Aiuto Integrale doppio

[Whise1]

Ciao a tutti,

sono alle prese con un integrale doppio che dovrei risolvere usando la trasformazione in coordinate polari:

$ int_(D)^() x(y-1) dxdy $

con
$ D={(x,y) in R^2 : x^2+Y^2-4x-2y <= 0 , y<=1} $


il dominio di integrazione è la mezza circonferenza inferiore, centrata in (2,1).

Teta varia tra PI e 2PI, ma quello che non capisco è come scrivere l'intervallo di integrazione su p.

Qualcuno mi aiuta???

[enr87]

ma dove hai centrato le coordinate polari? non ho capito..

[Whise1]

in 0,0 penso. La trasformazione è:
$ { ( x=x0 + pcosT ),( y=y0 + psenT ):} $

con x0 e y0 = (0,0). no?

[enr87]

non devi centrarle a caso, sennò perdi i vantaggi.
scrivi l'equazione della circonferenza nella forma X^2 + Y^2 = C, dove $X = x - x_0, Y = y - y_0$

le coordinate polari che devi usare, con le convenzioni sopra, sono allora:

$x = x_0 + rho cos (theta)
$y = y_0 + rho sin (theta)

basta semplicemente che fai la sostituzione e stai attento ad intersecare le soluzioni del sistema di disequazioni. se vuoi un consiglio, di solito disegnare il dominio torna molto utile

[Whise1]

ok, l'equazione della circonferenza diventa:
$ (x-2)^2+(y-1)^2=sqrt(5)^2 $

la mia trasformazione diventerebbe quindi:

x=2+pcos(T)
y=1+psin(T)

giusto??

ora però l'intervallo di integrazione come lo trovo? penso che T sia compreso tra PGreco e 2PGreco, ma p???

[enr87]

ti ho scritto sopra, devi sostituire le nuove coordinate ad x e y, nell'insieme in cui vuoi integrare. le limitazioni saltano fuori da sole. non stupirti se ti salta fuori una limitazione di rho in funzione di theta (o viceversa), è una cosa abbastanza normale. naturalmente dovresti aver studiato la teoria prima.

[Whise1]

grazie dei consigli,

ma il mio problema rimane proprio come calcolare il dominio di integrazione:

sostituendo viene:
$ { ((2+pcosT)^2+(1+psenT)^2-4(2+pcosT) -2(1+psenT)<=0),( 1+psenT<=1):} $

che risolto mi viene:
$ { (-5+p^2<=0),( p<=0):} $

che risulta soddisfatto per $ p<=-sqrt(5) $

a questo punto l'intervallo di integrazione per T è (Pgreco,2Pgreco) e per p tra $ (-sqrt(5),0) $ .

Giusto???

[Whise1]

Ragazzi siete l'unica mia possibilità di capire questa cosa prima dell'orale!

[enr87]

la seconda disequazione l'hai sbagliata: rho non può mai essere minore di 0, riscrivila e risolvila per bene

[Whise1]

Forse siccome T è compreso tra (Pgreco,2Pgreco) allora la disequazione è soddisfatta per p>0.

Quindi il sistema diviene:
$ { ( -5+p^2<=0 ),( p>=0 ):} $

soddisfatto per:
$ 0<=p<= sqrt(5) $


Quindi il dominio di integrazione sarà Pgreco

Cita

Segnala

[enr87]

$rho sin theta <= 1$ che soluzioni $rho$ ha?

[Whise1]

allora la disequazione originale era:
$ 1+rhosintheta<=1 $

quindi

$ rhosintheta<=0 $

essendo che $ theta $ è compreso tra $ pi $ e $ 2 pi $, il seno è negativo

per cui il prodotto è negativo quando $ rho $ è positivo.

Giusto?

[enr87]

sì, scusa per prima che mi sono dimenticato la traslazione.
rho è sempre positivo, per la definizione di coordinate polari.. mi raccomando.
le limitazioni dell'angolo sono corrette, ora

[Whise1]

Quindi per ricapitolare, l'integrale da calcolare sarà:
$ int_(pi)^(2pi) int_ (0)^(sqrt(5)) (2+rhocostheta)(rhosentheta)^2 drho d theta $

giusto? appena arrivo a casa provo a svilupparlo! per il momento grazie mille per l'aiuto!

[Whise1]

Quindi per ricapitolare, l'integrale da calcolare sarà:
$ int_(pi)^(2pi) int_ (0)^(sqrt(5)) (2+rhocostheta)(rhosentheta) drho d theta $

giusto? appena arrivo a casa provo a svilupparlo! per il momento grazie mille per l'aiuto!

[enr87]

non ho capito perchè hai messo $rho sin theta$ tutto al quadrato, non credo di aver letto male l'integranda..

[Whise1]

Si scusa, ma ieri ero a lavoro e controllavo il forum di tanto in tanto.

Quindi tornando all'integrale:

$ int_(pi)^(2pi) int_ (0)^(sqrt(5)) (2+rhocostheta)(rhosentheta) rho drho d theta $

che diventa:
$ int_(pi)^(2pi) int_ (0)^(sqrt(5)) 2rho^2sentheta+(rho^3senthetacostheta) drho d theta $

[Whise1]

Dai che sono quasi alla fine e domani ho l'orale

[enr87]

d'accordo, però se avessi studiato un po' la teoria non faresti certi errori. il cambio di coordinate non è semplice come nel caso di integrali in una variabile.
ti rimando a questa pagina, leggiti "cambio di variabili" e "coordinate sferiche e polari":

http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_multiplo

quando hai letto correggi e prima di sera controllo, se non ti risponde qualcun altro

[Whise1]

mancava un rho alla fine giusto? ora sto reintegrando tutto, poi posto

[dissonance]

"Whise":Dai che sono quasi alla fine e domani ho l'orale

OK ma non fare più un "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento (clic) 3.4.