Aiuto su antitrasformata di Laplace
Salve ragazzi. Ieri stavo facendo alcuni esercizi sui problemi ai valori iniziali con le trasformate di Laplace. Mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza difficile. L'esercizio è il seguente:
$\{(y''-14y'+65y=16te^(7t)),(y(0)=1),(y'(0)=-1):}$
Per quanto riguarda le trasformate non ho problemi. Il mio problema sono le antitrasformate. Dopo alcuni calcoli giungo a questa conclusione:
$\mathcal{L_u}[y(t)]= (s-15)/((s-7)^2+16)+16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])$.
L'antitrasformata del primo termine nonmi da problemi, trovo problemi ad antitrasformare il secondo termine.
Io ho porvato così:
$\mathcal{L_u}^(-1)[16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])]= 16/(s^2(s^2+16))=(16-s^2+s^2)/(s^2(s^2+16))=1/(s^2)-1/(s^2+16)$.
Quindi antitrasformando ho $u(t)t-(u(t)sin(4t))/4$. Tuttavia non mi trovo con il risultato del mio libro che invece dice che ci deve essere un $e^(7t)$. Da dove esce fuori questa antitrasformata?
Sapreste aiutarmi? Grazie a tutti.
P.s. Un mio collega ha detto che dovrei scrivere quella antitrasformata come $e^(7t)\mathcal{L_u}^(-1)[16/(s^2(s^2+16))]$, ed ha giustificato questo passaggio dicendo che ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità al denominatore. Io so che quando si adoperano questi artifizi, si deve fare in modo da non modificare la forma iniziale dell'espressione. Ora, ammesso che questo passaggio sia lecito, non capisco ancora come possa ottenere qualla antitrasformata. Potreste aiutarmi a capire se il metodo del mio collega è corretto e in che modo si applica?
$\{(y''-14y'+65y=16te^(7t)),(y(0)=1),(y'(0)=-1):}$
Per quanto riguarda le trasformate non ho problemi. Il mio problema sono le antitrasformate. Dopo alcuni calcoli giungo a questa conclusione:
$\mathcal{L_u}[y(t)]= (s-15)/((s-7)^2+16)+16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])$.
L'antitrasformata del primo termine nonmi da problemi, trovo problemi ad antitrasformare il secondo termine.
Io ho porvato così:
$\mathcal{L_u}^(-1)[16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])]= 16/(s^2(s^2+16))=(16-s^2+s^2)/(s^2(s^2+16))=1/(s^2)-1/(s^2+16)$.
Quindi antitrasformando ho $u(t)t-(u(t)sin(4t))/4$. Tuttavia non mi trovo con il risultato del mio libro che invece dice che ci deve essere un $e^(7t)$. Da dove esce fuori questa antitrasformata?
Sapreste aiutarmi? Grazie a tutti.
P.s. Un mio collega ha detto che dovrei scrivere quella antitrasformata come $e^(7t)\mathcal{L_u}^(-1)[16/(s^2(s^2+16))]$, ed ha giustificato questo passaggio dicendo che ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità al denominatore. Io so che quando si adoperano questi artifizi, si deve fare in modo da non modificare la forma iniziale dell'espressione. Ora, ammesso che questo passaggio sia lecito, non capisco ancora come possa ottenere qualla antitrasformata. Potreste aiutarmi a capire se il metodo del mio collega è corretto e in che modo si applica?
Risposte
Up!
Hai semplicemente usato questa proprietà:
$\mathfrak{L}{ e^{at} f(t) } = \mathfrak{L}{f}(s - a)$
Avevi una espressione in cui la "$s$" compariva sempre come $(s-7)$ e hai effettuato la sostituzione $s'=s-7$, quindi $a=7$ quindi la funzione nel dominio del tempo avrà un fattore $e^(7t)$ davanti.
$\mathfrak{L}{ e^{at} f(t) } = \mathfrak{L}{f}(s - a)$
Avevi una espressione in cui la "$s$" compariva sempre come $(s-7)$ e hai effettuato la sostituzione $s'=s-7$, quindi $a=7$ quindi la funzione nel dominio del tempo avrà un fattore $e^(7t)$ davanti.
Ciao Quinzio grazei mille per aver risposto. 
Ah ecco la magia. Quindi tutto sta nel sostituire e poi applicare la formula giusto?
P.s. Però, per fare questo, significa che io l'antitrasformata di partenza la posso scrivere come il prodotto tra le antitrasformate. O sbaglio? E' lecito pensarla in questo modo?
Ah ecco la magia. Quindi tutto sta nel sostituire e poi applicare la formula giusto?P.s. Però, per fare questo, significa che io l'antitrasformata di partenza la posso scrivere come il prodotto tra le antitrasformate. O sbaglio? E' lecito pensarla in questo modo?
Qual è l'antitrasformata di partenza ?
