Aiuto funzione integrale!!
salve ragazzi
premettendo che il tema degli integrali impropri mi è ostico ho un problema con la seguente funzione integrale $ f(x)= int_(o)^(x) t log t / (sqrt(1+t^4)) dt $ .
Quando vado a studiare l'integrabilità della integranda a infinto essa tende a 0, quindi non posso sapere se è integrabile o meno. Confrontando l'integranda con la funzione test $ h(x)= 1/x^a $ arrivo ad avere che la integranda è asintotica alla funzione test con $ a=1 $ , che secondo le mie conoscenze è integrabile, allora f(x) risulta integrabile in $ [k,+oo) $ . O sbaglio?? E se sbaglio, sapete spiegarmi perchè?? Aiutatemi perchè mercoledì ho l'esameee!!! Grazie a tutti!!
premettendo che il tema degli integrali impropri mi è ostico ho un problema con la seguente funzione integrale $ f(x)= int_(o)^(x) t log t / (sqrt(1+t^4)) dt $ .
Quando vado a studiare l'integrabilità della integranda a infinto essa tende a 0, quindi non posso sapere se è integrabile o meno. Confrontando l'integranda con la funzione test $ h(x)= 1/x^a $ arrivo ad avere che la integranda è asintotica alla funzione test con $ a=1 $ , che secondo le mie conoscenze è integrabile, allora f(x) risulta integrabile in $ [k,+oo) $ . O sbaglio?? E se sbaglio, sapete spiegarmi perchè?? Aiutatemi perchè mercoledì ho l'esameee!!! Grazie a tutti!!
Risposte
Ma non è affatto vero che la tua funzione è asintotica a [tex]$\frac{1}{x}$[/tex]!
Invero il tuo integrando è un infinitesimo non dotato di ordine, ma comunque d'ordine minore di [tex]$1$[/tex] e d'ordine maggiore di ogni [tex]$a<1$[/tex] rispetto ad [tex]$\frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex]: infatti:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{x\ \ln x}{\sqrt{1+x^4}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}} =+\infty$[/tex] (quindi l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$<1$[/tex])
[tex]$\forall 0a$[/tex]).
Quindi in questo caso non puoi usare il criterio di sommabilità.
Tuttavia il tuo integrando è infinitesimo dello stesso ordine di [tex]$\frac{\ln x}{x}$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex], sicché la tua funzione integrale si comporta come la funzione integrale di [tex]$\frac{\ln x}{x}$[/tex]; si ha:
[tex]$\int_1^x \frac{\ln t}{t} \text{d} t =\left[ \frac{1}{2} \ \ln^2 t \right]_1^x =\frac{1}{2} \ \ln^2 x \to +\infty \text{ per } x\to +\infty$[/tex]
cosicché la tua funzione non è sommabile in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] e, quindi, nemmeno in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Invero il tuo integrando è un infinitesimo non dotato di ordine, ma comunque d'ordine minore di [tex]$1$[/tex] e d'ordine maggiore di ogni [tex]$a<1$[/tex] rispetto ad [tex]$\frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex]: infatti:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{x\ \ln x}{\sqrt{1+x^4}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}} =+\infty$[/tex] (quindi l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$<1$[/tex])
[tex]$\forall 0
Quindi in questo caso non puoi usare il criterio di sommabilità.
Tuttavia il tuo integrando è infinitesimo dello stesso ordine di [tex]$\frac{\ln x}{x}$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex], sicché la tua funzione integrale si comporta come la funzione integrale di [tex]$\frac{\ln x}{x}$[/tex]; si ha:
[tex]$\int_1^x \frac{\ln t}{t} \text{d} t =\left[ \frac{1}{2} \ \ln^2 t \right]_1^x =\frac{1}{2} \ \ln^2 x \to +\infty \text{ per } x\to +\infty$[/tex]
cosicché la tua funzione non è sommabile in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] e, quindi, nemmeno in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Vabbé, devo ammettere che ho fatto un po' di considerazioni inutili.
Dopo aver stabilito che l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$<1$[/tex] ed è positivo intorno a [tex]$+\infty$[/tex], puoi tranquillamente dire che l'integrale improprio diverge in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Dopo aver stabilito che l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$<1$[/tex] ed è positivo intorno a [tex]$+\infty$[/tex], puoi tranquillamente dire che l'integrale improprio diverge in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
@Gugo82
Non so se posso fare una domanda, ma riguarda proprio rispondere alla domanda 'questo integrale improprio è sommabile in un tale intervallo''?
Quando l'integrale improprio diverge, posso dire che non è sommabile in quel dato intervallo?
Non so se posso fare una domanda, ma riguarda proprio rispondere alla domanda 'questo integrale improprio è sommabile in un tale intervallo''?
Quando l'integrale improprio diverge, posso dire che non è sommabile in quel dato intervallo?
grazie mille gugo!!! sono riuscito a capire qualcosa in più!! posso continuare a postare quì se facendo altri esercizi mi intoppo??? tanto i miei dubbi sono sempre sullo stabilire l'integrabilità..
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