Aiuto risoluzione funzione
Ho questa funzione
$ f(x)=sqrt(x^2+x)+1 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i mimiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
Sto procedendo cosi
1) dominio $ x<= -1 x>= 0 $
2)$ lim_(x -> -oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> +oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> -1 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $
$ lim_(x -> 0 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $
Pero non so se fin qui ho fatto bene e come sono gli asintoti
$ f(x)=sqrt(x^2+x)+1 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i mimiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
Sto procedendo cosi
1) dominio $ x<= -1 x>= 0 $
2)$ lim_(x -> -oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> +oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $
$ lim_(x -> -1 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $
$ lim_(x -> 0 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $
Pero non so se fin qui ho fatto bene e come sono gli asintoti
Risposte
Ciao lolopoo,
Benvenuto sul forum!
Brevemente, con $f(x) = sqrt(x^2+x)+1 $:
1) va bene, ma l'hai scritto male: meglio scrivere $ x <= - 1 \vv x >= 0 $ oppure $D = (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) $
2) Occhio che non hai scritto $\lim $ nel secondo passaggio...
Si ha:
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $
Per gli altri due limiti sarei più preciso, perché quelli che hai scritto non esistono, mentre invece esistono i limiti seguenti:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1 = f(-1) = lim_{x \to - 1^-} f(x) $
Beh, vai avanti: il fatto che $\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $ significa che non ci sono asintoti orizzontali, ma possono esserci asintoti obliqui (ed in effetti ci sono... )
Benvenuto sul forum!
Brevemente, con $f(x) = sqrt(x^2+x)+1 $:
1) va bene, ma l'hai scritto male: meglio scrivere $ x <= - 1 \vv x >= 0 $ oppure $D = (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) $
2) Occhio che non hai scritto $\lim $ nel secondo passaggio...
Si ha:
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $
Per gli altri due limiti sarei più preciso, perché quelli che hai scritto non esistono, mentre invece esistono i limiti seguenti:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1 = f(-1) = lim_{x \to - 1^-} f(x) $
"lolopoo":
Però non so se fin qui ho fatto bene e come sono gli asintoti
Beh, vai avanti: il fatto che $\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $ significa che non ci sono asintoti orizzontali, ma possono esserci asintoti obliqui (ed in effetti ci sono...
)
i Primi sono asintoti verticali ?
e per quelli obliqui non ho capito bene come calcolarli
credo che $ y= mx+q $
con $ m!= 0 $
quindi
$ lim_(x -> (+ /-)oo ) (sqrt(x^2+x)+1)/x=m $
e
$ lim_(x -> (+ /-)oo )(sqrt(x^2+x)+1)-mx=q $
e per quelli obliqui non ho capito bene come calcolarli
credo che $ y= mx+q $
con $ m!= 0 $
quindi
$ lim_(x -> (+ /-)oo ) (sqrt(x^2+x)+1)/x=m $
e
$ lim_(x -> (+ /-)oo )(sqrt(x^2+x)+1)-mx=q $
"lolopoo":
i Primi sono asintoti verticali ?
Eh? Quali "Primi"? Non c'è alcun asintoto verticale...
Per gli asintoti obliqui pensavo li sapessi calcolare, per questo non mi sono soffermato. Comunque un asintoto obliquo è una retta di equazione $y = mx + q $, ove nel caso in esame si ha:
$m = \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}(sqrt(x^2+x)+1)/x = \lim_{x \to +\infty}sqrt(1+1/x)+1/x = 1 $
$q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 3/2 $
Dunque il primo asintoto obliquo ha equazione $y = x + 3/2 $
Poi si ha:
$m = \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty}(sqrt(x^2+x)+1)/x = \lim_{x \to -\infty}- sqrt(1+1/x)+1/x = - 1 $
$q = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to -\infty} [f(x) + x] = 1/2 $
Dunque il secondo asintoto obliquo ha equazione $y = - x + 1/2 $
Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando
i miei dubbi sono:
1) dai limiti di x che tende a zero e a -1 si ottengono asintoti ?
2)una volta ottenuto le equazioni degli asintoti obliqui per rappresentarli graficamente devo mettere a sistema l equazione con y=0 e poi x=0 per ottenere i punti ? o dico cavolate ?
i miei dubbi sono:
1) dai limiti di x che tende a zero e a -1 si ottengono asintoti ?