No scusa Quinzio. Ora ho capito. Fai finta che non abbia scritto niente xD. Comunque l'antitrasformata è immediata, cosa che non credevo. Grazie mille.
Ciao Quinzio. Avrei un problema con un altra antitrasformata, la seguente: $\mathcal{L_u}^(-1)[(s-3)/[(s+1)(s-2)[(s-3)^2+9]]]$.
Saresti cosi gentile da indicarmi la strada? Io ho pensato di procedere per fratti semplici, ma ci ho provato ed escono dei calcolacci enormi, per cui mi sono fermato ed ho preferito postare.
Saresti cosi gentile da indicarmi la strada? Io ho pensato di procedere per fratti semplici, ma ci ho provato ed escono dei calcolacci enormi, per cui mi sono fermato ed ho preferito postare.
Salve ragazzi avrei questa funzione da antitrasformare:
$\mathcal{L_u}^(-1)[1/((s+1)[(s+1)^2+16]^2)]$.
Qualcuno saprebbe aiutarmi per favore?
EDIT: Io ho pensato di procedere in questo modo:
$e^t\mathcal{L_u}^(-1)[1/(s(s^2+16)^2)]$.
Ora ho provato a scomporre in fratti ma non ottengo nulla di nuovo.
$\mathcal{L_u}^(-1)[1/((s+1)[(s+1)^2+16]^2)]$.
Qualcuno saprebbe aiutarmi per favore?
EDIT: Io ho pensato di procedere in questo modo:
$e^t\mathcal{L_u}^(-1)[1/(s(s^2+16)^2)]$.
Ora ho provato a scomporre in fratti ma non ottengo nulla di nuovo.
Si devi procedere in questo modo, ma nota che $ s^2=16 $ cioè $ s=\pm4i $ che sarebbe un polo di secondo ordine, quindi dovrai impostare l' antitrasformata in questo modo:
$ Y(s)=((R[o])/(2(2s))) + 2α (s)/(s^2+16) - 2β 4/(s^2+16) $ + $ (d/(ds))[2α (s)/(s^2+16) - 2β 4/(s^2+16)] $ la formula si ripete con la derivata perchè il polo è doppio, ed inoltre il valore che troverai lo andrai a sostituire al posto di Alfa e Beta.
Per l' altra antitrasformata hai risolto?
$ Y(s)=((R[o])/(2(2s))) + 2α (s)/(s^2+16) - 2β 4/(s^2+16) $ + $ (d/(ds))[2α (s)/(s^2+16) - 2β 4/(s^2+16)] $ la formula si ripete con la derivata perchè il polo è doppio, ed inoltre il valore che troverai lo andrai a sostituire al posto di Alfa e Beta.
Per l' altra antitrasformata hai risolto?
Ciao. Grazie per la risposta 
. Si per l'altra ho risolto. Scusa ma non ho capito come procedere con quest ultima. Cioè io ho pensato di usare Hermite ma non riesco a togliere di mezzo quel $s$ al denominatore. Potresti essere più chiaro? Anche perchè quella formula adesso non mi viene in mente qual'è!
. Si per l'altra ho risolto. Scusa ma non ho capito come procedere con quest ultima. Cioè io ho pensato di usare Hermite ma non riesco a togliere di mezzo quel $s$ al denominatore. Potresti essere più chiaro? Anche perchè quella formula adesso non mi viene in mente qual'è!
Si ma devi applicare per forza il teorema dei residui in questo caso.
Poichè $s^2+16$ da una radice complessa applichi la formula ;
$F(s)= 2α (s-d)/[(s-d_n)^2 +(w_o)^2] - 2β w/[(s-d_0)^2 + (w_0)^2]$
Calcoli i residui ed otterrai un valore reale ed uno complesso che sostituirai al posto di Alfa e Beta (quello complesso senza la i). Se troverai solo un valore reale o complesso una delle 2 trasformate non le calcolerai "ovviamente".
Prendi dimistichezza con queste cose e soprattutto con i residui.
Poichè $s^2+16$ da una radice complessa applichi la formula ;
$F(s)= 2α (s-d)/[(s-d_n)^2 +(w_o)^2] - 2β w/[(s-d_0)^2 + (w_0)^2]$
Calcoli i residui ed otterrai un valore reale ed uno complesso che sostituirai al posto di Alfa e Beta (quello complesso senza la i). Se troverai solo un valore reale o complesso una delle 2 trasformate non le calcolerai "ovviamente".
Prendi dimistichezza con queste cose e soprattutto con i residui.
"Mysteri":
Cioè io ho pensato di usare Hermite ma non riesco a togliere di mezzo quel s al denominatore
Si ma devi applicare per forza il teorema dei residui in questo caso.
