Aiuto su antitrasformata di Laplace
Salve ragazzi. Ieri stavo facendo alcuni esercizi sui problemi ai valori iniziali con le trasformate di Laplace. Mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza difficile. L'esercizio è il seguente:
$\{(y''-14y'+65y=16te^(7t)),(y(0)=1),(y'(0)=-1):}$
Per quanto riguarda le trasformate non ho problemi. Il mio problema sono le antitrasformate. Dopo alcuni calcoli giungo a questa conclusione:
$\mathcal{L_u}[y(t)]= (s-15)/((s-7)^2+16)+16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])$.
L'antitrasformata del primo termine nonmi da problemi, trovo problemi ad antitrasformare il secondo termine.
Io ho porvato così:
$\mathcal{L_u}^(-1)[16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])]= 16/(s^2(s^2+16))=(16-s^2+s^2)/(s^2(s^2+16))=1/(s^2)-1/(s^2+16)$.
Quindi antitrasformando ho $u(t)t-(u(t)sin(4t))/4$. Tuttavia non mi trovo con il risultato del mio libro che invece dice che ci deve essere un $e^(7t)$. Da dove esce fuori questa antitrasformata?
Sapreste aiutarmi? Grazie a tutti.
P.s. Un mio collega ha detto che dovrei scrivere quella antitrasformata come $e^(7t)\mathcal{L_u}^(-1)[16/(s^2(s^2+16))]$, ed ha giustificato questo passaggio dicendo che ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità al denominatore. Io so che quando si adoperano questi artifizi, si deve fare in modo da non modificare la forma iniziale dell'espressione. Ora, ammesso che questo passaggio sia lecito, non capisco ancora come possa ottenere qualla antitrasformata. Potreste aiutarmi a capire se il metodo del mio collega è corretto e in che modo si applica?
$\{(y''-14y'+65y=16te^(7t)),(y(0)=1),(y'(0)=-1):}$
Per quanto riguarda le trasformate non ho problemi. Il mio problema sono le antitrasformate. Dopo alcuni calcoli giungo a questa conclusione:
$\mathcal{L_u}[y(t)]= (s-15)/((s-7)^2+16)+16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])$.
L'antitrasformata del primo termine nonmi da problemi, trovo problemi ad antitrasformare il secondo termine.
Io ho porvato così:
$\mathcal{L_u}^(-1)[16/((s-7)^2[(s-7)^2+16])]= 16/(s^2(s^2+16))=(16-s^2+s^2)/(s^2(s^2+16))=1/(s^2)-1/(s^2+16)$.
Quindi antitrasformando ho $u(t)t-(u(t)sin(4t))/4$. Tuttavia non mi trovo con il risultato del mio libro che invece dice che ci deve essere un $e^(7t)$. Da dove esce fuori questa antitrasformata?
Sapreste aiutarmi? Grazie a tutti.
P.s. Un mio collega ha detto che dovrei scrivere quella antitrasformata come $e^(7t)\mathcal{L_u}^(-1)[16/(s^2(s^2+16))]$, ed ha giustificato questo passaggio dicendo che ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità al denominatore. Io so che quando si adoperano questi artifizi, si deve fare in modo da non modificare la forma iniziale dell'espressione. Ora, ammesso che questo passaggio sia lecito, non capisco ancora come possa ottenere qualla antitrasformata. Potreste aiutarmi a capire se il metodo del mio collega è corretto e in che modo si applica?
Risposte
Fai tendere il $ lim_(z->z_0) f(z) $ se il risultato è un'infinito lo consideri come polo altrimenti non viene considerato.
Ma è ovvio che viene un $infty$, perchè $z_0=1$ è proprio quello! 
P.s. In generale, il mio problema è che non ho capito come si calcolano i residui nei poli di ordine $>2$. Saresti cosi gentile da spiegarmelo?
P.s. In generale, il mio problema è che non ho capito come si calcolano i residui nei poli di ordine $>2$. Saresti cosi gentile da spiegarmelo?
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