AIUTO! Integrale improprio: convergenza e calcolo!?

[Delta Maximus]

Salve a tutti. L'urgenza mi porta a postare un integrale improprio di cui bisogna dire se è convergente e in caso affermativo calcolarlo.
L'integrale è il seguente: $ int_(0)^(oo ) 1 / (sqrt(x)(x+1)) dx $

La funzione $ f(x)=1 / (sqrt(x)(x+1)) $ è definita per x>0, quindi l'integrale presenta un punto di singolarità in x=0, è giusto?
A questo punto come si procede per:
-dire se è convergente;
-calcolarlo;

Grazie a chiunque può rispondere

[gugo82]

Per controllare la convergenza, lo si fa come si fa di solito per gli integrali impropri. Il libro che dice in proposito?
Per calcolarlo, beh... Fai i conti.

[Delta Maximus]

"Il criterio della convergenza assoluta si usa quando f(x) non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio". E' questo che devo fare?

[Delta Maximus]

Allora per calcolare l'integrale ho agito così : $ lim_(a -> 0)int_(a)^(oo ) 1 / (sqrtx(x+1))dx = pi $
Quindi l'integrale converge.
Ma come dico prima di calcolarlo che converge?

[dissonance]

Inutile affannarsi con la convergenza assoluta: non vedi che la funzione integranda è positiva? Quindi prendendone il valore assoluto otterrai sempre la funzione stessa. Il resto è un tipico esercizio sugli integrali impropri. Fai una analisi asintotica della funzione integranda sia intorno a \(0\) sia intorno a \(+\infty\) per capire perché l'integrale converge. A questo link c'è il mio tentativo di spiegare la teoria sottostante:

post321849.html#p321849

ma un buon libro di testo fa certamente molto meglio.