quote="ham_burst"]sai com'è mi piace il sado

Io direi che ti piace il "maso"... di quello che finisce con la morte del torturato! [/quote]

ma il maso, quello con le mucche?

[Antimius]

Ah, giusto, è un integrale indefinito. In che senso elevare a potenza quadra numeratore e denominatore?

EDIT: Sto pensando che in realtà potresti effettuare la sostituzione, considerando che $g= f(x)=x^2$ dev'essere invertibile e quindi la restringi a $x"in(0, +infty)$, così ti togli il valore assoluto. Poi, sostituisci di nuovo $x=f^(-1)(g)=sqrt(g)$, tanto a te interessa la primitiva in funzione di $g$, su cui non hai imposto nessuna limitazione. Ma aspetta Ciampax o qualcun altro per esserne sicuro

[hamming_burst]

ricordo male una regola, è sbagliato quello che ho detto. Se riuscissi a scomporlo in una soma sarei a cavallo...ci penserò

[Antimius]

Non so se hai letto l'edit. Comunque, penso che l'idea sia può togliersi la radice di torno. Perché non saprei proprio come scomporre.

[hamming_burst]

Allora, essendo un po' testardo ho continuato l'integrale del post, ero rimasto a cercare di scomporre:

$(1/2 - 1/sqrt(g) )/ ((g + 3)(g +1)) dg$

sostituendo dietro consiglio $sqrt(g) = p$ con limitazione tra $(0,+oo)$ così ignorando il valore assoluto

$sqrt(g) = p\ ,\ g=p^2\ ,\ dg=2pdp$


$(1/2 - 1/p )/ ((p^2 + 3)(p^2 +1)) 2pdp = (p - 2 )/ ((p^2 + 3)(p^2 +1)) dp$

scomponendo il tutto con le proprietà degli integrali fratti risulta:

$int (-1/2p + 1 )/(p^2 + 3) + int (1/2p +1)/(p^2 +1) = -1/4log(3+p^2) + sqrt(3)/3arctan(p/sqrt(3)) + 1/4log(1+p^2) - arcatan(p)$

e intanto mi fermo qua.

[Antimius]

Oddio, qualcuno lo fermi!

[hamming_burst]

mi sa che ho sbagliato di nuovo, avendo fatto na limitazione anche l'integrale diventa definito. giusto?

se è sbagliato anche questo mi arrendo, forse.