Aiuto esercizio moltiplicatori di Lagrange

[marina.306]

Ciao a tutti. Spero di scrivere nella sezione giusta. Vorrei chiedervi se sapreste risolvermi questo esercizio dell'esame:

Risolvere il seguente problema col metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$ { ( max xy ),( Sub 4x^2+y^2=1 ):} $

Aggiungo che faccio matematica per l'economia e secondo programma abbiamo fatto le derivate parziali delle funzioni a 2 variabili, la definizione di funzione Lagrangiana, e non abbiamo visto nessun tipo di esercizio. Su internet ho visto degli esercizi svolti con l'hessiano e le matrici che io non so cosa siano o se servono per risolvere l'esercizio. Grazie a chi mi aiuterà.
Potreste inoltre spiegarmi cosa sono "max" e "sub"?

[cooper1]

"marina.306":Potreste inoltre spiegarmi cosa sono "max" e "sub"?

non sono molto famigliare con la notazione, ma immagino che intenda che $xy$ sia la funzione da massimizzare e $Sub$ il vincolo a cui è soggetta la funzione (nel tuo caso spesso si tratta di una qualche equazione che definisce un budget).

per la risoluzione senza alcuna nozione di matrici è difficile spiegartela così a parole, ma ci provo lo stesso.
per risolvere la massimizzazione proposta devi anzitutto costruire la funzione Lagrangiana:

$ L=f(x,y)+lambdag(x,y) $ dove la g è il vincolo.

nel tuo caso hai quindi: $ L=xy+lambda(4x^2+y^2-1) $
ora per un noto teorema (appunto quello dei moltiplicatori di Lagrange) hai che i possibili estremanti sono quelli che annullano il gradiente della Lagragiana. quindi lo facciamo (deriviamo quindi rispetto ad $x,y,lambda$), ottenendo il sistema:
$ { ( y+8lambdax=0 ),( x+2lambday=0 ),( 4x^2+y^2-1=0 ):} $
lo risolvi e trovi i punti che sono candidati ad essere estremi della funzione ristretta al vincolo in esame.
ora si procede allo studio dell'hessiao orlato (è il determinante di una matrice $3x3$). ti basti sapere la forma che ha e per il momento applicala alla cieca e fai i conti. quando poi farai le matrici e i determinanti tutto sarà più chiaro.
$ bar(H) = | ( 0 , g'_x , g'_y ),( g'_x , L''_(x x) , L''_(xy) ),( g'_y , L''_(yx) , L''_(yy) ) | $
per risolvere il determinant prova a cercare in internet come fare (c'è per esempio la regola di Sarrus)
a questo punto valuti l'Hessiano orlato nei punti che risolvono il sistema e trai le conclusione secondo questo schema:

[*:lcbdrcfe] se $bar(H) (P) > 0$ allora hai un massimo[/*:m:lcbdrcfe]
[*:lcbdrcfe] se $bar(H) (P) < 0$ allora hai un minimo[/*:m:lcbdrcfe]
[*:lcbdrcfe] se $bar(H) (P) = 0$ allora il metodo usato non è concludente e devi usare qualche altro criterio per stabilire la natura dei punti stazionari.[/*:m:lcbdrcfe][/list:u:lcbdrcfe]

[marina.306]

Grazie per la spiegazione. Sei stato molto gentile e chiaro.

[cooper1]

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