Aiutissimo con integrali

[axl_1986]

ciao ragazzi devo kiedervi ancora una mano.. questa volta però si tratta degli integrali... al momento mi ritrovo con funzioni che non sono in grado di integrare..ora vi posto qualche funzione così magari potete indicarmi qualche metodo..

$ x arctan(x/(x+1)) dx $

$ log(sqrt(x)/(x+1)) dx $

$ (tan^2 x + 5)/(tanx-2) dx $

ne ho tante altre.. ma se mi poteste spiegare il metodo da applicare..mi aiutereste tantissimo.. da premettere che dei vari metodi di integrazione.. nn c'ho capito moltissimo..

[_Tipper]

"axl_1986":$ x arctan(x/(x+1)) dx $

Per parti: $\frac{x^2}{2} "arctg"(\frac{x}{x+1}) - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{1 + (\frac{x}{x+1})^2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ e ora son tutte funzioni razionali...

[_Tipper]

"axl_1986":$ log(sqrt(x)/(x+1)) dx $

Poni $\sqrt{x} = t$, da cui $x = t^2$ e $dx = 2t dt$, pertanto l'integrale diventa

$2 \int t \log(\frac{t}{1 + t^2}) dt$

Integrando per parti si ottiene

$2 (\frac{t^2}{2} \log(\frac{t}{1 + t^2}) - \int \frac{t^2}{2} \frac{1 + t^2}{t} \frac{1 + t^2 - 2t^2}{(1 + t^2)^2} dt)$

E anche ora son rimaste da integrare solo funzioni razionali...

[_Tipper]

"axl_1986":$ (tan^2 x + 5)/(tanx-2) dx $

Facendo una divisione polimomiale fra numeratore e denominatore si scopre che

$\frac{"tg"^2(x) + 5}{"tg"^2(x) - 2} = "tg"(x) + 2 + \frac{9}{"tg"(x) - 2}$

I primi due termini sono facili da integrare, per l'ultimo termine prova a porre $"tg"(x) = t$, da cui $x = "arctg"(t)$, e $dx = \frac{1}{1 + t^2} dt$, da cui

$\int \frac{9}{"tg"(x) - 2} dx = \int \frac{9}{t - 2} \frac{1}{1 + t^2} dt$

e anche qui son rimaste solo funzioni razionali. Ti basta determinare tre costanti $a, b, c \in \mathbb{R}$ tali che

$\frac{9}{(t-2)(1 + t^2)} = \frac{a}{t - 2} + \frac{bt + c}{1 + t^2}$

e hai (quasi) finito.

[axl_1986]

grazie mille non potevi essere più chiaro di così.. solo non ho capito la "regola generale" dell'integrazione per parti.. cosa dovrei fare praticamente??

[_Tipper]

Supponi di avere due funzione $h(x)$ e $g(x)$, e supponi che $h(x)$ sia la derivata di $f(x)$. Allora la regola di integrazione per parti dice che

$\int h(x) g(x) dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) dx$

In pratica integri la $h(x)$ e lasci stare la $g(x)$ (questo per la parte fuori dall'integrale), per la parte dentro l'integrale riscrivi la $f(x)$ e derivi $g(x)$.

Se ci pensi bene, discende dalla regola di derivazione di un prodotto.

[axl_1986]

..ottimo..l'integrazione per parti è chiara.. solo nn capisco..quando tu dici..ora sono tutte funzioni razionali.. vuoi dire che le posso integrare singolarmente con gli integrali immediati?? potresti farmi un esempio con una delle integrali che ho postato??

grazie mille..ps sei stato kiarissimo..

[_Tipper]

Ad esempio...

"Tipper":$\int \frac{x^2}{2} \frac{1}{1 + (\frac{x}{x+1})^2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$

Svolgendo i prodotti si trova che questo integrale equivale a

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} - \frac{x + \frac{1}{2}}{2x^2 + 2x + 1})dx = \frac{1}{4} x - \frac{1}{8} \int \frac{4x + 2}{2x^2 + 2x + 1} dx = \frac{1}{4} x - \frac{1}{8} \ln(2x^2 + 2x + 1) + c$

[axl_1986]

uhmm capito.. per gli altri metodi di integrazione invece.. ci sono sempre delle "regole" generali?? nn sono riuscito a capire molto bene il metodo per sostituzione..