Poichè $s^2+16$ da una radice complessa applichi la formula ;
$F(s)= 2α (s-d)/[(s-d_n)^2 +(w_o)^2] - 2β w/[(s-d_0)^2 + (w_0)^2]$
Calcoli i residui ed otterrai un valore reale ed uno complesso che sostituirai al posto di Alfa e Beta (quello complesso senza la i). Se troverai solo un valore reale o complesso una delle 2 trasformate non le calcolerai "ovviamente".
Prendi dimistichezza con queste cose e soprattutto con i residui.
ok ho capito ora! Solo un altra domanda, come faccio a calcolare il residuo della frazione nella derivata?
Cioè devo applicare questa formula:
$lim_(s -> +-4j) 1/((n-1)!)d^(n-1)/(ds^(n-1))[(s+-4j)^2(s)/(s^2+16)]$
??????
Cioè devo applicare questa formula:
$lim_(s -> +-4j) 1/((n-1)!)d^(n-1)/(ds^(n-1))[(s+-4j)^2(s)/(s^2+16)]$
??????
In questo modo:
$ lim_(s→+4j) 1/((n−1)!) (d^(n−1))/(ds^(n−1))[(s-4j)^2 s/((s+4j)^2(s-4j)^2 s)]$
Dove abbiamo scelto il residuo positivo .
$ lim_(s→+4j) 1/((n−1)!) (d^(n−1))/(ds^(n−1))[(s-4j)^2 s/((s+4j)^2(s-4j)^2 s)]$
Dove abbiamo scelto il residuo positivo .
Ah ok! Perchè bisogna scegliere il residuo con la parte immaginaria positiva? Cioè non ho capito perchè bisogna applicare il teorema dei residui in questo caso? Non si applica agli integrali impropri? :S
EDIT: se io scompongo in questo modo:
$A/s+1/32((Bs+C)/(s^2+16)+d/(ds)[(Ds+C)/(s^2+16)])$
Allora devo determinare i coefficienti che appaiono al numeratore. Se li calcolo con i residui, per l'ultimo termine nella derivata , io devo calcolare prima $D$ e poi $C$ rispettivamente con il residuo di parte immaginaria positiva e negativa. Giusto?
P.S. Per andare sul sicuro, è meglio svolgere la derivata e fare tutti i conti e poi applicare il principio di identità dei polinomi? Adesso non ricordo come si chiama il metodo ma comunque mi riferisco al fatto di fare il m.c.m. e poi impostare il sistema con il principio di identità. Non so se mi sono spiegato.
EDIT: se io scompongo in questo modo:
$A/s+1/32((Bs+C)/(s^2+16)+d/(ds)[(Ds+C)/(s^2+16)])$
Allora devo determinare i coefficienti che appaiono al numeratore. Se li calcolo con i residui, per l'ultimo termine nella derivata , io devo calcolare prima $D$ e poi $C$ rispettivamente con il residuo di parte immaginaria positiva e negativa. Giusto?
P.S. Per andare sul sicuro, è meglio svolgere la derivata e fare tutti i conti e poi applicare il principio di identità dei polinomi? Adesso non ricordo come si chiama il metodo ma comunque mi riferisco al fatto di fare il m.c.m. e poi impostare il sistema con il principio di identità. Non so se mi sono spiegato.
Io di solito scompongo i coefficienti in stile serie di Laurent, calcolo i residui e poi vado a calcolare le antitrasformate. Ma puoi benissimamente scomporre in questo modo solo che non posso darti la certezza di quello che hai scritto perche appunto non uso questo metodo. Ora sto preparando un'orale di Analisi, dopo risolvo l'ese nel mio metodo e ti scannerizzo il tutto cosi vedi se ti trovi.
ok grazie mille per la disponibilità
Figurati, so benissimo che metodi ê una rottura
Ahah...è proprio vero! xD
Ahh ok! Io l'ho svolto con l'altro metodo e devo dire che mi trovo, a meno di quel $1/108$ ma comunque sarà un mio errore di calcolo.. ok credo di aver capito! Mysteri ne approfitto ora per chiederti un altra cosa giacchè stiamo parlando di residui:
se io devo risolvere questo integrale:
$int_(-inf)^(+inf) (1-cos(2\pix))/(x^4-1)^2$
uso la funzione ausiliaria $f(z)=(1-e^(2\pijz))/(z^4-1)^2$
allora ho ben sei radici per il polinomio al denominatore, cioè 4 radici doppie che sono tutte uguali a $1$. Ora il mio problema è calcolare i residui in questi poli, devo considerarli semplicemente poli doppi oppure no?
se io devo risolvere questo integrale:
$int_(-inf)^(+inf) (1-cos(2\pix))/(x^4-1)^2$
uso la funzione ausiliaria $f(z)=(1-e^(2\pijz))/(z^4-1)^2$
allora ho ben sei radici per il polinomio al denominatore, cioè 4 radici doppie che sono tutte uguali a $1$. Ora il mio problema è calcolare i residui in questi poli, devo considerarli semplicemente poli doppi oppure no?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo