Aiuto!!! Funzione parametrica con arcoseno
Salve a tutti,
sto cercando di aiutare un ragazzo alle prese con grosse difficoltà in matematica (ha un 3...) che a quanto pare derivano dalle sue difficoltà a relazionarsi con una professoressa che, a quanto mi risulta, dev'essere una vera e proprio pidocchio.
Ora, potete immaginare, ho insegnato a questo ragazzo tutti i fondamenti della trigonometria, ma la professoressa ha messo una verifica a sorpresa che mi ha impedito di andare più nel dettaglio delle spiegazioni.
Oltretutto, non riesco a risolvere la prima domanda della verifica.
"Data la funzione y = a + barcsen (cv + d) trovare a, b, c e d in modo che la funzione abbia dominio [1,2], codominio [0, 4π] e che passi per il punto (1/2, 2π)."
Ora, si tratta di una funzione parametrica: 4 incognite e 3 condizioni.
Sto cercando di risolverla ma i passaggi sono troppo complicati per dei ragazzi di quarta liceo.
Per favore, se qualcuno trova un metodo più semplice mi aiuti.
Mille grazie
sto cercando di aiutare un ragazzo alle prese con grosse difficoltà in matematica (ha un 3...) che a quanto pare derivano dalle sue difficoltà a relazionarsi con una professoressa che, a quanto mi risulta, dev'essere una vera e proprio pidocchio.
Ora, potete immaginare, ho insegnato a questo ragazzo tutti i fondamenti della trigonometria, ma la professoressa ha messo una verifica a sorpresa che mi ha impedito di andare più nel dettaglio delle spiegazioni.
Oltretutto, non riesco a risolvere la prima domanda della verifica.
"Data la funzione y = a + barcsen (cv + d) trovare a, b, c e d in modo che la funzione abbia dominio [1,2], codominio [0, 4π] e che passi per il punto (1/2, 2π)."
Ora, si tratta di una funzione parametrica: 4 incognite e 3 condizioni.
Sto cercando di risolverla ma i passaggi sono troppo complicati per dei ragazzi di quarta liceo.
Per favore, se qualcuno trova un metodo più semplice mi aiuti.
Mille grazie
Risposte
A me non pare così complicato.
Insomma siccome \(\displaystyle \arcsin[-1,1] = \biggl[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\biggr] \) si ricava che \(\displaystyle b = \pm 4 \). Il valore di \(\displaystyle a \) non dipende dalla scelta di \(\displaystyle b \) ed è pari a \(\displaystyle 2\pi \).
\(\displaystyle \arcsin \) è una funzione dispari quindi \(\displaystyle -\arcsin(x) = \arcsin(-x) \). In questo caso ho che \(\displaystyle -b\arcsin(cv + d) = b\arcsin(-cv -d) \). Posso quindi lasciare la scelta del segno su \(\displaystyle b \) e porre \(\displaystyle c> 0 \).
Perciò \(\displaystyle cv + d \) è una retta crescente. Siccome devo avere il dominio uguale a [1,2] allora la retta deve passare per i punti \(\displaystyle (1,-1) \) e \(\displaystyle (2,1) \) (ricordo che la retta è posta con inclinazione positiva perché ho portato il suo segno dentro \(\displaystyle b \)). Questo porta ad avere \(\displaystyle c = 2 \) e \(\displaystyle d = -3 \).
Quindi ho che \(\displaystyle y = 2\pi \pm 4\arcsin(2v -3) \). A questo punto il passaggio per un punto potrebbe determinare il segno ma \(\displaystyle \frac12 \notin [1,2]\).
Insomma siccome \(\displaystyle \arcsin[-1,1] = \biggl[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\biggr] \) si ricava che \(\displaystyle b = \pm 4 \). Il valore di \(\displaystyle a \) non dipende dalla scelta di \(\displaystyle b \) ed è pari a \(\displaystyle 2\pi \).
\(\displaystyle \arcsin \) è una funzione dispari quindi \(\displaystyle -\arcsin(x) = \arcsin(-x) \). In questo caso ho che \(\displaystyle -b\arcsin(cv + d) = b\arcsin(-cv -d) \). Posso quindi lasciare la scelta del segno su \(\displaystyle b \) e porre \(\displaystyle c> 0 \).
Perciò \(\displaystyle cv + d \) è una retta crescente. Siccome devo avere il dominio uguale a [1,2] allora la retta deve passare per i punti \(\displaystyle (1,-1) \) e \(\displaystyle (2,1) \) (ricordo che la retta è posta con inclinazione positiva perché ho portato il suo segno dentro \(\displaystyle b \)). Questo porta ad avere \(\displaystyle c = 2 \) e \(\displaystyle d = -3 \).
Quindi ho che \(\displaystyle y = 2\pi \pm 4\arcsin(2v -3) \). A questo punto il passaggio per un punto potrebbe determinare il segno ma \(\displaystyle \frac12 \notin [1,2]\).
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