Aiuto con serie di potenze

[studente_studente]

Ciao, avrei bisogno di una mano con le serie di potenze!! Avverto che ho messo tutti i passaggi (per completezza) quindi il post è sembra lungo

1) Come faccio a calcolare la convergenza di queste due serie?
\( \sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{2^n}{3^n-1}x^n \)
\( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{n!}{n^n}x^n \)
So il procedimento ma non so come isolare qualcosa elevato alla n quindi non ho idea di come scomporre per procedere..

Nelle prossime non capisco cosa ho sbagliato, il risultato del libro è diverso:
2) \(\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(-5\right)^n}{\left(n+3\right)}\left(x+1\right)^n \)
Ho posto \( t=-5x-1 \) ottenendo \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{1}{\left(n+3\right)}t^n \)

Ho trovato il raggio con il criterio del rapporto per le serie di potenze ottenendo $R=1$, di conseguenza so che l'insieme di convergenza è \( (-R,R)\subseteq \Lambda_t \subseteq [-R,R]=(-1,1)\subseteq \Lambda_t \subseteq [-1,1] \)

Vedo se gli estremi fanno parte di $\Lambda_t$:
se $t=1$:
\( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{1}{\left(n+3\right)} \) che diverge, allora \( 1∉ \Lambda_t \)
se $t=-1$:
\( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{(-1)^n}{\left(n+3\right)} \) che converge per il criterio di Leibniz, allora \( 1\in \Lambda_t \)

Concludo allora che \( \Lambda_t=[-1,1) \)
\( \Lambda_x=\{x\in R: t=-5x-1 \in[-1,1)\}=(-\frac{2}{5},0] \)
Ma secondo il libro dovrei avere \( \Lambda_x=(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}] \)!!

3) \( \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(-1\right)^nlog\left(2n\right)+\frac{2^n}{n+2}\right)\:x^n \)
L'ho "scomposto" scrivendola come:
\( \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(-1\right)^nlog\left(2n\right)x^n+\frac{\left(2x\right)^n}{n+2}x^n\right)\: \)
Ho studiato le due serie separatamente:
per la prima ho trovato usando il criterio della radice per le serie di potenze che il raggio $R=1$, \( \pm 1 \) non sono inclusi e ottendo $\Lambda_{x_1}=(-1,1)$
per la seconda ho trovato raggio $R=\infty$, allora $Lambda_{x_2} = R$
Per trovare l'insieme di convergenza della serie iniziale: \( \Lambda_x=\Lambda_{x_1}\cap \Lambda_{x_2}=(-1,1) \)
Ma il libro dice che \( \Lambda_x=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \)

Grazie in anticipo!!

[otta96]

"studente-studente":2) \(\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(-5\right)^n}{\left(n+3\right)}\left(x+1\right)^n \)
Ho posto \( t=-5x-1 \) ottenendo \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{1}{\left(n+3\right)}t^n \)

Ho trovato il raggio con il criterio del rapporto per le serie di potenze ottenendo $R=1$, di conseguenza so che l'insieme di convergenza è \( (-R,R)\subseteq \Lambda_t \subseteq [-R,R]=(-1,1)\subseteq \Lambda_t \subseteq [-1,1] \)

Vedo se gli estremi fanno parte di $\Lambda_t$:
se $t=1$:
\( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{1}{\left(n+3\right)} \) che diverge, allora \( 1∉ \Lambda_t \)
se $t=-1$:
\( \sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{(-1)^n}{\left(n+3\right)} \) che converge per il criterio di Leibniz, allora \( 1\in \Lambda_t \)

Concludo allora che \( \Lambda_t=[-1,1) \)
\( \Lambda_x=\{x\in R: t=-5x-1 \in[-1,1)\}=(-\frac{2}{5},0] \)
Ma secondo il libro dovrei avere \( \Lambda_x=(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}] \)!!

Beh ma se fai un cambio di variabile $t=-5x-1$ poi devi ricordarti di tornare di tornare a quelli iniziali.
Per le prime, devi applicare uno tra i criteri del rapporto o della radice alla successione dei coefficienti.
Per la 3, ci penso e poi semmai ti rispondo, se nessuno mi precede.

[studente_studente]

"otta96": Beh ma se fai un cambio di variabile $t=-5x-1$ poi devi ricordarti di tornare di tornare a quelli iniziali.

L'ho fatto qui:

"studente-studente":2)Concludo allora che \( \Lambda_t=[-1,1) \)
\( \Lambda_x=\{x\in R: t=-5x-1 \in[-1,1)\}=(-\frac{2}{5},0] \)
Ma secondo il libro dovrei avere \( \Lambda_x=(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}] \)!!

Ho fatto così:
\( \Lambda_x=\{x\in R: t=-5x-1 \in[-1,1)\} \) allora
$ -1\leq -5x-1<1; $
$-1<5x+1\leq 1; $
$-2<5x\leq 0; $
$-\frac{2}{5}

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[otta96]

Confesso che non avevo letto tutto per bene, comunque ho capito cosa hai sbagliato, era $t=-5x-5$, non $t=-5x-1$.

[studente_studente]

Mamma mia che svista!! Ho appena fatto il conto e ora viene! Grazie mille!!