Aiuto per equazioni differenziali

[lorenza3939]

Buongiorno a tutti, mi sto laurendo in economia e commercio e sto facendo una tesi sul modello di determinazione del tasso di cambio di Rudi Doornbusch. Ad un certo punto mi è apparso davanti un sistema di equazioni differenziali, almeno credo che sia qualcosa del genere, ecco a cosa mi riferisco:
ė=Ae+Bp+C
ṗ=De-Ep+F
dove A,B,C,D,E,F>0 il libro considera nello spazio di coordinate e,p con e alle ordinate ,p alle ordinate le rette ė=0 , ṗ=0 e poi considera il movimento di un generico punto (e,p) a seconda della posizione in cui si trova,ad esempio se sta sopra ė=0 ṗ=0 si sposterà in alto(perché ė>0 quindi e cresce) e verso destra(perché ṗ>0).
Inoltre viene considerata un retta(ma il coefficiente non viene specificato) che si chiama SP(saddle point) viene scritto che un punto per convergere all'intersezione tra ė=0 , ṗ=0 deve trovarsi su quella retta.
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi intanto se è possibile dire qualcosa di più su quel sistema e cosa posso dire di quella retta SP.Per chi lo avesse mi sto riferendo al libro THE FOUNDATIONS OF MODERN MACROECONOMICS.
Grazie

[gugo82]

Chiamando $t$ la variabile indipendente (in modo da evidenziare la dipendenza delle incognite da $t$), il sistema si riscrive:
\[
\begin{cases}
\dot{e}(t) = Ae(t) + Bp(t) + C\\
\dot{p}(t) = De(t) + Ep(t) + F
\end{cases}
\]
con $A,B,C,D,E,F >0$.
Il sistema è lineare, dunque esso ha unica soluzione globale quando siano assegnati dati iniziali $e_0,p_0$ per $t=t_0$, ossia quando al sistema vengano accoppiate le condizioni di Cauchy $e(t_0)=e_0$ e $p(t_0)=p_0$.
Ciò significa che per ogni punto $(e_0,p_0)$ del piano $Oep$ passa il grafico di un'unica soluzione del sistema.

Se i coefficienti $A,B,C,D,E,F$ sono costanti, il sistema si può mettere in forma matriciale:
\[
\begin{pmatrix} \dot{e}(t) \\ \dot{p}(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\ D & E\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e(t) \\ p(t)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} C\\ F\end{pmatrix}
\]
e la soluzione del sistema può essere scritta esplicitamente, usando la matrice esponenziale della matrice associata al sistema omogeneo, i.e. a:
\[
M:=\begin{pmatrix} A & B\\ D & E\end{pmatrix}\; .
\]
I punti di equilibrio nel piano $Oep$ (i quali corrispondono alle soluzioni costanti del sistema) sono i punti $(e_0,p_0)$ tali che:
\[
M\cdot \begin{pmatrix} e_0 \\ p_0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} C\\ F\end{pmatrix} = 0\; ,
\]
ossia sono tutte e sole le soluzioni del sistema lineare:
\[
M\cdot \begin{pmatrix} e \\ p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C\\ -F\end{pmatrix}\; ,
\]
il quale ha nessuna, unica o infinite soluzioni a seconda della scelta dei coefficienti (infatti, l'esistenza delle soluzioni dipende essenzialmente da $\det M$ e l'unicità dalla scelta del vettore dei termini noti $(-C,-F)$).
Se supponi che il determinante di $M$ sia $!= 0$ (cosa che dipende essenzialmente da come giocano i vari parametri che entrano nella scelta dei coefficienti $A,B,D,E$), hai un unico punto di equilibrio $(e_0,p_0)$; tale punto è l'intersezione delle due rette che si ottengono uguagliando a $0$ i secondi membri delle equazioni del sistema (e che probabilmente hanno qualche interesse economico...).

Per fare un'analisi della stabilità di tale equilibrio (che credo sia quello che ti interessa, dato che parli di punti di sella), ti basta calcolare gli autovalori di $M$ e vedere dove essi sono posizionati nel piano complesso.
Che ti basti guardare gli autovalori di $M$ segue dal ragionamento qui di seguito.

Nota che puoi riportare $(e_0,p_0)$ in $(0,0)$ usando una traslazione delle variabili: in altre parole, dato che:
\[
M\cdot \begin{pmatrix} e_0 \\ p_0\end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} C\\ F\end{pmatrix}
\]
puoi riscrivere il sistema come:
\[
\begin{pmatrix} \dot{e}(t) \\ \dot{p}(t)\end{pmatrix} = M\cdot \begin{pmatrix} e(t) - e_0 \\ p(t) - p_0\end{pmatrix}
\]
e, poiché la derivazione non tiene conto delle costanti additive, puoi introdurre le variabili ausiliarie \(\varpesilon (t) = e(t) - e_0\) e \(\pi (t) = p(t) - p_0\) e riscrivere:
\[
\begin{pmatrix} \dot{\varepsilon}(t) \\ \dot{\pi}(t)\end{pmatrix} = M\cdot \begin{pmatrix} \varepsilon (t) \\ \pi (t)\end{pmatrix}\; .
\]
La stabilità del punto di equilibrio $(0,0)$ del nuovo sistema si studia determinando gli autovalori di $M$... Quindi lo stesso vale per la stabilità di $(e_0,p_0)$.