Aiuto per calcolo dei residui

[potenzio]

Salve a tutti,
vorrei sapere come posso calcolare i residui di una funzione nel caso in cui il punto in cui calcolare il residuo figura come esponente.
Per essere più chiaro metto di seguito un esempio:

$f(z)=e^(1/(z-1))$

il punto di singolarità è $z=1$. Come trovo il residuo?????
Aspetto vostre notizie!!!

[Alexp1]

[mod="Alexp"]
Ti ho corretto le formule! per imparare a scriverle correttamente clicca sul link sotto. ciao
[/mod]

https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[Boris1]

premetto che è da poco che ho iniziato a studiare analisi complessa..
ma perchè dici che $z=1$ è un punto di singolarità? a me sembra che la funzione si comporti benissimo lì.
ti stai percaso riferendo a $z=0$?

[potenzio]

Ho avuto problemi nello scrivere la formule tra parentesi e cose varie....

la funzione è:
$f(z)=e^(1/(z-1))$

ecco perchè la singolarità sta in $z=1$

chiedo ancora scusa!!!!!

[Boris1]

Hai provato con il II Teorema dei Residui?

[gugo82]

"potenzio":Ho avuto problemi nello scrivere la formule tra parentesi e cose varie....

la funzione è:
$f(z)=e^(1/(z-1))$

ecco perchè la singolarità sta in $z=1$

chiedo ancora scusa!!!!!

Se scrivi lo sviluppo in serie di Taylor/MacLaurin di $e^zeta$ e vi sostituisci $zeta=1/(z-1)$, riesci a determinare senza sforzo lo sviluppo in serie di Laurent di $f$ intorno a $z_0=1$.
Ciò, oltre a farti vedere subito che il punto $z_0=1$ è di singolarità essenziale isolata, ti consente di determinare velocemente il residuo $"Res"(f;z_0)$.

In generale, quando trovi singolarità isolate essenziali, ti si aprono varie strade: una è quella discrivere esplicitamente la serie di Laurent (o, quanto meno, di calcolarne il coefficiente che rappresenta il residuo); l'altra è applicare sapientemente i teoremi sui residui.
La scelta appropriata in generale dipende dal problema.

[potenzio]

Grazie per la risposta...ci avevo già pensato ma che succede se l'esponenziale me lo trovo come numeratore per esempio:

$f(z)=(e^(1/(z-1)))/(z^2)$

devo sviluppare tutto in serie o solo l'esponenziale????

[gugo82]

Devi calcolare il residuo in $1$, giusto?

Due metodi possibili, nella situazione in cui sei ($z_0=0$ polo del 2° ordine, $z_1=1$ sing. essenziale, $z_oo=oo$ singolarità eliminabile): 1) applichi il terzo teorema dei residui (ossia $"Res"(f;oo)="Res"(f;0)+"Res"(f;1)$) oppure 2) scrivi esplicitamente le serie di Laurent di $"e"^(1/(z-1))$, la serie di Laurent di $1/z^2$ ed infine calcoli eplicitamente il coefficiente di $1/(z-1)$ nello sviluppo in serie di Laurent di $f$ ricorrendo al prodotto secondo Cauchy delle altre due serie.

1) Si ha (con un po' di conti) $"Res"(f;0)=lim_(z \to 0) ("d")/("d"z)["e"^(1/(z-1))]=-1/"e"$.
D'altra parte la funzione ausiliaria per il calcolo del residuo all'infinito è $g(zeta)=-1/zeta^2 f(1/zeta)="e"^(zeta/(1-zeta))$ e si ha $"Res"(f,oo)="Res"(g;0)=0$.
Alla luce dei calcoli ora effettuati, il terzo teorema dei residui diviene $0="Res"(f;oo)="Res"(f;0)+"Res"(f;1)=-1/"e"+"Res"(f;1)$ cosicché:

$"Res"(f;1)=1/"e"$.

2) Lo sviluppo in serie di Laurent di $"e"^(1/(z-1))$ intorno a $z_1=1$ è, come già detto:

(*) $\quad "e"^(1/(z-1))=\sum_(n=0)^(+oo) 1/(n!) 1/(z-1)^n$.

