Aiuto esercizi istituzioni di matematiche
http://www.mat.unimi.it/users/rusconi/26Giu07.pdf
ciao ragazzi qui sopra linko l'esame svolto ieri e con orale domani!!!!
mi servirebbe sapere se riuscite a risolverli gli esercizi 5,8,9,10.
il 10 assolutamente.
se qulche anima buona vuole farmi questo grande favore sarò debitore.
ciao Allxxx
ciao ragazzi qui sopra linko l'esame svolto ieri e con orale domani!!!!
mi servirebbe sapere se riuscite a risolverli gli esercizi 5,8,9,10.
il 10 assolutamente.
se qulche anima buona vuole farmi questo grande favore sarò debitore.
ciao Allxxx
Risposte
5) ovunque derivabile tranne per $x=0$. Infatti, nonostante le derivate si attacchino con continuità, la funzione non è continua per $x=0$.
6) la funzione è evidentemente $\le1$ ed assume il suo massimo (che è proprio $1$, per $x=0$) (tale massimo viene assunto anche come sup per $x->1$ da destra). Non ha minimo, ma ha inf in $0$ che si ottiene nei due limiti per $x->\infty,-\infty$. Non ci sono estremi relativi, infatti l'unico caso che può sussistere è nell'attaccatura $x=1$. Ma per $x<1$ la funzione è decrescente e per $x>1$ anche, per cui non è un estremo relativo.
(mi so accorto che non avevi richiesto st'esercizio, ma ormai l'ho scritto
8) Prova a integrare per parti.
9) $a>1$ ovviamente... basta calcorare quel'integrale!
10) per separazione delle variabili: porta a primo membro le $y$ e moltiplica per $2$. Trovi l'espressione
$(4yy')/(1+2y^2)=2x$
a primo membro si riconosce una espressione del tipo $(f'(x))/(f(x))$, con $f=1+2y^2$. Puoi ora facilmente integrare e determinare la costante utilizzando la condizione iniziale.
6) la funzione è evidentemente $\le1$ ed assume il suo massimo (che è proprio $1$, per $x=0$) (tale massimo viene assunto anche come sup per $x->1$ da destra). Non ha minimo, ma ha inf in $0$ che si ottiene nei due limiti per $x->\infty,-\infty$. Non ci sono estremi relativi, infatti l'unico caso che può sussistere è nell'attaccatura $x=1$. Ma per $x<1$ la funzione è decrescente e per $x>1$ anche, per cui non è un estremo relativo.
(mi so accorto che non avevi richiesto st'esercizio, ma ormai l'ho scritto
8) Prova a integrare per parti.
9) $a>1$ ovviamente... basta calcorare quel'integrale!
10) per separazione delle variabili: porta a primo membro le $y$ e moltiplica per $2$. Trovi l'espressione
$(4yy')/(1+2y^2)=2x$
a primo membro si riconosce una espressione del tipo $(f'(x))/(f(x))$, con $f=1+2y^2$. Puoi ora facilmente integrare e determinare la costante utilizzando la condizione iniziale.
ok perfetto ma mi puoi spiegare bene con passaggi come si risolvono gli esercizi??
oppure mi mandi via email la scannarizzazione dei fogli su cui ai scritto??
ti ringrazio allxxx
oppure mi mandi via email la scannarizzazione dei fogli su cui ai scritto??
ti ringrazio allxxx
Mah....
scusate ma senza passaggi non si riesce a capire bene.
ciao Allxxx
ciao Allxxx
chissà cosa significa il mah di camillo...
Premessa: se al posto delle formule vedi un mucchio di simbolacci con sovrabbondanza di dollari, scaricati il programma per leggere le formule. Si fa cosi: nella pagina iniziale del sito vai su iscriviti al forum e poi vai su "come inserire e visualizzare formule matematiche" e clicca sul secondo "qui". Ciao e in bocca al lupo
5) le due funzioni attraverso la quale è definita la $f$ sono entrambe continue e derivabili ristrette nel dominio in cui si considerano, per cui bisogna soltanto studiare cosa succede nel punto $x=0$, in quanto ci potrebbero essere problemi di attaccamento. In effetti, osservando che $e^0=1$ e che $lim_{x->0}ln(1+x)=0$, ci si accorge che $f$ non è continua in $0$ e quindi non è ivi neanche derivabile (ti ricordo che se fosse derivabile sarebbe anche continua ... classica domanda d'esame!)
