Aiuto risoluzione limite!

[Mikkokun]

Salve ragazzi! Ho bisogno di un aiuto per risolvere questo limite:
$ lim_(x -> 0) (sqrt(1+sen^2x)-cos^3(x))/tan^2x $
Ho visto che esce una forma indeterminata 0/0, ma credo che usare de l'Hopital sia molto lungo, sono sicuro che ci sia un modo più veloce utilizzando i limiti notevoli o qualche procedimento algebrico che mi sfugge completamente. Ringrazio anticipatamente chi mi aiuta a capire come risolvere questo limite!

[phigreco1]

$ lim_(x -> 0) (sqrt(1+sen^2x)-cos^3(x))/tan^2x $ uso MacLaurin (due volte sulla radice, la prima volta per il seno, la seconda volta sulla radice) $ =>lim_(x -> 0) (sqrt(1+x^2) - (1-x^2/2)^3)/x^2 =lim_(x -> 0) ((1+1/2x^2) - (1-3x^2/2+3(x^4/4)-x^6/8))/x^2$ uso De l'Hôpital $=> lim_(x -> 0) (x -(-3x))/(2x)= lim_(x -> 0) (4x)/(2x)=2 $

Non ricordo se è proprio il massimo della correttezza usare l'Hôpital dopo Taylor/MacLaurin ma dovrebbe essere giusto

[Mikkokun]

Ok, non avevo pensato ad utilizzare Mc Laurin in questo modo! Comunque dovrebbe essere esatto l'utilizzo di de l'Hopital poichè ha come condizione la forma indeterminata 0/0. Grazie mille allora!

[anto_zoolander]

C'è anche una soluzione possibile con i limiti notevoli.

[francicko]

Esatto, se non sbaglio si può procedere nel seguente modo:
$sqrt(1+sin^2x)~sqrt(1+x^2)~(1+x^2/2) $, inoltre si ha:
$cos^3(x)=cos^2(x)cosx $ ed $cos^2(x)=(1-sin^2(x))~(1-x^2) $, ed ancora $cosx=sqrt(1-x^2)~(1-x^2/2) $, a denominatore invece $tan^2(x)~x^2$ sostituendo avremo
$lim_(x->0)((1+x^2/2)-(1-x^2)(1-x^2/2))/x^2$ $=lim_(x->0)(1+x^2/2-1+x^2/2+x^2-x^4/2)/x^2$ $=lim_(x->0)(2x^2-x^4/2)/x^2$ $=lim_(x->0)(2x^2)/x^2=2$
Gli asintotici equivalgono ad i limiti notevoli, ed non sono altro che lo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine, giusto?

[francicko]

E'corretto secondo voi?