[_Tipper]

Se tu hai una funzione da integrare rispetto a $x$, ad esempio $\int g(x) dx$, puoi sostituire al posto di $x$, o più in generale di una funzione $f(x)$, una certa funzione di $t$, chiamiamola $h(t)$, purché entrambe siano invertibili nel dominio di integrazione (mi pare sia questa l'ipotesi del teorema di sostituzione, ma non sono sicuro al 100%)... In ogni caso, se poni

$f(x) = h(t)$, allora

$f'(x) dx = h'(t) dt$

oppure

$x = f^{-1}(h(t))dt$ da cui $dx = (\frac{d}{dx} f^{-1} (h(t)))dt$

Non ci sono regole generali con cui scegliere le funzioni $f(x)$ e $h(t)$, ci sono alcuni casi particolari, ad esempio, se devi risolvere un integrale con un seno (o coseno) al denominatore, ti conviene usare le formule parametriche e porre $t = "tg"(\frac{x}{2})$.

[axl_1986]

ok grazie mille.. stasera provo a farne qualucuna.. e nel caso ho dubbi ti faccio sapere..

[axl_1986]

"Tipper":[quote="axl_1986"]$ (tan^2 x + 5)/(tanx-2) dx $

Facendo una divisione polimomiale fra numeratore e denominatore si scopre che

$\frac{"tg"^2(x) + 5}{"tg"^2(x) - 2} = "tg"(x) + 2 + \frac{9}{"tg"(x) - 2}$

I primi due termini sono facili da integrare, per l'ultimo termine prova a porre $"tg"(x) = t$, da cui $x = "arctg"(t)$, e $dx = \frac{1}{1 + t^2} dt$, da cui

$\int \frac{9}{"tg"(x) - 2} dx = \int \frac{9}{t - 2} \frac{1}{1 + t^2} dt$

e anche qui son rimaste solo funzioni razionali. Ti basta determinare tre costanti $a, b, c \in \mathbb{R}$ tali che

$\frac{9}{(t-2)(1 + t^2)} = \frac{a}{t - 2} + \frac{bt + c}{1 + t^2}$

e hai (quasi) finito.[/quote]


Scusami se rispondo così tardi.. cmq guardando meglio la divisione polinomiale.. nn mi ritrovo con qualche calcolo.. io ottengo $ "tg"(x)-2 $ come quoziente e 9 come resto.. quindi penso di averla svolta correttamente solo poi non capisco come tu facci ad arrivare a:

$"tg"(x) + 2 + \frac{9}{"tg"(x) - 2}$

ti dico questo perchè io so che generalmente A(x) = B(x) * Q(x) + R(x)

[_Tipper]

Mi accorgo solo ora di aver fatto la divisione polinomiale considerando come denominatore $"tg"(x) - 2$ anziché $"tg"^2(x) -2$. In questo caso è più semplice, e non c'è bisogno di divisioni, ti basta solo considerare che il numeratore equivale a

$"tg"^2(x) - 2 + 7$

[axl_1986]

no no era corretto come avevi fatto tu..solo nn mi spiego il risultato della divisione..

[_Tipper]

Ah ho capito, allora avevo sbagliato a scrivere il denominatore. Allora, facendo la divisione polinomiale si ottiene come quiziente $"tg"(x) + 2$ e come resto $9$, fin qui ci sei?

[axl_1986]

si fin li ci sn..nn capisco come sei arrivato al risultato finale..

[_Tipper]

Ho semplicemente osservato che

$\frac{"dividendo"}{"divisore"} = "quoziente" + \frac{"resto"}{"divisore"}$

[axl_1986]

ok quindi quella è la regola generale? io avevo visto in internet diversamente.. cmq ora è tutto kiaro..

[_Tipper]

Non so che regola tu abbia potuto vedere... Per come è defintia la divisione (e come tu stesso hai detto)

$"dividendo" = ("quoziente") ("divisore") + "resto"$

dividendo (scusa il gioco di parole) ambo i membri per $"divisore"$ si ottiene

$\frac{"dividendo"}{"divisore"} = "quoziente" + \frac{"resto"}{"divisore"}$

[axl_1986]

ora sto provando a svolgere questo esercizio, dovrei integrare la seguente funzione:
$((x+1)/(sqrtx))*log(-x+1)$

dovrei applicare il metodo dell'integrazione per parti giusto?? ma la parte prima del log..come la integro?

[_Tipper]

Se interpreto bene il testo, ti basta considerare che

$\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$