Aiuto esercizio Polinomio di Taylor di funzione composta
Salve sono disperato perche a breve ci sarà l'esame di calcolo 3 e quest'anno hanno deciso di aggiungere negli esercizi del compito le serie di taylor cosa che non hanno fatto al corso quando ho seguito io l'anno scorso
ora premesso che ho letto tutta la teoria che potevo ho capito per sommi capi come si fa lo sviluppo in serie di taylor per quanto riguarda una funzione semplice ma non riesco a capire come si fa quando ho una funzione composta del tipo
f(x)=2x-cos(4x^2) centrata in x0=0
per favore aiutatemi spiegandomi passo passo cosa devo fare
vorrei aggiungere che so perfettamente fare le derivate e non ho lacune di nessun genere in matematica visto i miei voti nei precedenti esami di calcolo sostenuti (dico ciò perche in un'altro forum in cui ho chiesto aiuto mi hanno preso per deficiente e non credo proprio di esserlo)
ora premesso che ho letto tutta la teoria che potevo ho capito per sommi capi come si fa lo sviluppo in serie di taylor per quanto riguarda una funzione semplice ma non riesco a capire come si fa quando ho una funzione composta del tipo
f(x)=2x-cos(4x^2) centrata in x0=0
per favore aiutatemi spiegandomi passo passo cosa devo fare
vorrei aggiungere che so perfettamente fare le derivate e non ho lacune di nessun genere in matematica visto i miei voti nei precedenti esami di calcolo sostenuti (dico ciò perche in un'altro forum in cui ho chiesto aiuto mi hanno preso per deficiente e non credo proprio di esserlo)
Risposte
anche io sono nella tua stessa situazione devo risolvere alcuni limiti e credo proprio che l'unica soluzioni sia risolvendoli con taylor ma non so da dove partire..
anche a me in altri forum mi hanno preso per un demente e come te so fare tutto tranne questo dannato taylor...
spero che qualche buon'anima ci dia qualche consiglio...
anche a me in altri forum mi hanno preso per un demente e come te so fare tutto tranne questo dannato taylor...
spero che qualche buon'anima ci dia qualche consiglio...
speriamo
Allora in sostanza si può procedere in questo modo:
tu devi sviluppare la funzione $2x-cos(4x^2)$ in serie di McLaurin (serie di Taylor centrata in 0). Allora sfruttando il fatto che il polinomio di Taylor se esiste è unico, inizi a svilupparti da una parte il coseno. Tu sai che:
$cos(y)=1-y^2/(2!)+y^4/(4!)+...+(-1)^(2n-1)*y^(2n)/((2n)!) + o(y^(2n+2))$ per $y\to 0$.
Adesso puoi sostituire (in virtù del risultato che ti ho citato) a y $4x^2$, da cui ti ricavi (arrestandomi al quarto ordine):
$cos(4x^2)=1-8x^4+o((4x^2)^2)=1-8x^4+o(x^4)$ (per le proprietà degli o-piccolo)
Infine basta sostituire nella funzione di partenza. In definitiva avrai:
$2x-cos(4x^2)=-1+2x+8x^4+o(x^4)$...
Se avete dei dubbi chiedete pure...
tu devi sviluppare la funzione $2x-cos(4x^2)$ in serie di McLaurin (serie di Taylor centrata in 0). Allora sfruttando il fatto che il polinomio di Taylor se esiste è unico, inizi a svilupparti da una parte il coseno. Tu sai che:
$cos(y)=1-y^2/(2!)+y^4/(4!)+...+(-1)^(2n-1)*y^(2n)/((2n)!) + o(y^(2n+2))$ per $y\to 0$.
Adesso puoi sostituire (in virtù del risultato che ti ho citato) a y $4x^2$, da cui ti ricavi (arrestandomi al quarto ordine):
$cos(4x^2)=1-8x^4+o((4x^2)^2)=1-8x^4+o(x^4)$ (per le proprietà degli o-piccolo)
Infine basta sostituire nella funzione di partenza. In definitiva avrai:
$2x-cos(4x^2)=-1+2x+8x^4+o(x^4)$...
Se avete dei dubbi chiedete pure...
prima di tutto ringrazio maurer per la disponibilità e la tempestività nel rispondermi
volevo chiedere alcuni chiarimenti
come faccio a sapere a quale ordine devo fermarmi?
volevo chiedere alcuni chiarimenti
come faccio a sapere a quale ordine devo fermarmi?
