Aiuto con esercizi di analisi I

rocco.g1
ciao a tutti,
sono un nuovo iscritto e spero che mi possiate aiutare veramente !

sono iscritto ad ing. informatica e devo dare tra poco tempo l'esame di analisi I, ho le copie degli esami passati...però gli esercizi mi spaventano un pochino...non ho mai risolto esercizi cosi difficili e speravo che qualche anima pia qui mi potesse aiutare nello svolgimento degli esercizi...vi posto qui di seguito il testo degli esercizi...spero veramente ke qui possa trovare qualcuno che mi aiuti


Risposte
fireball1
Ciao, io frequento il quarto liceo, quindi mi sembra a dir poco "assurdo" dire che aiuto un universitario...

Comunque... Forse posso esserti utile per il limite, l'integrale e il grafico:

1) Il grafico di f(x)=|x^2-3x|*e^(-x) è il seguente:



2) Ti dico solo il risultato del limite: -5/4

Risultato dell'integrale:

4e^(-1/2)-3e^(-1)-1

Non credo comunque di esserti stato di grande utilità, visto che sicuramente richiedi anche i passaggi!

goblyn
1)
f(x)=|x^2-3x|e^(-x)

DOMINIO:
ogni x

SEGNO DELL'ARG. DEL MODULO
x^2-3x>0
x(x-3)>0

x<0 vel x>3

Quindi:

f1(x)=(x^2-3x)e^(-x) x<0 vel x>3
f2(x)=(3x-x^2)e^(-x) 0
SEGNO

La funzione è sempre positiva perché prodotto di un modulo e di un esponenziale (entrambi positivi!)
La funzione è nulla in x=0 e x=3

LIMITI
La funzione tende a 0 per x che tende a + inf per via dell'esponenziale.
Tende a +inf per x che tende a -inf perché l'esponenziale va a +inf così come x^2.

DERIVATA, MAX e MIN
x=0 e x=3 sono punti di minimo (con ordinata =0 per quanto detto sopra) perché la funzione è sempre >=0.

f1'(x)=(-x^2+5x-3)e^(-x)
f2'(x)=(x^2-5x+3)e^(-x)

f1'(x)=0 e f2'(x)=0 se x^2-5x+3=0 cioè se x=(5+-sqrt(13))/2

Studiando il segno della derivata vedi che entrambi i punti sono di massimo locale per la funzione.

f1''(x)=(x^2-7x+8)e^(-x)
f2''(x)=-f1''(x)

si annullano in x=(7+-sqrt(17))/2 dove ci sono due flessi.

La derivata sinistra nell'origine vale:

f1'(0)=-3

quella destra:

f2'(0)=3

Puoi trovare anche le pendenze in x=3...

il grafico è quello mostrato da fireball

goblyn
2)

cos(x) --> 1-(x^2)/2

sqrt(cos(x)) --> 1-(x^2)/4 [(1+epsilon)^alfa --> 1+alfa*epsilon]

e^(x^2) --> 1 + x^2

quindi

sqrt(cos(x))-e^(x^2) --> -(5/4)x^2

dividendo per x^2 si ottiene il valore del limite che è -5/4

goblyn
z^2-i6z-18=0

z=a+ib

(a+ib)^2-i6(a+ib)-18=0

a^2-b^2+i2ab-i6a+6b-18=0

separo parte reale e immaginaria:

a^2-b^2+6b-18=0
2ab-6a=0

dalla seconda ottengo a=0 vel b=3. Sostituiamo nella prima:

a=0
-b^2 + 6b -18=0

vel

b=3
a^2-9+18-18=0

------

a=0
nessuna b

a=+-3
b=3

le soluzioni sono quindi (dal secondo sistema):

z1=-3+i3
z2=+3+i3

Il modulo di entrambe le radici è sqrt(3^2+3^2)=3*sqrt(2)

La fase è arctan(1)=pi/4 per z2 e arctan(-1)=-pi/4 per z1.