2)una volta ottenuto le equazioni degli asintoti obliqui per rappresentarli graficamente devo mettere a sistema l equazione con y=0 e poi x=0 per ottenere i punti ? o dico cavolate ?
"lolopoo":
Intanto grazie mille per l aiuto che mi stai dando
Prego.
"lolopoo":
1) dai limiti di x che tende a zero e a -1 si ottengono asintoti ?
Quando una funzione ha un asintoto verticale e (visto che ci siamo) un asintoto orizzontale? Credo tu debba andare a rivedere questa parte di teoria...
"lolopoo":
2)una volta ottenuto le equazioni degli asintoti obliqui per rappresentarli graficamente [...]
Gli asintoti obliqui sono rette. Dato che come dovrebbe esserti noto per due punti passa una ed una sola retta, per rappresentare graficamente una retta è sufficiente trovare due suoi punti magari scegliendo un paio di valori di $x$ comodi...
Ad esempio l'asintoto obliquo $ y = x + 3/2 $ passa per il punto $A(0, 3/2) $ e per il punto $B(-3/2, 0)$, quindi...
ok grazie ancora
credo che la funzione non abbia nè asintoti verticali nè orizzontali
giusto ?
credo che la funzione non abbia nè asintoti verticali nè orizzontali
giusto ?
Giusto, ma non dovresti credere, dovresti esserne sicuro...
Non esiste alcun $x_0 in \RR $ tale che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti verticali; inoltre non esiste alcun $l \in RR $ tale che $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti orizzontali. Se invece risulta $l = \pm \infty $ allora la funzione non ha asintoti orizzontali, ma può avere asintoti obliqui (come nel caso in esame).
Non esiste alcun $x_0 in \RR $ tale che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti verticali; inoltre non esiste alcun $l \in RR $ tale che $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l $ e questo ci dice che la funzione proposta non ha asintoti orizzontali. Se invece risulta $l = \pm \infty $ allora la funzione non ha asintoti orizzontali, ma può avere asintoti obliqui (come nel caso in esame).
ok spiegazione chiarissima . grazie
Passando al terzo punto ora
calcolo la derivata prima che mi da
$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1)) $
la pongo maggiore o uguale a zero e ottengo
$ x>0 $
quindi zero è un minimo
quindi la funzione è crescente x maggiore di zero e decrescente per x minore di zero
ma staro sbagliando qualcosa
Passando al terzo punto ora
calcolo la derivata prima che mi da
$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1)) $
la pongo maggiore o uguale a zero e ottengo
$ x>0 $
quindi zero è un minimo
quindi la funzione è crescente x maggiore di zero e decrescente per x minore di zero
ma staro sbagliando qualcosa
Eh sì... Dove è definita la derivata? Cosa succede alla derivata nei punti $x = 0$ e $x = -1$?
nel senso che devo calcolarmi il dominio della derivata e poi sostituire i due punti x=0 e x=-1 nella derivata ?
No, il dominio della derivata è uguale a quello della funzione, ma in più il denominatore della derivata si annulla per $x = 0 $ e per $x = - 1 $, quindi non è possibile calcolarla in quei due punti, al contrario della funzione...
Considerato che $f(x) > 0 \quad \AA x \in D $ e che $f'(x) < 0 $ per $x < - 1 $ e $f'(x) > 0 $ per $x > 0 $, la funzione proposta è decrescente per $x \in (-\infty, - 1) $ e crescente per $x \in (0, +\infty) $ ed i due punti $L(-1, 1) $ e $L'(0, 1) $ sono punti di minimo assoluto per la funzione proposta, che pertanto ha codominio $C = [1, +\infty) $
Considerato che $f(x) > 0 \quad \AA x \in D $ e che $f'(x) < 0 $ per $x < - 1 $ e $f'(x) > 0 $ per $x > 0 $, la funzione proposta è decrescente per $x \in (-\infty, - 1) $ e crescente per $x \in (0, +\infty) $ ed i due punti $L(-1, 1) $ e $L'(0, 1) $ sono punti di minimo assoluto per la funzione proposta, che pertanto ha codominio $C = [1, +\infty) $
scusami se non sono bravissimo
mi potresti aiutare a capire meglio i passaggi ? come si fa a capire dove decresce e dove cresce ?
una volta calcolata la derivata prima cosa si fa ?
grazie ancora
mi potresti aiutare a capire meglio i passaggi ? come si fa a capire dove decresce e dove cresce ?
una volta calcolata la derivata prima cosa si fa ?
grazie ancora
"lolopoo":
scusami se non sono bravissimo
Sì tranquillo, me ne sono accorto, no problem...
