Aiuto esercizi sup e inf
Ciao a tutti, mi servirebbe una info perchè non riesco a capire come svolgere un esercizio...
Testo:
Poniamo $X= {(2n+1/n^2+1) : n in ZZ, n>=0}$ Dimostrare che sup X = 3/2 e inf X = 0 . Sono anche max e min?
Allora per svolgere l'esercizio ho iniziato verificando se 3/2 è sup...
Per fare questo dovrei verificare la disequazione $ (2n+1)/(n^2+1)<=3/2 $ la soluzione di questa disequazione è x<-1 e x>-1/3 a questo punto mi perdo! Come collego il risultato della disequaz a sup?
Immagino di dover fare la stessa cosa per inf solo mettendo >=0. Ma anche qui viene il problema di cosa farmene delle disequaz per verificare inf!
Testo:
Poniamo $X= {(2n+1/n^2+1) : n in ZZ, n>=0}$ Dimostrare che sup X = 3/2 e inf X = 0 . Sono anche max e min?
Allora per svolgere l'esercizio ho iniziato verificando se 3/2 è sup...
Per fare questo dovrei verificare la disequazione $ (2n+1)/(n^2+1)<=3/2 $ la soluzione di questa disequazione è x<-1 e x>-1/3 a questo punto mi perdo! Come collego il risultato della disequaz a sup?
Immagino di dover fare la stessa cosa per inf solo mettendo >=0. Ma anche qui viene il problema di cosa farmene delle disequaz per verificare inf!
Risposte
"fphil":
Ciao a tutti, mi servirebbe una info perchè non riesco a capire come svolgere un esercizio...
Testo:
Poniamo $X= {(2n+1/n^2+1) : n in ZZ, n>=0}$ Dimostrare che sup X = 3/2 e inf X = 0 . Sono anche max e min?
Allora per svolgere l'esercizio ho iniziato verificando se 3/2 è sup...
Per fare questo dovrei verificare la disequazione $ (2n+1)/(n^2+1)<=3/2 $ la soluzione di questa disequazione è x<-1 e x>-1/3 a questo punto mi perdo! Come collego il risultato della disequaz a sup?
Immagino di dover fare la stessa cosa per inf solo mettendo >=0. Ma anche qui viene il problema di cosa farmene delle disequaz per verificare inf!
Ma gli elementi di X sono $2n+1/n^2+1$ oppure $(2n+1)/(n^2+1)$?
chiedo scusa....non sono ancora pratico a scrivere le formule!
sono $ (2n+1)/(n^2+1)$
sono $ (2n+1)/(n^2+1)$
"fphil":
chiedo scusa....non sono ancora pratico a scrivere le formule!
sono $ (2n+1)/(n^2+1)$
Ti basta verificare che la successione $(2n+1)/(n^2+1)$ è monotona decrescente (è comodo farlo ad esempio facendo la derivata rispetto a n).
Scopri quindi che per ogni $n>=1$ si ha che $(2n+1)/(n^2+1)>=(2(n+1)+1)/((n+1)^2+1)$.
Perciò il sup, che quindi è anche il max, si ottiene ponendo $n=1$ o $n=0$.
Ora per $n=0$ si ottiene 1
mentre per $n=1$ si ottiene $3/2$ e hai così dimostrato la prima parte.
Ora per mostrare che l'inf (in questo caso non sarà min) è 0, basta che noti che, come già detto, la successione è monotona decrescente e quindi ti basta fare il limite per n che tende ad infinito che ovviamente dà 0
max e min alle superiori con le derivate stavo un attimo a trovarli, il problema è che all'uni non hanno ancora fatto le derivate, e l'esercizio fatto in classe iniziava con la disequazione ma poi a causa di un "calo di attenzione" nei miei appunti manca la continuazione! =)
"fphil":
max e min alle superiori con le derivate stavo un attimo a trovarli, il problema è che all'uni non hanno ancora fatto le derivate, e l'esercizio fatto in classe iniziava con la disequazione ma poi a causa di un "calo di attenzione" nei miei appunti manca la continuazione! =)
Non devi per forza usare la derivata.
Si può dimostrare che la successione è monotona decrescente per $n>=1$ anche usando il principio di induzione (se preferisci), anche se in questo caso è più immediato fare la derivata
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