8) ti ricordo che l'integrazione per parti discende dalla formula $(fg)'=f'g+fg'$, la quale, integrata, dà
$\intf'g=fg-\intfg'$
Riscriviamola in particolare con $f=x$ e $g=ln^2(x)$. Otteniamo allora
$\intln^2(x)dx=xln^2(x)-2\intln(x)dx$ (le costanti le mettiamo alla fine)
Si rifà un'altra volta l'integrazione per parti per risolvere l'integrale a secondo membro questa volta con $f=x$ e $g=ln(x)$ e se ne conclude che
$\intln^2xdx=xln^2x-2xlnx+2x+c$
infatti puoi a questo punto verificare da solo/a che la seconda integrazione per parti dà $xlnx-x$.
9) Per questo esercizio esiste un procedimento molto veloce che fa appello alle serie e al confronto asintotico. Non so se conosci queste cose, per cui ti do solo un accenno e poi sviluppo nei dettagli un altro metodo, decisamente più lungo e tecnico, ma elementare. Il primo procedimento consiste nell'osservare (è un teorema!) che il carattere di quell'integrale è lo stesso di $1/(x^a)$, cioè esso converge se e solo se converge quest'ultimo. Un conto diretto (dal momento che trattasi di una integrazione banale) mostra che esso converge solo per $a>1$ e diverge altrimenti. Vediamo l'altro modo. Distinguiamo i casi $a>1$, $a=1$ e $a<1$:
I caso: $a>1$.
Vale l'ovvia disuguaglianza $1/(1+x^a)\le1/(x^a)$. Per cui
$\int_1^{\infty}1/(1+x^a)dx\le\int_1^{\infty}1/(x^a)dx=lim_{M->\infty}\int_1^M1/(x^a)dx=$
$(M^{-a+1})/(-a+1)-1/(-a+1)=1/(M^{a-1}(1-a))-1/(1-a)->-1/(1-a)$
notare che ho usato l'ipotesi che $a>1$ nell'ultimo passaggio per dire che $M^{a-1}->\infty$, cosa non vera se
$a\le1$.
II caso $a=1$.
Si può effettuare direttamente l'integrazione. Infatti si ha
$\int_1^{\infty}1/(1+x)dx=lim_{M->\infty}ln(1+M)=\infty$
III caso $a<1$
Bisogna osservare che se $c
):
$1/(1+x^c)>1/(1+x^d)$.
Utilizzando questa disuguaglianza con $d=1$ si trova che
$\int_1^{\infty}1/(1+x^a)dx\ge\int_1^{\infty}1/(1+x)dx$
l'integrale a secondo membro già sappiamo che diverge dal punto II e quindi è costretto a divergere anche quello a primo membro.
10) come ho già detto è evidente che l'equazione differenziale si riscrive nella forma
$(4yy')/(1+2y^2)=2x$
Integrando membro a membro (tenendo conto di quanto vale l'integrale di $(f')/f$, con $f=1+2y^2$) si ha
$ln|1+2y^2|=x^2+c$
da notare che possiamo certamente togliere il modulo in quanto la quantità dentro al modulo è positiva (essendo somma di due numeri positivi). Applicando ora l'esponziale si trova allora
$1+2y^2=de^{x^2}$, dove $d=e^c$ (tanto sono costanti!)
l'esplicitazione di $y$ porta a due possibilità:
$y= -\sqrt{(de^{x^2}-1)/2}$
e
$y=\sqrt{(de^{x^2}-1)/2}$
osserviamo che la prima va esclusa in quanto assegna una soluzione ovunque negativa e che quindi non può soddisfare la condizione iniziale. Accettiamo quindi solo la seconda soluzione ed andiamo ad imporre il passaggio per la condizione iniziale, ossia cerchiamo $d$ tale che
$\sqrt{(de-1)/2}=1/2$
elevando al quadrato ed effettuando l'ovvia esplicitazione si trova $d=3/(2e)$
Premessa: se al posto delle formule vedi un mucchio di simbolacci con sovrabbondanza di dollari, scaricati il programma per leggere le formule. Si fa cosi: nella pagina iniziale del sito vai su iscriviti al forum e poi vai su "come inserire e visualizzare formule matematiche" e clicca sul secondo "qui". Ciao e in bocca al lupo
5) le due funzioni attraverso la quale è definita la $f$ sono entrambe continue e derivabili ristrette nel dominio in cui si considerano, per cui bisogna soltanto studiare cosa succede nel punto $x=0$, in quanto ci potrebbero essere problemi di attaccamento. In effetti, osservando che $e^0=1$ e che $lim_{x->0}ln(1+x)=0$, ci si accorge che $f$ non è continua in $0$ e quindi non è ivi neanche derivabile (ti ricordo che se fosse derivabile sarebbe anche continua ... classica domanda d'esame!)
