Aiuto su integrale indefinito!

[loki22]

Ragazzi buongiorno a tutti!
Stavo sbattendo la testa su questo integrale, che non sembra proprio riuscire!
eccolo :

$\int(sinx+1)/(cosx+2)dx$

Ecco il ragionamento che ho adottato :

Ho scomposto l'integrale in una somma di integrali, ottenendo :

$\int(sinx)/(cosx+2)dx + \int(1)/(cosx+2)dx

Il primo, di semplice risoluzione risulta $-ln(cosx+2).

Quello che non riesco a capire, è cosa devo fare sul secondo!
Qualcuno di voi saprebbe aiutarmi?
Grazie mille anticipatamente,

Luca.

[Antimius]

Il procedimento dovrebbe essere corretto, ma non ho controllato i calcoli

[Antimius]

Comunque quella che fai è una limitazione sulla tua variabile $x=sqrt(g)$. In realtà, è una limitazione obbligata perché la radice quadrata è per definizione positiva. In quel modo però costruisci una funzione invertibile che ti aiuta, per sostituzione, a risolvere l'integrale.
Sulla $g$ non hai alcuna limitazione perché $g>=0$, dato che nella funzione integranda compare $sqrt(g)$. (ovviamente mi riferisco all'ultima funzione, nemmeno mi ricordo più quante sostituzioni sono state fatte )
Ah, è ovviamente, è ancora un integrale indefinito perché tu stai cercando una primitiva. Non stai cercando l'integrale definito fra $0$ e $+infty$

[hamming_burst]

@Antimus: grazie dei consigli, si avrò fatto 4 sosituzioni
Il problema è cosa succede quando risostituisco in funzione di $g$. Intanto ricapitolo tutto:

$int t/(t - t^3 + 2tsqrt(1-t^2)) dt = 1/((1 - t^2) + 2sqrt(1-t^2)) dt $ sostituisco di nuovo

$1-t^2=g\ ,\ t=sqrt(1-g)\ ,\ dt=1/(2sqrt(1-g))dg$

$int 1/(g +2sqrt(g)) * 1/(2sqrt(1-g))dg = (1/2)int 1/(gsqrt(1-g) +2sqrt(g(1-g)))dg$ razionalizzo e semplifico

$-(1/2)int (sqrt(g-1)*(1/2-(1/sqrt(g)))2g)/(g(g^2+4g+3)) dg = - 2/2 int sqrt(1-g)*(1/2-(1/sqrt(g)))/((g+3)*(g+1)) dg$

scompongo $(1/2 - 1/sqrt(g) )/ ((g + 3)(g +1)) dg$ ed integro per poi utilizzare questo pezzo con integrazione per parti:

sostituisco $sqrt(g) = p$ con limitazione tra $(0,+oo)$ così ignoro allegramene il valore assoluto

$sqrt(g) = p\ ,\ g=p^2\ ,\ dg=2pdp$


$(1/2 - 1/p )/ ((p^2 + 3)(p^2 +1)) 2pdp = (p - 2 )/ ((p^2 + 3)(p^2 +1)) dp$

scomponendo il tutto con le proprietà degli integrali fratti risulta:

$int (-1/2p + 1 )/(p^2 + 3) + int (1/2p +1)/(p^2 +1) = -1/4log(3+p^2) + sqrt(3)/3arctan(p/sqrt(3)) + 1/4log(1+p^2) - arctan(p)$

risostituisco in $g$

$-1/4log(3+g) + sqrt(3)/3arctan(sqrt(g/3)) + 1/4log(1+g) - arctan(sqrt(g))$

l'integrale allora diviene:

$- int sqrt(1-g)*(-1/4log(3+g) + sqrt(3)/3arctan(sqrt(g/3)) + 1/4log(1+g) - arctan(sqrt(g)))^{\prime} dg=$

$- sqrt(1-g)*(-1/4log(3+g) + sqrt(3)/3arctan(sqrt(g/3)) + 1/4log(1+g) - arctan(sqrt(g))) + int 1/(2sqrt(1-g))*(-1/4log(3+g) + sqrt(3)/3arctan(sqrt(g/3)) + 1/4log(1+g) - arctan(sqrt(g))) =$

$-1/8int (log(3+g))/(sqrt(1-g)) + 1/8int log(1+g)/(sqrt(1-g)) + sqrt(3)/6 int arctan(sqrt(g/3))/(sqrt(1-g)) - 1/2 int arctan(sqrt(g))/(sqrt(1-g))$

ok mi fermo qua per ora

[ciampax]

Ma tu ancora qua stai???????
Oki, qualcuno mi avvisa quando ham_burst ci lascia le penne che scrivo un epitaffio per celebrare la sua ostinazione e il suo coraggio? Grazie!

[Antimius]

Ahahah