Aiuto per serie
$\sum_{n=1}^inftyarcsin(1/sqrt(n))$
Ragazzi qui bisognerebbe cercare il carattere della serie che io credo convergente perchè la successione mi sembra tendere a zero. D'altra parte non sono affatto sicuro che si svolga così....se qualcuno può aiutarmi nella risoluzione ma soprattutto nel comprendere come si eseguono queste serie!!! thanks
Ragazzi qui bisognerebbe cercare il carattere della serie che io credo convergente perchè la successione mi sembra tendere a zero. D'altra parte non sono affatto sicuro che si svolga così....se qualcuno può aiutarmi nella risoluzione ma soprattutto nel comprendere come si eseguono queste serie!!! thanks
Risposte
Ti basta trovare una successione a cui $\{\arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}})\}_{n \ge 1}$ è asintoticamente equivalente. Per far questo ricorda il limite notevole
$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1$
ed una volta trovata questa serie asintoticamente equivalente che faccio??come dimostro convergenza o divergenza? devo applicare qualche criterio di convergenza?
Prima di tutto fammi vedere qual è quella che hai trovato.
io nn ho ben capito perchè devo trovare una serie simile a questa per poter dimostrare la convergenza....cmq credo che già $1/sqrt(n)$ sia asintoticamente equivalente se ho capito cosa vuol dire...
Sì, è quella. Avendo trovato che $\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}})$ per $n \to +\infty$ e che entrambe sono a termini positivi per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ puoi subito concludere che
$\sum_{n=1}^{+\infty} \arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}}) \quad "converge/diverge" \quad \iff \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \quad "converge/diverge"$
Ora, studiare il carattere della seconda serie è immediato, basta ricordare per quali $\alpha \in \mathbb{R}$ la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
convege e per quali diverge.
$\sum_{n=1}^{+\infty} \arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}}) \quad "converge/diverge" \quad \iff \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \quad "converge/diverge"$
Ora, studiare il carattere della seconda serie è immediato, basta ricordare per quali $\alpha \in \mathbb{R}$ la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
convege e per quali diverge.
quindi per calcolare il carattere di questa serie e di tante altre mi basta approssimarle ad una serie nota come quelle armoniche ecc.. per poter rispondere??? è una condizione necessaria e sufficiente?? Praticamente io cmq ho approssimato pensando non solo al limite notevole ma anche allo sviluppo di mclaurin..è corretto?
Be praticamente quando $arcsin(x) \sim x$ per $x -> 0$ o qualunque altra che ti venga in mente non fai altro che prendere il primo termine dello sviluppo di McLaurin
"totinaples":
quindi per calcolare il carattere di questa serie e di tante altre mi basta approssimarle ad una serie nota come quelle armoniche ecc.. per poter rispondere??? è una condizione necessaria e sufficiente?? Praticamente io cmq ho approssimato pensando non solo al limite notevole ma anche allo sviluppo di mclaurin..è corretto?
Quando hai a che fare con serie a termini non negativi puoi utilizzare questo criterio (confronto asintotico) che ti dà delle condizioni necessarie e sufficienti (se ci fai caso l'implicazione è doppia).
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