8) ti ricordo che l'integrazione per parti discende dalla formula $(fg)'=f'g+fg'$, la quale, integrata, dà
$\intf'g=fg-\intfg'$
Riscriviamola in particolare con $f=x$ e $g=ln^2(x)$. Otteniamo allora
$\intln^2(x)dx=xln^2(x)-2\intln(x)dx$ (le costanti le mettiamo alla fine)
Si rifà un'altra volta l'integrazione per parti per risolvere l'integrale a secondo membro questa volta con $f=x$ e $g=ln(x)$ e se ne conclude che
$\intln^2xdx=xln^2x-2xlnx+2x+c$
infatti puoi a questo punto verificare da solo/a che la seconda integrazione per parti dà $xlnx-x$.
9) Per questo esercizio esiste un procedimento molto veloce che fa appello alle serie e al confronto asintotico. Non so se conosci queste cose, per cui ti do solo un accenno e poi sviluppo nei dettagli un altro metodo, decisamente più lungo e tecnico, ma elementare. Il primo procedimento consiste nell'osservare (è un teorema!) che il carattere di quell'integrale è lo stesso di $1/(x^a)$, cioè esso converge se e solo se converge quest'ultimo. Un conto diretto (dal momento che trattasi di una integrazione banale) mostra che esso converge solo per $a>1$ e diverge altrimenti. Vediamo l'altro modo. Distinguiamo i casi $a>1$, $a=1$ e $a<1$:
I caso: $a>1$.
Vale l'ovvia disuguaglianza $1/(1+x^a)\le1/(x^a)$. Per cui
$\int_1^{\infty}1/(1+x^a)dx\le\int_1^{\infty}1/(x^a)dx=lim_{M->\infty}\int_1^M1/(x^a)dx=$
$(M^{-a+1})/(-a+1)-1/(-a+1)=1/(M^{a-1}(1-a))-1/(1-a)->-1/(1-a)$
notare che ho usato l'ipotesi che $a>1$ nell'ultimo passaggio per dire che $M^{a-1}->\infty$, cosa non vera se
$a\le1$.
II caso $a=1$.
Si può effettuare direttamente l'integrazione. Infatti si ha
$\int_1^{\infty}1/(1+x)dx=lim_{M->\infty}ln(1+M)=\infty$
III caso $a<1$
Bisogna osservare che se $c
):$1/(1+x^c)>1/(1+x^d)$.
Utilizzando questa disuguaglianza con $d=1$ si trova che
$\int_1^{\infty}1/(1+x^a)dx\ge\int_1^{\infty}1/(1+x)dx$
l'integrale a secondo membro già sappiamo che diverge dal punto II e quindi è costretto a divergere anche quello a primo membro.
10) come ho già detto è evidente che l'equazione differenziale si riscrive nella forma
$(4yy')/(1+2y^2)=2x$
Integrando membro a membro (tenendo conto di quanto vale l'integrale di $(f')/f$, con $f=1+2y^2$) si ha
$ln|1+2y^2|=x^2+c$
da notare che possiamo certamente togliere il modulo in quanto la quantità dentro al modulo è positiva (essendo somma di due numeri positivi). Applicando ora l'esponziale si trova allora
$1+2y^2=de^{x^2}$, dove $d=e^c$ (tanto sono costanti!)
l'esplicitazione di $y$ porta a due possibilità:
$y= -\sqrt{(de^{x^2}-1)/2}$
e
$y=\sqrt{(de^{x^2}-1)/2}$
osserviamo che la prima va esclusa in quanto assegna una soluzione ovunque negativa e che quindi non può soddisfare la condizione iniziale. Accettiamo quindi solo la seconda soluzione ed andiamo ad imporre il passaggio per la condizione iniziale, ossia cerchiamo $d$ tale che
$\sqrt{(de-1)/2}=1/2$
elevando al quadrato ed effettuando l'ovvia esplicitazione si trova $d=3/(2e)$
"ubermensch":
$\intln^2xdx=xln^2x-2xlnx-2x+c$
$\intln^2xdx=xln^2x-2xlnx+2x+c$
Il mah .... di camillo voleva dire :
e poi vuoi anche che uber vada a far l'orale al tuo posto ?
e poi vuoi anche che uber vada a far l'orale al tuo posto ?
@nicola
hai ragione. ho corretto!
@camillo
ok pensavo che nella fretta avessi scritto qualche cavolata.
hai ragione. ho corretto!
@camillo
ok
pensavo che nella fretta avessi scritto qualche cavolata.
ciao ragazzi purtroppo l'orale non l'ho passato!!
mi potete fare un piacere e risolvere l'esercizio 1 che ho qualche dubbio???
ringrazio in anticipo
ciao Allxxx
mi potete fare un piacere e risolvere l'esercizio 1 che ho qualche dubbio???
ringrazio in anticipo
ciao Allxxx
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo