Aiuto con un limite!

[Andrea571]

Ho il seguente limite:

$lim_(x->0)(tanx-senx)/(x^3)$

Posso ricondurmi ai seguenti limiti notevoli:

$lim_(x->0)(senx)/x$ e $lim_(x->0)(tanx)/x$, che tendono entrambi a $1$...riscrivo il limite:

$lim_(x->0)(tanx-senx)/(x^3)$ = $lim_(x->0)(tanx)/(x^3)-(senx)/(x^3)$ = $lim_(x->0)((tanx)/(x))*(1/(x^2))-((senx)/(x))*

(1/(x^2))$ = $lim_(x->0)1*(1/(x^2))-1*(1/(x^2))$ = $lim_(x->0)(1/(x^2))-(1/(x^2))$=$0$

Eppure il risultato è $1/2$! Mi aiutate a capire dove ho errato?

[Noisemaker]

i limiti notevoli in questo caso non bastano; devi sviluppare il numeratore con Taylor, oppure applicare la regola di De L'Hopital.

[Andrea571]

"Noisemaker":i limiti notevoli in questo caso non bastano; devi sviluppare il numeratore con Taylor, oppure applicare la regola di De L'Hopital.

Ma non è quello il punto, io un risultato l'ho ottenuto, ovvero $0$: se esce un risultato che non è una forma di indecisione, non dovrebbe essere corretto?

(Alias: me lo sogno che quel risultato è sbagliato? )

[Noisemaker]

il punto è proprio quello: hai ottenuto un risutato che è sbagliato; infatti
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)- x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle \frac{x^3}{2}+o(x^3) }{x^3}=\frac{1}{2}.
\end{align}

Il tuo errore, grave, è questo

"Andrea57":

$lim_(x->0)(1/(x^2))-(1/(x^2))$=$0$

[Andrea571]

"Noisemaker":

Il tuo errore, grave, è questo
[quote="Andrea57"]

$lim_(x->0)(1/(x^2))-(1/(x^2))$=$0$

[/quote]

Perdonami se te lo chiedo
Perché non posso farlo?

[Noisemaker]

Perchè a quel punto sei arrivato tramite dei passaggi al limite che ti fanno però perdere informazioni sul comportamento della funzione iniziale quando $x\to0;$ per questo motivo non è sufficiente arrestarsi al primo ordine, cioè al limite notevole, ma è necessario andare avanti nello sviluppo delle funzioni in gioco. Ma se hai studiato la formula di Taylor questo dovresti saperlo....

[totissimus]

Si può anche scrivere:
\(\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}}=\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{3}\frac{1}{1+\cos x}\)

[anonymous_c5d2a1]

"totissimus":Si può anche scrivere:
\(\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^{3}}=\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{3}\frac{1}{1+\cos x}\)

$(tanx-sinx)/x^3=(sinx/cosx-sinx)/x^3=(sinx-sinxcosx)/(x^3cosx)$. A questo punto puoi procedere con i tuoi calcoli. hai dimenticato un termine al denominatore.

[totissimus]

@anonymous_c5d2a1: Grazie per la correzione.