Aiuto: funzioni continue e successioni [FP]

[fenice1]

ciao a tutti mi serivrebbe una mano...sto cercando in intenat degli esempi di funzioni che non siano continue e per dimostrarlo mi serve di usare il fatto che esiste una successione del dominio la cui immagine delle successioni non converga all' immagine del limite...
ok è scritto in modo molto confusionario.....però spero qualcuno riesca ad aiutarmi ho un esame martedì e mi servirebbe saperlo....

grazie a tutti

[Gaal Dornick]

Ok, bene. Il problema è chiaro. Diciamo che $f:RR to RR$ è continua in $barx in RR <=> AA{x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx: f(x_n) to f(barx)$

Vogliamo trovare una funzione che non sia continua, ossia una funzione tale che $EE {x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx t.c. not(f(x_n) to f(barx))$

Pensa al primo esempio di funzione non continua che ti viene in mente..e prova a capire come dobbiamo prendere questa successione. E' facile, ad esempio puoi prendere come funzione

costante sempre, ma in un punto la definisci uguale ad un altro numero diverso da quella costante

[krek1]

Puoi spiegare meglio?

"Gaal Dornick":Ok, bene. Il problema è chiaro. Diciamo che $f:RR to RR$ è continua in $barx in RR <=> AA{x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx: f(x_n) to f(barx)$

Non mi è chiara la tua definizione di continuità di $f:RR to RR$ in $barx$.

[Gaal Dornick]

Che definizione di continuità usi?
Quella che ho dato è una possibile definizione.

Oppure se (come a questo punto penso) usi quest'altra: [dato $A sub RR$,$x_0 in RR$ punto di acc. per A]
$f:A to RR "continua" " in" x_0<=> AA epsilon>0 EEdelta>0 t.c. AAx in A, |x-x_0|
Si prova che vale l'equivalenza scritta prima.
Ossia è continua <=> vale la definizione mia <=> vale la definizione tua

[krek1]

@ Gaal Dornick
Ti ringrazio, la seconda mi è più familiare volevo capire la prima che hai dato che è più affine al problema posto.

@ fenice
Non ho capito in che modo vuoi dimostrare la discontinuità ...

[fenice1]

"Gaal Dornick":Ok, bene. Il problema è chiaro. Diciamo che $f:RR to RR$ è continua in $barx in RR <=> AA{x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx: f(x_n) to f(barx)$

Vogliamo trovare una funzione che non sia continua, ossia una funzione tale che $EE {x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx t.c. not(f(x_n) to f(barx))$

Pensa al primo esempio di funzione non continua che ti viene in mente..e prova a capire come dobbiamo prendere questa successione. E' facile, ad esempio puoi prendere come funzione

costante sempre, ma in un punto la definisci uguale ad un altro numero diverso da quella costante

ok devo prendere una successione che converga al punto di discontinuità della mia funzione giusto?
ma una volta fatto ciò mi si chiede di trovare l'immagine della successione...come faccio?
mi viene sempre uguale all'immagine del limite...non capisco perchè....

[mod="Fioravante Patrone"]Sono in attesa che tu modifichi il titolo di questo thread[/mod]

[fenice1]

non so come si fa a cambiare il titolo...non sono esattamente esperta di forum e tanto meno di informatica....
quindi come faccio?

[Gaal Dornick]

Per immagine non si intende altro che: data ${x_n}_(n in NN)$ devi considereare la successione ${f(x_n)}_(n in NN)$ e vedere un po' che fare considerato il mio primo post.

[fenice1]

"Gaal Dornick":Per immagine non si intende altro che: data ${x_n}_(n in NN)$ devi considereare la successione ${f(x_n)}_(n in NN)$ e vedere un po' che fare considerato il mio primo post.

ok...ma come fa a venirmi un valore diverso da quello dell'immagine del limite? è questo che non capisco a me viene sempre uguale...

[dissonance]

"fenice":non so come si fa a cambiare il titolo...

Nel tuo primo post, in alto a destra, c'è un pulsante "modifica", usa quello.

[fenice1]

"dissonance":[quote="fenice"]non so come si fa a cambiare il titolo...

Nel tuo primo post, in alto a destra, c'è un pulsante "modifica", usa quello.[/quote]

ci avevo già provato ma mi dice che il mio post è stato moderato enon posso modificarlo....uffi....

[dissonance]

"fenice":
ci avevo già provato ma mi dice che il mio post è stato moderato e non posso modificarlo....

Puoi provare a segnalare questo fatto nella sezione "il nostro forum: come si usa...", così qualche moderatore cambia il titolo per te.

[dissonance]

[OT]Aggiungo un post a vuoto altrimenti resterei con 666 messaggi!!! Non fa una buona impressione [/OT]

[fenice1]

"dissonance":[quote="fenice"]
ci avevo già provato ma mi dice che il mio post è stato moderato e non posso modificarlo....

Puoi provare a segnalare questo fatto nella sezione "il nostro forum: come si usa...", così qualche moderatore cambia il titolo per te.[/quote]

grazie ora ci provo....

[Gaal Dornick]

Ti do la soluzione:

prendiamo una funzione $f:RR to RR$ definita così: $AAx in RR-{0}:f(x)=0; f(0)=1$
La funzione così definita non è continua in 0, infatti [ora sto considerando $barx=0$]: se consideriamo la successione ${x_n}_(n in NN^+)$ con $x_n=1/n$
Si ha che $x_n to 0$, mentre $AAn in NN^+ : f(x_n)=0$, quindi $f(x_n) to 0$ e quindi non tende a $1=f(0)$.