"lolopoo":
una volta calcolata la derivata prima cosa si fa ?
Si studia il segno della derivata prima, ma tenendo conto del suo insieme di definizione. In particolare, nel caso in esame i due intervalli di interesse sono $x < - 1 $ e $x > 0 $: per $x < - 1 $ la derivata è senz'altro negativa (occhio al numeratore, il denominatore è senz'altro positivo) e pertanto la funzione è decrescente; al contrario per $x > 0 $ la derivata è senz'altro positiva (occhio al numeratore, il denominatore è senz'altro positivo) e pertanto la funzione è crescente.
Io faccio cosi di solito
Studio appunto in segno della derivata prima .
$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1) $ >0
e ottengo x>o
poi metto nel grafico x>0 x<-1
poi mi perdo. Non ho capito benissimo
io credevo che la derivata fosse negativa solo nell intervalli -1
mi potresti gentilmente indicare meglio i passaggi ? scusami ancora
Studio appunto in segno della derivata prima .
$ (2x+1)/(2sqrt(x(x+1) $ >0
e ottengo x>o
poi metto nel grafico x>0 x<-1
poi mi perdo. Non ho capito benissimo
io credevo che la derivata fosse negativa solo nell intervalli -1
mi potresti gentilmente indicare meglio i passaggi ? scusami ancora
"lolopoo":
e ottengo x>o
Beh, con un'analisi frettolosa della positività del numeratore otterresti $x > - 1/2 $; però poi da $-1/2 $ a $0 $ non è definita la derivata perché il radicando a denominatore risulterebbe negativo, quindi si conclude che essa è positiva per $x > 0 $. Poi la derivata sarebbe negativa per $x < -1/2 $, ma dato che non è definita in $[-1, -1/2) $ perché il radicando a denominatore risulterebbe negativo, ecco che si conclude che essa è negativa per $x < - 1 $
Il concetto chiave è che ha senso chiedersi dove qualcosa è positivo (o negativo) quando quel qualcosa esiste...
Vale lo stesso discorso anche per $f(x) $: semplicemente non ha senso chiedersi se la funzione $f(x) $ è positiva o meno nell'intervallo $(-1, 0) $ perché in tale intervallo la funzione $f(x) $ non è definita.
ok grazie ...chiarissimo
per il punto 5 che mi chiede immagine di f
non ho capito come si calcola. se coincide col codominio oppure no
per il punto 5 che mi chiede immagine di f
non ho capito come si calcola. se coincide col codominio oppure no
Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio. Di solito conviene ed è comodo vederlo dopo aver abbozzato un grafico della funzione, ma nel caso in esame è piuttosto facile anche ricavarlo direttamente:
$y = f(x) = \sqrt{x^2 + x} + 1 \implies y - 1 = \sqrt{x^2 + x} >= 0 \implies y >= 1$
$y = f(x) = \sqrt{x^2 + x} + 1 \implies y - 1 = \sqrt{x^2 + x} >= 0 \implies y >= 1$
normalmente come si fa a capire dal grafico quale sia l' immagine della funzione ? e dal punto di vista algebrico ?
il grafico dovrebbe essere questo
"lolopoo":
il grafico dovrebbe essere questo
Negativo, o meglio non si capisce perché non si riesce a vedere cosa succede in $- 1 $ e $0$...
Quello mostrato sembra più il grafico della funzione $g(x) = |x| $
Usa una scala più "umana"...
"lolopoo":
normalmente come si fa a capire dal grafico quale sia l' immagine della funzione ?
Si dà un'occhiata al grafico e si vede in quale insieme varia $y $: ad esempio nel caso della funzione $g(x) = |x| $ che sembra quella mostrata nel post precedente si ha $C = [0, +\infty) $
"lolopoo":
e dal punto di vista algebrico ?
Si trova $x = x(y) $. Nel caso in esame non è neanche necessario proseguire oltre il punto indicato per capire che deve essere $y >= 1 $, cioè $C = [1, +\infty) $
il grafico dovrebbe essere questo.
Ma non ho capito perchè si tiene conto come immagine di $ (1, + oo ) $ e non $ (- oo ,-1 ) $
e non mi è chiarissimo il passaggio algebricoanche
grazie ancora
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