Questa è una domanda da cento milioni di dollari...
una volta il mio insegnante mi disse che è come imparare a curvare quando vai in macchina: dopo un po' che vai ti viene l'occhio per capire quanto sia stretta la curva!
Metafore a parte, la risposta è che non c'è un metodo generale. In altre parole, tutto dipende dalla situazione. Ti posso però far notare questo:
supponiamo che tu debba calcolare questo limite: $\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6sin(x))/x^5$; allora con gli infinitesimi non ti viene, e quindi pensi a sviluppare in serie di Taylor (quando ci prendi la mano poi diventa più facile così che in altri modi!). Allora sviluppo come ti ho fatto vedere in serie di McLaurin il numeratore. Proviamo a fermarci al terzo ordine. Otteniamo $sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$. Andando a sostituire otteniamo:
$6x-x^3-6(x-x^3/6+o(x^3))=6x-6x+x^3-x^3+o(x^3)=o(x^3)$ per $x\to 0$.
Se ti trovi in una situazione del genere, nella maggior parte dei casi hai sviluppato troppo poco e non hai informazioni sufficienti per risolvere il limite. Infatti quell'o-piccolo di $x^3$ è una qualsiasi funzione che ha un ordine di infinitesimo maggiore di 3 (rispetto a x) e quindi potrebbe essere di ordine 4 (nel qual caso $\lim_{x\to 0}(o(x^3))/x^5=+\infty$), oppure potrebbe essere di ordine 5 (e il limite verrebbe un numero reale distinto da 0) oppure ancora di ordine maggiore di 5 (e il limite verrebbe 0). Insomma, bisogna sviluppare di più, ed arrivare almeno al quinto ordine. Quindi si ha:
$sin(x)=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$
da cui ottieni:
$\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6sin(x))/x^5=\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6x+x^3-x^5/20+o(x^5))/x^5=\lim_{x\to 0}(-x^5/20+o(x^5))/x^5=-1/20$
Hai capito? Hai altri dubbi?
una volta il mio insegnante mi disse che è come imparare a curvare quando vai in macchina: dopo un po' che vai ti viene l'occhio per capire quanto sia stretta la curva!
Metafore a parte, la risposta è che non c'è un metodo generale. In altre parole, tutto dipende dalla situazione. Ti posso però far notare questo:
supponiamo che tu debba calcolare questo limite: $\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6sin(x))/x^5$; allora con gli infinitesimi non ti viene, e quindi pensi a sviluppare in serie di Taylor (quando ci prendi la mano poi diventa più facile così che in altri modi!). Allora sviluppo come ti ho fatto vedere in serie di McLaurin il numeratore. Proviamo a fermarci al terzo ordine. Otteniamo $sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$. Andando a sostituire otteniamo:
$6x-x^3-6(x-x^3/6+o(x^3))=6x-6x+x^3-x^3+o(x^3)=o(x^3)$ per $x\to 0$.
Se ti trovi in una situazione del genere, nella maggior parte dei casi hai sviluppato troppo poco e non hai informazioni sufficienti per risolvere il limite. Infatti quell'o-piccolo di $x^3$ è una qualsiasi funzione che ha un ordine di infinitesimo maggiore di 3 (rispetto a x) e quindi potrebbe essere di ordine 4 (nel qual caso $\lim_{x\to 0}(o(x^3))/x^5=+\infty$), oppure potrebbe essere di ordine 5 (e il limite verrebbe un numero reale distinto da 0) oppure ancora di ordine maggiore di 5 (e il limite verrebbe 0). Insomma, bisogna sviluppare di più, ed arrivare almeno al quinto ordine. Quindi si ha:
$sin(x)=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$
da cui ottieni:
$\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6sin(x))/x^5=\lim_{x\to 0}(6x-x^3-6x+x^3-x^5/20+o(x^5))/x^5=\lim_{x\to 0}(-x^5/20+o(x^5))/x^5=-1/20$
Hai capito? Hai altri dubbi?
anche se non centra niente con il topic qualcuno mi puo spiegare come si fa a scrivere le formule matematiche nel forum?
grazie anticipatamente
grazie anticipatamente
maurer se mi spieghi come si fa ad inserire le formule matematiche avrei un altro dubbio su un altro esercizio sempre su taylor
grazie
grazie
basta che guardi a questa pagina http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html[/quote]
Comunque se tieni il cursore sopra le formule che ho digitato io, vedi cosa devi scrivere (se conosci un po' di Latex è praticamente identico...)