[fenice1]

"Gaal Dornick":Ti do la soluzione:

prendiamo una funzione $f:RR to RR$ definita così: $AAx in RR-{0}:f(x)=0; f(0)=1$
La funzione così definita non è continua in 0, infatti [ora sto considerando $barx=0$]: se consideriamo la successione ${x_n}_(n in NN^+)$ con $x_n=1/n$
Si ha che $x_n to 0$, mentre $AAn in NN^+ : f(x_n)=0$, quindi $f(x_n) to 0$ e quindi non tende a $1=f(0)$.

grazie mille ora ho capito!

[Gaal Dornick]

Dai, così per fare esercizio: mi provi che la funzione che ho definito non è continua perchè non verifica la seconda "definizione" che abbiamo dato di funzione continua in questo post?

[gugo82]

"Gaal Dornick":$f:RR to RR$ è continua in $barx in RR <=> AA{x_n}_(n in NN) sub RR, x_n to barx: f(x_n) to f(barx)$

"Gaal Dornick":$f:A to RR "continua" " in" x_0<=> AA epsilon>0 EEdelta>0 t.c. AAx in A, |x-x_0|
Scusa, Gaal, ma che c'entrano i "tale che" ($:$) dopo i quantificatori su $x$?

[Gaal Dornick]

Boh, mi sembrava corretto metterli..tu come l'avresti scritto?

[gugo82]

Per la definizione metrica fare a meno del "tale che" è piuttosto facile: si può infatti scrivere così:

$AA \epsilon >0, EE \delta =\delta_{barx , \epsilon} >0:\quad AA x \in A \cap ]barx - \delta , barx +\delta [ , |f(x)-f(barx )|<\epsilon$.

Formalizzare in modo analogo la definizione di continuità sequenziale (cioè la prima che hai dato) è un po' più difficile, anche perchè sembra che il "tale che" sia piuttosto necessario; però si può ovviare in due modi:

1) o si introduce la classe $c'_barx:={(x_n) \subseteq A-{x} :\quad x_n\to x}$ e si scrive $AA (x_n) \in c'_barx , f(x_n) \to f(barx )$ (questo è senz'altro il modo più corretto di procedere);

2) oppure si scrive $AA (x_n) \in A-{barx } " con " x_n \to barx , f(x_n) \to f(barx )$ (questo però è un po' meno corretto, ma c'è un risparmio notazionale).


Secondo me il "tale che" dopo il "per ogni" è, in generale, da evitare perchè dà problemi con le negazioni.
Il problema con la negazione è il seguente: supponiamo di avere una proposizione $ccP(\xi ,\eta )$, due insiemi $A,B$ ed una frase del tipo $ccF := AA x\in A,\exists y\in B :\quad ccP(x,y)$. La negazione di $ccF$ è evidentemente:

$\not ccF = \exists x \in A: \quad AA y\in B, \not ccP (x,y)$

che si ricava da $ccF$, formalmente, sostituendo ad ogni "$AA \ldots ,$" un "$\exists \ldots :$" (e viceversa) e ad ogni proposizione dopo un $:$ la sua negazione.
Ora mettiamo che sia assegnata una proposizione $ccQ (\xi )$ in modo che $A={x: ccQ (x)}$: la $ccF$ può essere espressa nel seguente modo:

$ccF' = AA x :ccQ (x) ,\exists y\in B :\quad ccP (x,y)$.

Le regole per ricavare $\not ccF'$ non ci forniscono informazioni su come comportarci in presenza di un gruppo "$AA \ldots :$": la prima cosa che viene in mente ad uno studente è scrivere:

$\not ccF' = \exists x: \quad \not ccQ (x) " e " AA y \in B , \not ccP (x,y)$

che è sostanzialmente sbagliata: infatti $\not ccF$ afferma l'esistenza di un $x$ nel complementare di $A$, ossia nell'insieme definito da $C(A):={x: \not ccQ(x)}$, mentre $\not ccF$ afferma l'esistenza di un $x\in A$ e perciò le due proposizioni non sono affatto equivalenti, il che è assurdo.

Ovviamente questa difficoltà potrebbe essere aggirata ridefinendo le regole formali per ricavare la negazione di una proposizione contenente un gruppo del tipo "$AA\ldots :$"; però mi pare sia più facile insegnare a fare a meno dei $:$ dopo $AA$ rispetto ad insegnare regole complicate per la negazione.


P.S.: Se si segue la strada 2) si deve introdurre la regola che, in presenza di una negazione, ogni gruppo del tipo "$AA x " con " ccQ (x)$" va sostituito col gruppo "$exists x" con " ccQ (x)$" oppure con "$\exists x : ccQ(x) " e "\ldots$".

[Gaal Dornick]

Wow! ti ringrazio del lavoraccio.
Concordo su tutto quanto tu dici, ma il problema è più sostanziale: io uso $:$ (che leggo risulta) nelle frasi $AA.....:$ e uso il tale che (non so fare il simbolo, e in genere uso il t.c. o s.t. (such that)) in $EE....t.c.$.
Sono l'unico nel mondo a farlo? Mi è stato insegnato così..

Ho guardato ora sul Buttazzo, ed effettivamente è la tua notazione ad essere utilizzata: strano, c'ho molto studiato da lì, ma non m'ero mai accorto di questo fatto, cioè non c'avevo mai fatto caso. Non riesco a trovare formule sul Marcellini Sbordone.

E utilizzo la virgola come una sempilce pausa linguistica, come per separare elementi in una lista.