Aiuto calcolo limite

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi mi date una mano con questo limite? Il problema credo sia principalmente a livello algebrico
$ lim_(x -> +- oo ) root(3)((x-2)(4-x)^2)-x $
il risultato dovrebbe essere -10/3.
Come procedo? grazie!

[pilloeffe]

Ciao Drenthe24,

Farei uso della ben nota identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
ove nel caso in esame $a := root[3]{(x -2)(4 - x)^2} $ e $b := x = root[3]{x^3} $, per cui si ha:

$lim_{x \to \infty} root(3)((x-2)(4-x)^2)-x = lim_{x \to \infty} root[3]{(x-2)(4-x)^2}-root[3]{x^3} = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{(root[3]{(x-2)(4-x)^2}-root[3]{x^3})(root[3]{(x-2)^2(4-x)^4} + x root[3]{(x -2)(4 - x)^2} + x^2)}{root[3]{(x-2)^2(4-x)^4} + x root[3]{(x -2)(4 - x)^2} + x^2} = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{(x-2)(4-x)^2- x^3}{root[3]{(x-2)^2(4-x)^4} + x root[3]{(x -2)(4 - x)^2} + x^2} = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{- 10x^2 + 32x - 32}{root[3]{(x-2)^2(x-4)^4} + x root[3]{(x -2)(x - 4)^2} + x^2} = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{- 10x^2}{x^2 + x^2 + x^2} = - 10/3 $