Aiuto per risololuzione funzione
Ho questa funzione
$ f(x)=log(x^2+2x+1)+2 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i mimiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
partendo dal punto 1)
$ x!= -1 $
$ f(x)=log(x^2+2x+1)+2 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i mimiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
partendo dal punto 1)
$ x!= -1 $
Risposte
Quella che hai scritto è una condizione di esistenza, il dominio è $D = \RR - {- 1} $, che magari scriverei nella forma $ D = (-\infty, - 1) \cup (- 1, +\infty) $ giusto perché così hai presente quali limiti devi calcolare... 
Credo cosi
$ lim_(x -> +oo ) log(x^2+2x+1)+2 = + oo $
$ lim_(x -> -oo ) log(x^2+2x+1)+2 = + oo $
$ lim_(x -> -1 ) log(x^2+2x+1)+2 = -oo $
quindi x=1 asintoto verticale se non erro e se le ho risolti bene
per eventuale asintoto obliquo usp $ y = mx + q $
$ m=f(x)/x= lim_(x -> +oo ) (log(x^2+2x+1)+2)/x $
$ m=f(x)/x= lim_(x -> -oo ) (log(x^2+2x+1)+2)/x $
ma non riesco a risolvere questi limiti
$ lim_(x -> +oo ) log(x^2+2x+1)+2 = + oo $
$ lim_(x -> -oo ) log(x^2+2x+1)+2 = + oo $
$ lim_(x -> -1 ) log(x^2+2x+1)+2 = -oo $
quindi x=1 asintoto verticale se non erro e se le ho risolti bene
per eventuale asintoto obliquo usp $ y = mx + q $
$ m=f(x)/x= lim_(x -> +oo ) (log(x^2+2x+1)+2)/x $
$ m=f(x)/x= lim_(x -> -oo ) (log(x^2+2x+1)+2)/x $
ma non riesco a risolvere questi limiti
Per risolvere quei limiti la via più rapida è il confronto tra infiniti, la seconda in ordine di rapidità è l'applicazione del teorema dell'Hospital.
PS l'asintoto verticale è $x= -1$ e non 1 come hai erronemente indicato, dopo aver calcolato correttamente i limiti.
PS l'asintoto verticale è $x= -1$ e non 1 come hai erronemente indicato, dopo aver calcolato correttamente i limiti.
come si fa il confronto tra infiniti ? ed il teorema di Hospital ?
Beh, questa è teoria che puoi vedere sul tuo libro di testo, qui si farebbe un po' lunga...
Comunque si ha:
$\lim_{x \to \pm \infty} (log(x^2+2x+1)+2)/x = 0 $
Quindi la funzione proposta non ha asintoti obliqui.
Comunque si ha:
$\lim_{x \to \pm \infty} (log(x^2+2x+1)+2)/x = 0 $
Quindi la funzione proposta non ha asintoti obliqui.
[ot]”Risololuzione”? 
Da quando in qua una funzione si “risololve”?[/ot]
Da quando in qua una funzione si “risololve”?[/ot]
Calcolando se è pari o dispari otterrei
$ f(-x)=log(-x^2-2x+1)+2 $
quindi se non ho errato non è ne pari nè dispari
$ f(-x)=log(-x^2-2x+1)+2 $
quindi se non ho errato non è ne pari nè dispari
Vedere se è pari o dispari è un lavoro abbastanza inutile, visto che il dominio non è simmetrico.
Sono del parere che dovresti studiare un po' la teoria prima di buttarti sullo studio di funzione.
Sono del parere che dovresti studiare un po' la teoria prima di buttarti sullo studio di funzione.
Lo sto facendo anche con la teoria. Ma devo dire che esercitandomi con esercizi pratici mi aiuta molto. E questi devo risolverli. Anche se non è utile sapere se pari o dispari mi viene chiesto dal docente
Non so se e quanto possa interessarti, ma la funzione proposta è simmetrica rispetto al suo asintoto verticale $x = -1 $, cioè si ha:
$f(x) = f(-2 - x) $
Infatti si ha:
$f(- 2 - x) = log((- 2 - x)^2+2(- 2 - x)+1)+2 = log(4 + 4x + x^2 - 4 - 2x +1)+2 = $
$ = log(x^2 + 2x +1)+2 = f(x) $
$f(x) = f(-2 - x) $
Infatti si ha:
$f(- 2 - x) = log((- 2 - x)^2+2(- 2 - x)+1)+2 = log(4 + 4x + x^2 - 4 - 2x +1)+2 = $
$ = log(x^2 + 2x +1)+2 = f(x) $
Puoi dire semplicemente che la funzione non è né pari né dispari perché il suo dominio non è simmetrico.
Intanto acora grazie per l aiuto
ora vorreo calcolare la positività
quindi pongo $ log(x^2+2x+1)+2> 0 $
Ma mi risulta complicato nella risoluzione
potreste aiutami nei passaggi ?
ora vorreo calcolare la positività
quindi pongo $ log(x^2+2x+1)+2> 0 $
Ma mi risulta complicato nella risoluzione
potreste aiutami nei passaggi ?
"lolopoo":
Ma mi risulta complicato nella risoluzione
Che cosa c'è di complicato? Si tratta di risolvere una semplice disequazione logaritmica:
$ log(x^2+2x+1)+2 > 0 $
$ log(x^2+2x+1) > - 2 $
$ log(x^2+2x+1) > log e^{-2} $
$x^2 + 2x + 1 - 1/e^2 > 0 $
$x^2 + 2x + (1 - 1/e)(1 + 1/e) > 0 $
Scusami mi ero confuso su alcuni passaggi
il risultato dovrebbe essere
$ (-oo,1/e-1)U(1/e-1,+oo ) $
quindi la funzione è positiva per $(-oo,1/e-1)$ e $(1/e-1,+oo )$
negatativa tra $ (-1/e-1,1/e-1)$
il risultato dovrebbe essere
$ (-oo,1/e-1)U(1/e-1,+oo ) $
quindi la funzione è positiva per $(-oo,1/e-1)$ e $(1/e-1,+oo )$
negatativa tra $ (-1/e-1,1/e-1)$
"lolopoo":
il risultato dovrebbe essere
$(−\infty,1/e−1)U(1/e−1,+\infty)$
C'è un segno errato nella prima parentesi, d'altronde si ha:
$ x^2 + 2x + (1 - 1/e)(1 + 1/e) > 0 $
$[x + (1 - 1/e)][x + (1 + 1/e)] > 0 $
La soluzione di quest'ultima è $(-\infty, - 1/e - 1) \cup (1/e - 1, +\infty) $
ok grazie
quindi la funzione è positiva per $(-oo,-1/e-1)$ e $(1/e-1,+oo )$
negatativa tra $ (-1/e-1,1/e-1)$
giusto ?
quindi la funzione è positiva per $(-oo,-1/e-1)$ e $(1/e-1,+oo )$
negatativa tra $ (-1/e-1,1/e-1)$
giusto ?
"lolopoo":
negatativa
Facciamo negativa...
"lolopoo":
giusto ?
Sì. Adesso hai abbastanza elementi per riuscire a disegnarne un grafico di massima...
$ -1/e-1,1/e-1 $
ma che valori do numericamente sul grafico a questi valori ?
ma che valori do numericamente sul grafico a questi valori ?
Indovina…
E mica è il lotto LOL
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