goblyn
4)

l'arg. del modulo è positivo per x>1/2 e negativo per x<1/2

Puoi spezzare l'integrale da 0 a 1/2 e da 1/2 a 1.
Calcolo l'integrale indefinito:

INT (2x-1)e^(-x)dx = INT (2x-1)*[-e^(-x)]'dx

ora, per parti:

(2x-1)e^(-x) - INT 2e^(-x)dx =

= (2x-1)e^(-x) + 2e^(-x) =
=(2x+1)e^(-x)

Calcolato tra 1/2 e 1 fa:

3e^(-1)-2e^(-1/2)

calcolato tra 0 e 1/2 fa:

2e^(-1/2)-1

Il secondo risultato va cambiao di segno (ricordati il modulo...) e sommato al primo:

3/e-4/sqrt(e)+1

devo aver dimenticato un segno meno da qualche parte, ora devo andare e non ho tempo di trovarlo! Il risultato giusto è quello che ho trovato io cambiato di segno... ricercate l'errore!


Modificato da - goblyn il 06/11/2003 18:52:05

fireball1
Goblyn, io ottengo come risultato dell'integrale:

4e^(-1/2)-3e^(-1)-1

ovvero

4/sqrt(e) - 3/e - 1

È forse questo il risultato?

goblyn
sì appunto, è come il mio ma cambiato di segno. Chiedevo di trovare dove ho dimenticato un segno meno!

pavonis1
Scusate qualcuno può rispiegarmi come si risolve il limite di questo topic? Non capisco che significa che cosx --> (1-x^2)/2 .... ecc.

Camillo
Vuol semplicemente dire che , quando x tende a 0 , allora:
cos x è asintotico a : 1-(x^2/2) cioè si comporta allo stesso modo e quindi posso sostituire al posto di cos x l'espressione : 1-x^2/2 che è un binomio ed è più facile da trattare
* lo stesso vale , sempre quando x tende a 0 per :
(1+epsilon ) ^ alfa che è asintotico a : 1+alfa*epsilon
ed anche lo stesso avviene per :
e^x che è asintotico a : 1+x e quindi di conseguenza:
e^(x^2) è asintotico a 1+x^2 etc.che è il caso che interessa in questo esrcizio.
in conclusione sostituisci al posto di funzioni trascendenti o complicate dei polinomi che sono molto più facili da gestire e puoi quindi fare i conti e arrivare al valore del limite.
Comunque guarda sul libro : infinitesimi , sviluppi asintotici etc. per avere un base razionale di applicazione di questi concetti.
Se qualcosa non ti è chiaro , chiedi, perchè questa è una parte molto importante , va capita bene ; molti compitini si basano sull'applicazione di questi concetti
ciao
Camillo

Camillo
Nel caso specifico alfa vale 1/2, siamo cioè in presenza di una radice quadrata e quindi : (1+epsilon)^1/2= 1+epsilon /2.
Camillo

Camillo
Dato che prima ero un pò di fretta volevo rispiegare in dettaglio il limite per x che tende a 0 di : [sqrt(cos x )-(e^)x^2]/x^2, dato che mi sembra molto significativo.
Poichè per x che tende a 0 :

* cos x è asintotico a : 1-x^2/2
* sqrt(1+epsilon ) è asintotico a: 1+epsilon/2 e quindi essendo nel nostro caso : epsilon = -x^2/2 si ottiene che :
*sqrt(cos x ) è asintotico a : 1+ 1/2*(- x^2/2) = 1-x^2/4.

* e^x è asintotico a: 1+x
e quindi :
*e^(x^2) è asintotico a : 1+x^2.
Unendo insieme i vari punti sopra elencati si ottiene che il numeratore è asintotico ( SEMPRE PER X CHE TENDE A 0) a:
* [ 1-x^2/4-1-x^2] = -5*x^2/4.
Allora il rapporto num/denom vale : -5*x^2/(4*x^2) e il limite richiesto vale chiaramente : -5/4.
ciao
Camillo

rocco.g1
grazie ragazzi per avermi risposto !!!

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