Affermazione sulla funzione a due variabili

[chess71]

Sia $f$ una funzione definita da $RR^2->RR$, continua e positiva, con $lim_(|(x,y)|->infty) f(x,y)=0$
Allora $f$ ammette almeno punto di massimo assoluto.

Non ho compreso questa affermazione.

[Raptorista1]

Non hai compreso il significato, inteso come "cosa vogliono dire le parole/i simboli"?

Oppure non sei d'accordo con l'affermazione?

O che altro?

[Luca.Lussardi]

Fissa $x_0\in \mathbb R^2$ tale che $f(x_0)>0$ (altrimenti hai la funzione nulla e la tesi è banale) e ragiona sul sopralivello $\{x : f(x)>f(x_0)\}$.

[chess71]

scusa, ma se fisso un punto $x_0$ del piano tale che $f(x_0)=0$, significa che esiste un punto di massimo assoluto?
ma cosa succederebbe se la funzione fosse identicamente nulla in ogni punto del piano?

[Plepp]

...che ci sono infiniti massimi assoluti comunque, nemmeno io ho capito il tuo problema.

[Raptorista1]

Potrebbe esserlo, ma nel tuo caso il testo specifica che la funzione debba essere continua e positiva.
Sono queste due ipotesi a permetterti di concludere.

[chess71]

l'affermazione tradotta recita che se una funzione è continua e positiva e si annulla all'infinito, allora esisterà almeno un punto di massimo assoluto. Adesso l'ho visualizzata e mi sembra anche abbastanza chiaro come concetto.

Due appunti:
1) Non comprendo bene la condizione di continuità.
2) Il caso duale sarebbe quello di funzione negativa che si annulla all'infinito, sempre dotata di almeno un minimo?

[Raptorista1]

Se togli la continuità puoi avere situazioni come la funzione
\[
f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2}
\]
che non ha massimo assoluto.

Anche in quello che chiami "caso duale" è necessaria l'ipotesi di continuità.

[Plepp]

Se $f$ non è continua ovunque non è detto che esista $\max f$. Tipo
\[f(x)=\begin{cases}
a\ne 1 & \text{se}\ (x,y)= (0,0)\\
\left|\dfrac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| & \text{altrove}
\end{cases}
\]
è definita in tutto il piano, è continua ovunque tranne che nell'origine e positiva, ma non ammette massimo.

@Raptorista: la funzione dev'essere definita ovunque, quindi il tuo controesempio non va

EDIT: mo' che ci penso, manco il mio va' bene la funzione non è positiva ovunque...vabè penso sia chiaro il concetto.
EDIT$_2$: ora ho corretto. La tesi si ha anche se $f\ge 0$. Grazie tante, valore assoluto

[Raptorista1]

"Plepp":
@Raptorista: la funzione dev'essere definita ovunque, quindi il tuo controesempio non va

Era per fissare le idee, definitela nell'origine in modo opportuno!
Un po' di indipendenza, non possiamo fare tutto noi

[Plepp]

"Raptorista":[quote="Plepp"]
@Raptorista: la funzione dev'essere definita ovunque, quindi il tuo controesempio non va

Un po' di indipendenza, non possiamo fare tutto noi [/quote]
Certamente

[Luca.Lussardi]

Attenzione che io ho detto di fissare $x_0$ tale che $f(x_0)>0$, e non $f(x_0)=0$. Ragiona prima in una variabile, tanto l'argomento è lo stesso; vedi cosa succede al sopralivello di quota $f(x_0)$ date le tue ipotesi.

[chess71]

Ci provo.
Fissato $x_0$ con $f(x_0)>0$, se $f(x_0)>x$ per ogni $x$, allora $x_0$ è un massimo assoluto e abbiamo dimostrato la tesi
altrimenti significa che esiste una $x$ tale che $f(x)>f(x_0)$.
Adesso, essendo la funzione continua, mi sposto sull'asse reale cercando i punti che verificano la disuguaglianza, nel senso che seleziono di volta in volta nuovi candidati per il massimo.
Poichè la funzione a $infty$ si annulla ed è continua (quindi non puo' essere illimitata superiormente (?)), il processo di selezione del massimo determina almeno un candidato.
Corretto?

[Luca.Lussardi]

No, siamo completamente fuori strada, quello che hai scritto non è per niente rigoroso. Un disegno ti può aiutare, ragionando in una variabile: disegna una funzione che verifica le tue ipotesi e un sopralivello di quota $f(x_0)>0$. Vedi cosa puoi dire di questo sopralivello e come relazionare esso con la presenza dei massimi assoluti.

[chess71]

scusami ma non ci riesco, non ho il rigore del matematico

[Luca.Lussardi]

In una variabile: sia $f : \mathbb R \to \mathbb R$ è continua e positiva con $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ allora scelgo $x_0$ tale per cui $f(x_0)>0$. Per definizione di limite $f(x)<\varepsilon$ se $|x|>R$ per un certo $R>0$: posso fare in modo che $f(x_0)>\varepsilon$. Cosa puoi dire quindi del sopralivello $\{x : f(x)\geq f(x_0)\}$?

[chess71]

Il sopra livello è formato da tutte le $x<|x_0|$

[Luca.Lussardi]

No, non stai ragionando e pretendi che ti dia la soluzione completa, cosa che non farò. Prima di postare di nuovo pensa e rifletti su quello che scrivi.

[chess71]

Luca, la vita è veramente variabilissima, quindi meravigliosa.
Chi lo doveva dire che dopo 19 anni dovevo tornare a discutere di $epsilon$ piccolo a piacere (eh eh)

Torniamo a noi, con disegno alla mano di questo che, ormai, è diventato piu' di una semplice curiosità.
Scelto $x_0$ tale che $f(x_0)>epsilon$ allora $x_0 Se il sopralivello ${x:f(x)≥f(x_0)}$ contiene almeno un valore appartenente all'intervallo $(x_0,R)$, allora esiste relativamente a tale intorno almeno un punto di massimo relativo della funzione.
Se considero adesso valori di $x se il sopralivello è l'insieme vuoto, allora $x_0$ è punto di massimo

Spero di non aver detto troppe sciocchezze.

P.S. E' sempre bene quando il pensiero è tagliente.
Lo stesso non vale quando lo diventano le parole

[Luca.Lussardi]

"chess71":
Scelto $x_0$ tale che $f(x_0)>epsilon$ allora $x_0

Allora $|x_0|

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[chess71]

Grazie, soprattutto per lo stile rigoroso della trattazione.
Ho appena rivisto la mia precedente risposta e ancora sorrido di quanto fosse strampalata, adesso capisco: vabbè, ad ognuno il proprio mestiere!

Una nota che esula dal quesito: durante una risposta di Raptorista, sono stato incuriosito dal suo logo che si riferiva ad un certo progetto Eulero; sono andato a cercare di cosa si trattasse e ho avuto modo di leggere un paio dei quesiti proposti: ma quanto è vasta la matematica?
Oltretutto quei quesiti hanno la brutta caratteristica di sembrare "teoricamente" alla portata di tutti...