Aiutissimo con integrali

[axl_1986]

ciao ragazzi devo kiedervi ancora una mano.. questa volta però si tratta degli integrali... al momento mi ritrovo con funzioni che non sono in grado di integrare..ora vi posto qualche funzione così magari potete indicarmi qualche metodo..

$ x arctan(x/(x+1)) dx $

$ log(sqrt(x)/(x+1)) dx $

$ (tan^2 x + 5)/(tanx-2) dx $

ne ho tante altre.. ma se mi poteste spiegare il metodo da applicare..mi aiutereste tantissimo.. da premettere che dei vari metodi di integrazione.. nn c'ho capito moltissimo..

[axl_1986]

"Tipper":Se interpreto bene il testo, ti basta considerare che

$\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$

scusa se ti contraddico.. ma nn mi sembra corretto.. portando $sqrtx$ a numeratore non diventa già $x^(1/2)$ ??? e poi per quanto riguarda il primo membro la x a numeratore che fine fa?? molto probabilemente sono io che nn ho capito il procedimento che hai fatto per arrivare al risultato..però te lo faccio presente cmq nn si sa mai

[_Tipper]

Cosa c'è che non capisci nei passaggi che ho fatto?

[axl_1986]

come dal secondo passaggio tu arrivi all'ultimo..

[_Tipper]

Mi sembrava chiaro...

$\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

[axl_1986]

uhmm continuo a nn capire..come può $x/sqrtx$ essere uguale a $sqrtx$ ??? come fai a fare quei passaggi??

[_Tipper]

Perché, per $x > 0 $, risulta $x = (\sqrt{x})^2$, pertanto $\frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$...

[axl_1986]

"Tipper":[quote="axl_1986"]$ (tan^2 x + 5)/(tanx-2) dx $

Facendo una divisione polimomiale fra numeratore e denominatore si scopre che

$\frac{"tg"^2(x) + 5}{"tg"^2(x) - 2} = "tg"(x) + 2 + \frac{9}{"tg"(x) - 2}$

I primi due termini sono facili da integrare, per l'ultimo termine prova a porre $"tg"(x) = t$, da cui $x = "arctg"(t)$, e $dx = \frac{1}{1 + t^2} dt$, da cui

$\int \frac{9}{"tg"(x) - 2} dx = \int \frac{9}{t - 2} \frac{1}{1 + t^2} dt$

e anche qui son rimaste solo funzioni razionali. Ti basta determinare tre costanti $a, b, c \in \mathbb{R}$ tali che

$\frac{9}{(t-2)(1 + t^2)} = \frac{a}{t - 2} + \frac{bt + c}{1 + t^2}$

e hai (quasi) finito.[/quote]

tornando a questa funzione.. i primi due termini come li integri?? poi per il resto dei termini quelli dv hai applicato la sostituzione non capisco xkè $x = "arctg"(t)$ e perchè $\int \frac{9}{"tg"(x) - 2} dx = \int \frac{9}{t - 2} \frac{1}{1 + t^2} dt$ poi vorrei sapere anche come fai ad integrare le funzioni razionali..purtroppo non so fare bene nemmeno quello..

[_Tipper]

$"tg"(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, dato che il seno è la derivata del coseno allora $\int "tg"(x) dx = \ln|cos(x)| + c$. Non ti dico come integrare $2$ per rispetto intellettuale.

[_Tipper]

Se poni $"tg"(x) = t$, allora $x = "arctg"(t)$. Derivando si ottiene

$dx = \frac{1}{1 + t^2} dt$

e sostituendo nell'integrale di partenza (che era $\int \frac{9}{"tg"(x) - 2} dx$) si ottiene

$\int \frac{9}{t-2} \frac{1}{1 + t^2} dt$

Quando devi integrare funzioni razionali, per prima cosa ti devi assicurare che il grado del numeratore sia minore del grado del denominatore. Se così non fosse fai una divisione polinomiale.
A questo punto se il numeratore è di primo grado e il denominatore di secondo, fai in modo di far comparire al numeratore la derivata del denominatore, in modo da avere, come primitiva, il logaritmo del denominatore.
Se il numeratore è una costante e il denominatore è di secondo grado, si agisce in tre modi diversi:

- se il denominatore è un quadrato perfetto, ovvero se ha due radici reali coincidenti, l'integrale è immediato

- se il denominatore ha due radici distinte, ti usare il principio di identità dei polinomi, secondo cui

$\frac{k}{(x - x_1)(x - x_2)} = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}$

per opportune costanti $A,B$

- se il denominatore ha due radici complesse coniugate, devi scriverlo come un quadrato più un altro termine positivo. Agendo sul denominatore devi riuscire ad arrivare ad una forma del tipo

$\frac{1}{1 + \frac{(x - x_0)^2}{k}}$

e il risultato sarà un arcotangente

Se il denominatore è di grado superiore a $2$, per prima cosa devi scomporlo, e applicando il principio di identità dei polinomi ti conviene ricondurti al caso di frazioni con denominatore di grado minore o uguale a $2$.

Spiegato così è un po' un casino, se magari posti qualche esercizio dove ti blocchi forse la questione potrebbe rivelarsi un po' più chiara...