Aiuto per passaggi matematici non difficili
Salve a tutti.
In un testo scientifico ho i seguenti passaggi che non mi riesco a spiegare.
Ho la seguente equazione:
$ q=aq^3+b $ (Espressione 1 di q)
si impone che $ q=a^-0.5 + delta $ (Espressione 2 di q)
dove $ delta = b/2 $.
Allora, se la logica di sostituire la 1 con la 2 può essere etichettata come una scelta pratica, da dove esce che $delta = b/2 $?
Grazie mille a chi vuole e può aiutarmi sia nello spiegare la nascita di quel tipo di approssimazione, sia il risultato $delta=b/2$.
EDITATO
In un testo scientifico ho i seguenti passaggi che non mi riesco a spiegare.
Ho la seguente equazione:
$ q=aq^3+b $ (Espressione 1 di q)
si impone che $ q=a^-0.5 + delta $ (Espressione 2 di q)
dove $ delta = b/2 $.
Allora, se la logica di sostituire la 1 con la 2 può essere etichettata come una scelta pratica, da dove esce che $delta = b/2 $?
Grazie mille a chi vuole e può aiutarmi sia nello spiegare la nascita di quel tipo di approssimazione, sia il risultato $delta=b/2$.
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Risposte
Editato.
Ciao Rageh e benvenuta/o sul forum,
ti invito a leggere il nostro regolamento che trovi nel box rosa in alto ed in particolare il paragrafo 3.6 che riporto per comodità
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. Non sono consentiti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
Ti suggerisco quindi di riportare i vari passaggi altrimenti molto difficilmente gli utenti apriranno i link e altrettanto difficilmente riceverai risposte. A più tardi.
ti invito a leggere il nostro regolamento che trovi nel box rosa in alto ed in particolare il paragrafo 3.6 che riporto per comodità
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. Non sono consentiti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
Ti suggerisco quindi di riportare i vari passaggi altrimenti molto difficilmente gli utenti apriranno i link e altrettanto difficilmente riceverai risposte. A più tardi.
Mi scuso per non aver riportato i passaggi esplicitamente e riporto il problema come da regolamento.
PS aggiorno il primo post
PS aggiorno il primo post
Ciao!non ho molta dimestichezza con l'analisi ma possiamo provare a risolvere quest'equazione insieme..
allora.. io ho messo a sistema le due equazioni che hai dato e per sostituzione ottengo un equazione di terzo grado
$a delta^3 + 3a delta^2 + 2 delta + b =0$
ora, a meno di qualche mio errore di segno, questa equazione si potrebbe risolvere con ruffini solo che io non riesco, magari provaci tu o qualche altro utente può aiutarti
rimane però il fatto che un'equazione di terzo grado dovrebbe ammettere 3 radici, reali o complesse e quindi ti chiedo, la soluzione che dai è unica (quindi le tre radici coincidono) oppure ci sono altre complesse che hai omesso?
allora.. io ho messo a sistema le due equazioni che hai dato e per sostituzione ottengo un equazione di terzo grado
$a delta^3 + 3a delta^2 + 2 delta + b =0$
ora, a meno di qualche mio errore di segno, questa equazione si potrebbe risolvere con ruffini solo che io non riesco, magari provaci tu o qualche altro utente può aiutarti
rimane però il fatto che un'equazione di terzo grado dovrebbe ammettere 3 radici, reali o complesse e quindi ti chiedo, la soluzione che dai è unica (quindi le tre radici coincidono) oppure ci sono altre complesse che hai omesso?
Premetto che la soluzione cercata non era $ delta=b/3 $ ma $ delta=-b/2 $!!! 
alfaiota ti ringrazio per l'input! Sono arrivato alla soluzione!
