Aiuto con il calcolo di un integrale
Dovrei calcolare il volume del solido M formato dagli $(x,y,z) €R ^3 | 2x^2+8y^2<= 1, 0<= z<= 2x^2+8y^2+3x+6y$. Non riesco ad impostare l'integrale. Solitamente quando usavo Fubini c'erano tre vincoli non solo due come in questo caso. Come potrei impostarlo?
Risposte
Beh, a me i vincoli paiono comunque tre...
Scusami, di solito ero abituato con sei vincoli. Due per ciascuna variabile. Qua ce ne sono solo tre.
Il dominio è normale al piano $Oxy$, dunque l’integrale si calcola con le formule di riduzione.
Detta $D$ la proiezione di $M$ sul piano $Oxy$, cioè $D=\{ 2x^2 + 8y^2<=1\}$, hai:
\[
\operatorname{vol} (M) = \iint_D \left( \int_0^{2x^2 + 8y^2 + 3x + 6y} 1\ \text{d} z\right)\ \text{d}x \text{d}y
\]
e fai il conto.
Detta $D$ la proiezione di $M$ sul piano $Oxy$, cioè $D=\{ 2x^2 + 8y^2<=1\}$, hai:
\[
\operatorname{vol} (M) = \iint_D \left( \int_0^{2x^2 + 8y^2 + 3x + 6y} 1\ \text{d} z\right)\ \text{d}x \text{d}y
\]
e fai il conto.
Il problema è che non riesco ad impostare quell'integrale doppio. Ho solo un vincolo e per usare fubini me ne servono quattro. Ho provato a passare alle coordinate polari, ma i vincoli non mi vengono lo stesso.
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