grazie per la risposta e l'aiuto purtroppo non conosco Latex ma farò riferimento all'ottima guida di cui mi hai dato il link
grazie
grazie
mi potresti aiutare a capire come si svolge questo esercizio?
calcolare la serie di taylor sempre centrata in zero della seguente funzione
$f(x)=(x-5)^3*log (x-4)$
calcolare la serie di taylor sempre centrata in zero della seguente funzione
$f(x)=(x-5)^3*log (x-4)$
Sei sicuro di aver scritto il testo corretto? non è che era $log|x-4|$? perché in un intorno di zero l'argomento del logaritmo è negativo e quindi la funzione non è definita...
io ho pensato di rifarmi a log(x+1) che è nota ma non so se devo cambiare anche $(x-5)^3$
se lo devo cambiare (fare una qualche posizione) come devo fare?
cambia altro rispetto all'esercizio di prima?
se lo devo cambiare (fare una qualche posizione) come devo fare?
cambia altro rispetto all'esercizio di prima?
il testo dell'esercizio è quello ma evidentemente sarà sbagliato
comunque ne prendo un'altro identico che come dici tu non ha x0=0
la traccia dice cosi
sia $f(x)=(x-3)^3*log(x-2)$
si chiede di scrivere la serie di taylor di f centrata in x0=3
comunque ne prendo un'altro identico che come dici tu non ha x0=0
la traccia dice cosi
sia $f(x)=(x-3)^3*log(x-2)$
si chiede di scrivere la serie di taylor di f centrata in x0=3
L'idea di fondo è quella... se ad esempio tu avessi da sviluppare $log(4+x)$ un trucco è quello di pensarla scritta come $log(1+(3+x))$ e poi sviluppare rispetto a $3+x$...
Il problema qui è che non puoi sviluppare in serie di Taylor: infatti per sviluppare nell'intorno di un punto una funzione $f(x)$ fino all'ordine n, la funzione deve essere derivabile n volte; qui, invece, la funzione non è nemmeno definita, in un intorno di 0...
Forse non è che devi sviluppare in un intorno di 5? Perché in quel caso diventa tutto facilissimo: usa l'identità $log(x-4)=log(x-4+1-1)=log(1+(x-5))$; sviluppando in serie di Taylor ottieni $log(y)=y+o(y)$ (qui sembra bastare il primo ordine), da cui $log(1+(x-5))=(x-5)+o(x-5)$; pertanto avresti:
$(x-5)^3*log(4-x)=(x-5)^3*((x-5)+o(x-5))=(x-5)^4+o((x-5)^4$...
Il problema qui è che non puoi sviluppare in serie di Taylor: infatti per sviluppare nell'intorno di un punto una funzione $f(x)$ fino all'ordine n, la funzione deve essere derivabile n volte; qui, invece, la funzione non è nemmeno definita, in un intorno di 0...
Forse non è che devi sviluppare in un intorno di 5? Perché in quel caso diventa tutto facilissimo: usa l'identità $log(x-4)=log(x-4+1-1)=log(1+(x-5))$; sviluppando in serie di Taylor ottieni $log(y)=y+o(y)$ (qui sembra bastare il primo ordine), da cui $log(1+(x-5))=(x-5)+o(x-5)$; pertanto avresti:
$(x-5)^3*log(4-x)=(x-5)^3*((x-5)+o(x-5))=(x-5)^4+o((x-5)^4$...
Ah, ecco allora quello che hai appena postato è proprio come quello che ho pensato io... evidentemente l'altro aveva un errore di stampa...
Beh l'esercizio è come hai detto tu identico, prova a farlo seguendo le linee generali che ti ho dato nel precedente post... poi se hai ancora degli intoppi chiedi pure...
Beh l'esercizio è come hai detto tu identico, prova a farlo seguendo le linee generali che ti ho dato nel precedente post... poi se hai ancora degli intoppi chiedi pure...
ok grazie sei veramente molto gentile e disponibile
per stasera credo che basti cosi
domani se avro ancora dubbi ti disturberò ancora sempre se posso
grazie ancora
per stasera credo che basti cosi
domani se avro ancora dubbi ti disturberò ancora sempre se posso
grazie ancora
Figurati!!
ti assicuro che non sono tutti cosi gentili come te
grazie ancora
grazie ancora
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