Aiuto con una serie.

[miik91]

Salve a tutti. E' un po che non tocco le serie ( dall esame di analisi 1 XD) e non mi ricordo più bene come si risolvono. Avrei bisogno di una mano con questo esercizio. L esercizio chiedi di determinare il carattere della seguente serie:

[math]\sum_{k=1}^\infty (n^3+n^{3/2})^{1/3}-n [/math]

Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Grazie a tutti in anticipo.

[ciampax]

Per prima cosa, poniamo

[math]a_n=(n^3+n^{3/2})^{1/3}-n[/math]

il termine generale. Poiché possiamo scrivere

[math]a_n=n(1+\sqrt{n})^{1/3}-n=n[(1+\sqrt{n})^{1/3}-1]\cdot\frac{(1+\sqrt{n})^{2/3}+(1+\sqrt{n})^{1/3}+1}{(1+\sqrt{n})^{2/3}+(1+\sqrt{n})^{1/3}+1}=\\
=\frac{n(1+\sqrt{n})-1}{(1+\sqrt{n})^{2/3}+(1+\sqrt{n})^{1/3}+1}=\frac{n^{3/2}}{(1+\sqrt{n})^{2/3}+(1+\sqrt{n})^{1/3}+1}[/math]

segue che, confrontando i termini principali (le potenze di ordine maggiore)

[math]a_n\sim\frac{n^{3/2}}{\sqrt{n}^{2/3}}=\frac{n^{3/2}}{n^{1/3}}=n^{7/6}[/math]

da cui

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} n^{7/6}=+\infty[/math]

e quindi, non essendo il termine generale infinitesimo, la serie diverge (positivamente, essendo una serie a termini positivi).