Infatti elidendo i termini $ delta^3$ e $ delta^2 $
si ottiene $ 2delta + b = 0 $ e quindi la soluzione
GRAZIE
PS
La soluzione di un equazione di 3° grado può essere trovata con la formula di Cardano; la regola di Ruffini serve a scomporre un polinomio in binomi (che permettono una facile ricerca delle soluzioni).
alfaiota ti ringrazio per l'input! Sono arrivato alla soluzione!
Infatti elidendo i termini $ delta^3$ e $ delta^2 $
si ottiene $ 2delta + b = 0 $ e quindi la soluzione
GRAZIE
PS
La soluzione di un equazione di 3° grado può essere trovata con la formula di Cardano; la regola di Ruffini serve a scomporre un polinomio in binomi (che permettono una facile ricerca delle soluzioni).
Non vorrei rovinare l'entusiasmo.. ma
$2delta +b=0 $ non ha come radice $delta= - $$b/2$ ?
e come fai ad eliminare i termini di terzo e secondo grado?
ora comunque vedo un po' questa formula di Cardano che non conoscevo.. ti ringrazio per la dritta, può sempre essere utile!
$2delta +b=0 $ non ha come radice $delta= - $$b/2$ ?
e come fai ad eliminare i termini di terzo e secondo grado?
ora comunque vedo un po' questa formula di Cardano che non conoscevo.. ti ringrazio per la dritta, può sempre essere utile!
Sì ovviamente è -b/2! (Ho editato).
I termini di secondo e di terzo grado si elidono perchè stiamo considerano un'approssimazione al primo ordine.
Dopo riporto un procedimento dove è tutto più chiaro.
I termini di secondo e di terzo grado si elidono perchè stiamo considerano un'approssimazione al primo ordine.
Dopo riporto un procedimento dove è tutto più chiaro.
SI parte dalla seguente equazione
$ q= aq^3 + b $ eq. #1
L'eq. #1 è intuitivamente molto più semplice se b=0, consideriamo quindi un'approssimazione di ordine zero :
$ q_0 = aq_0^3 $
ne deriva che $q_0 = a^{-0.5}$
L'approssimazione di ordine successivo (1° ordine) è
$ q = q_0 + \delta $
Si assume un $\delta$ piccolo rispetto a $q_0$, così che tutti i termini che coivolgono $\delta^2$ e $\delta^3$ sono trascurabili.
L'approssimazione di $q^3$ è quindi:
$q^3=(q_0+\delta)^3=q_0^3+3q_0^2$.
Allora l'eq. diventa
$q_0+\delta=a[q_0^3+3\delta q_0^2]+b$
Il $q_0$ a sinistra cancella il termine $aq_0^3$ sulla destra, così abbiamo
$\delta=a[3\delta q_0^2]+b$
e siccome $q_0^2=a^{-0.5}$
$\delta=a3\delta a^-1 + b = 3\delta + b$
La soluzione è $\delta=-b/2$.
$ q= aq^3 + b $ eq. #1
L'eq. #1 è intuitivamente molto più semplice se b=0, consideriamo quindi un'approssimazione di ordine zero :
$ q_0 = aq_0^3 $
ne deriva che $q_0 = a^{-0.5}$
L'approssimazione di ordine successivo (1° ordine) è
$ q = q_0 + \delta $
Si assume un $\delta$ piccolo rispetto a $q_0$, così che tutti i termini che coivolgono $\delta^2$ e $\delta^3$ sono trascurabili.
L'approssimazione di $q^3$ è quindi:
$q^3=(q_0+\delta)^3=q_0^3+3q_0^2$.
Allora l'eq. diventa
$q_0+\delta=a[q_0^3+3\delta q_0^2]+b$
Il $q_0$ a sinistra cancella il termine $aq_0^3$ sulla destra, così abbiamo
$\delta=a[3\delta q_0^2]+b$
e siccome $q_0^2=a^{-0.5}$
$\delta=a3\delta a^-1 + b = 3\delta + b$
La soluzione è $\delta=-b/2$.
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