Aiuto convergenza integrale
Salve ho un problema con lo studio del carattere di questo integrale, ho provato a risolverlo ma non sono molto sicuro del procedimento e del risultato. Spero qualcuno di voi possa aiutarmi.
\[
\int _0^\infty\frac{e^{-ax}+\sqrt{ax}}{x+x^a}dx
\]
con \( a\ge 0 \)
per prima cosa ho diviso l'integrale in \( \int _0^\infty\frac{1}{e^{ax}\cdot \left(x+x^a\right)}dx+\int _0^\infty\frac{\sqrt{ax}}{x+x^a}dx \)
dopodiche \( \int _0^\infty\frac{1}{e^{ax}\cdot \left(x+x^a\right)}dx \) in un intorno di 0 è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{ax^2+ax^{\left(a+1\right)}+x+x^a}dx \)
che a sua volta per \( a\ge1\) è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x}dx \) e quindi per \( a\ge 1 \) l'integrale non converge.
per \(a<1\) invece è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x^a}dx \) e quindi converge per \(a<1\).
in un intorno di infinito invece il primo integrale convergerà sempre in quanto c'è un \(e^{ax} \) al denominatore con \( a\ge 0 \).
quindi il primo integrale converge solo se \(0\le a<1\).
passando al secondo invece trovo che in un intorno di 0 e con \(0\le a<1\) l'integrale è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x^{\left(a-\frac{1}{2}\right)}}dx \) che converge sempre in quanto \(0\le a<1\).
invece in un intorno di infinito e con \(0\le a<1\) invece l'integrale è asintotico a \( \int _b^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx \) che non converge mai e quindi nel complesso l'integrale diverge per ogni valore di a.
\[
\int _0^\infty\frac{e^{-ax}+\sqrt{ax}}{x+x^a}dx
\]
con \( a\ge 0 \)
per prima cosa ho diviso l'integrale in \( \int _0^\infty\frac{1}{e^{ax}\cdot \left(x+x^a\right)}dx+\int _0^\infty\frac{\sqrt{ax}}{x+x^a}dx \)
dopodiche \( \int _0^\infty\frac{1}{e^{ax}\cdot \left(x+x^a\right)}dx \) in un intorno di 0 è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{ax^2+ax^{\left(a+1\right)}+x+x^a}dx \)
che a sua volta per \( a\ge1\) è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x}dx \) e quindi per \( a\ge 1 \) l'integrale non converge.
per \(a<1\) invece è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x^a}dx \) e quindi converge per \(a<1\).
in un intorno di infinito invece il primo integrale convergerà sempre in quanto c'è un \(e^{ax} \) al denominatore con \( a\ge 0 \).
quindi il primo integrale converge solo se \(0\le a<1\).
passando al secondo invece trovo che in un intorno di 0 e con \(0\le a<1\) l'integrale è asintotico a \( \int _0^b\frac{1}{x^{\left(a-\frac{1}{2}\right)}}dx \) che converge sempre in quanto \(0\le a<1\).
invece in un intorno di infinito e con \(0\le a<1\) invece l'integrale è asintotico a \( \int _b^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx \) che non converge mai e quindi nel complesso l'integrale diverge per ogni valore di a.
Risposte
Più semplice... Detto $f(x;a)$ il tuo integrando, intorno a $0$ hai:
\[
f(x;a) \approx \begin{cases} \frac{1}{x^a} &\text{, se } a<1\\ \frac{1}{x} &\text{, se } a\geq 1\end{cases}
\]
mentre intorno a $+\infty$ hai:
\[
f(x;a) \approx \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} &\text{, se } a<1 \\ \frac{1}{x^{a-1/2}} &\text{, se } a\geq 1\end{cases}
\]
dunque il tuo integrale non può convergere per alcuna scelta di $a$.
\[
f(x;a) \approx \begin{cases} \frac{1}{x^a} &\text{, se } a<1\\ \frac{1}{x} &\text{, se } a\geq 1\end{cases}
\]
mentre intorno a $+\infty$ hai:
\[
f(x;a) \approx \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} &\text{, se } a<1 \\ \frac{1}{x^{a-1/2}} &\text{, se } a\geq 1\end{cases}
\]
dunque il tuo integrale non può convergere per alcuna scelta di $a$.
Grazie mille!!
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