D'altra parte la funzione $1/z^2$ è olomorfa intorno a $1$ (perchè olomorfa in $CC\setminus \{ 0\}$), quindi essa si può sviluppare in serie di Taylor con centro in $1$. I coefficienti di Taylor di $1/z^2$ in $1$ si calcolano dividendo i valori delle derivate $("d"^n)/("d"z^n)[1/z^2]$ calcolate in $1$ per i fattoriali degli ordini di derivazione; visto che:

$("d"^n)/("d"z^n)[1/z^2]=(-1)^n*(n+1)! 1/z^(n+2)$

i coefficienti di Taylor di $1/z^2$ in $z_1=1$ sono:

$c_n=1/(n!)*("d"^n)/("d"z^n)[1/z^2] " in "(z=1) =(-1)^n((n+1)!)/(n!)=(-1)^n(n+1)$

e lo sviluppo risulta essere:

(**) $\quad 1/z^2=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n(n+1)*(z-1)^n$.

Per noti fatti, al serie di Laurent di $("e"^(1/(z-1)))/z^2$ si esprime come prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi (*) e (**), cosicché lo sviluppo in serie di Laurent di $f$ intorno a $z_1$ è:

$("e"^(1/(z-1)))/z^2 =\{ \sum_(n=0)^(+oo) 1/(n!) 1/(z-1)^n\}\times \{ \sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n(n+1)*(z-1)^n\}$
$\quad \quad =\sum_(n=0)^(+oo) [\sum_(k-h=n) 1/(h!)*(-1)^k (k+1)] (z-1)^n +\sum_(n=1)^(+oo) [\sum_(k-h=-n) 1/(h!)*(-1)^k (k+1)] 1/(z-1)^n$

In particolare a noi interessa il coefficiente della potenza $1/(z-1)$, ovvero quello che si ottiene dalla seconda sommatoria all'ultimo membro per $n=1$, in quanto il residuo uguaglia tale coefficiente:

$"Res"(f;1)=\sum_(k-h=-1) 1/(h!)*(-1)^k (k+1)$;

Visto che $k-h=1$ si ha $k=h-1$ con $h>=1$, perciò la sommatoria al secondo memero della precedente diviene:

$"Res"(f;1)=\sum_(h=1)^(+oo) 1/(h!)*(-1)^(h-1) h$
$\quad=\sum_(h=1)^(+oo) 1/((h-1)!)*(-1)^(h-1)$ (shift dell'indice di $1$ verso il basso)
$\quad=\sum_(h=0)^(+oo) (-1)^h/(h!)$
$\quad =-1/"e"$

come già trovato per altra via.

[potenzio]

Tutto chiaro grazie mille!!!!!!

[vabite]

Anch'io mi sto cimentando nell'argomento. L'esempio precedente ( in spoiler ) è veramente chiarificatore, solo non capisco nel primo punto come si arriva a dire che il residuo in 1 è pari al limite per Z -> 0 della derivata di e^(1/(z-1)).
Potreste chiarirmelo?

[gugo82]

Beh, c'è solo da applicare la regola di calcolo del residuo relativo al polo del secondo ordine [tex]0[/tex].

Ricordo che se [tex]z_0[/tex] è un polo per [tex]f(z)[/tex] d'ordine [tex]k[/tex] allora:

[tex]$\text{Res} (f; z_0)= \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(k-1)!} \frac{\text{d}^{k-1}}{\text{d} z^{k-1}} \left[ (z-z_0)^k \cdot f(z)\right]$[/tex]

Nel caso in esame abbiamo [tex]z_0=0[/tex] e [tex]k=2[/tex], quindi esce fuori il limite di quella robaccia lì.

[vabite]

Scusate, chissà perchè avevo in mente che si stava calcolando il residuo per Z = 0...

Vorrei sottoporvi alcuni esercizi, probabilmente banali ma di una lunga serie di residui che non riesco a calcolare, se qualcuno potesse darci un occhio anche solo ad uno o due di questi gli sarei grato:

f (z) = e^(1/z) * sen(z) arrivo a trovare la serie dal prodotto di due fattoriali che non riesco a tradurre in una funzione nota
g(z) = sen($\pi$ z) / (z^4-z^3) trovo poli pari a 0; 1; -1: ma per quello in zero non riesco ad ottenere dalla formula del post precedente nessun valore finito

infine, per le serie di Laurent

calcolare il raggio di convergenza di e^(1/(z^2 - 4)) centrata in Zo = 2 + 2i. Qui non so proprio che pesci pigliare ( scrivo lo sviluppo ma non riesco a ricavare R con i metodi usuali )[/tex]