3 limiti di successioni
scusate ho risolto tre limiti di successioni ma non ho il risultato ed ho alcuni dubbi. vi metto i passaggi che ho fatto mi sapete dire se è giusto o dove ho sbagliato?
allora:
$ 1) lim_(n -> oo) root(n)(2^(n) + 3^(n) ) = (2^(n) + 3^(n))^(1/n) = (oo + oo )^(1/oo) = oo^0 $
il mio dubbio è: $ oo^0 $ fa 1 o è una forma indeterminata? se è indeterminata come si risolve?
passiamo al secondo....
$ 2) lim_(n -> oo) root(n)(n^2+2 // n^2+1) = root(n)(1) = 1 $
sotto la radice ho raccolto n quadro e ho semplificato.....questo credo sia giusto
passiamo all'ultimo
$ 3) lim_(n -> oo) sin n // sqrt(n) = -1leq sin n leq 1 // oo = 0 $
qui ho ragionato così: al numeratore c'è il seno chè è un numero compreso tra -1 e 1. il denominatore invece và a infinito.
quindi un numero compreso tra -1 e 1 fratto infinito fa zero....è giusto?
spero che si capisce così pootete aiutarmi.....grazie mille!
allora:
$ 1) lim_(n -> oo) root(n)(2^(n) + 3^(n) ) = (2^(n) + 3^(n))^(1/n) = (oo + oo )^(1/oo) = oo^0 $
il mio dubbio è: $ oo^0 $ fa 1 o è una forma indeterminata? se è indeterminata come si risolve?
passiamo al secondo....
$ 2) lim_(n -> oo) root(n)(n^2+2 // n^2+1) = root(n)(1) = 1 $
sotto la radice ho raccolto n quadro e ho semplificato.....questo credo sia giusto
passiamo all'ultimo
$ 3) lim_(n -> oo) sin n // sqrt(n) = -1leq sin n leq 1 // oo = 0 $
qui ho ragionato così: al numeratore c'è il seno chè è un numero compreso tra -1 e 1. il denominatore invece và a infinito.
quindi un numero compreso tra -1 e 1 fratto infinito fa zero....è giusto?
spero che si capisce così pootete aiutarmi.....grazie mille!
Risposte
2) è giusto, 3) è giusto anche se la notazione è parecchio brutta.
1) è da risolvere, $infty^0$ è una forma di indeterminazione.
1) è da risolvere, $infty^0$ è una forma di indeterminazione.
Per quanto riguarda il primo, non è impossibile.
Hai messo in evidenza in un altro limite, prova a fare la stessa cosa nel primo e dopo averlo fatto e fatto i tuoi conti ti accorgi che puoi usare le proprietà delle potenze.
Hai messo in evidenza in un altro limite, prova a fare la stessa cosa nel primo e dopo averlo fatto e fatto i tuoi conti ti accorgi che puoi usare le proprietà delle potenze.
grazie a tutti e due per le risposte.... mi confermate che il risultato del primo limite è 3? ho raccolto $ 3^n $ ....
ve ne posso chiedere un altro?questo qui:
$ 4) lim_(n -> oo ) root(n)(n!) $
non mi convince tanto il mio ragionamento che ora vi espongo:
allora per la formula di stearling (non so se si scrive così) so che $ n! ~~ n^n (sqrt(2pin)// e^n) $ cosi otterei questo limite:
$ lim_(n -> oo) root(n)(n^n (sqrt(2pin)// e^n)) = root(n)(n^n*0) = root(n)(0) = 0 $
se è sbagliato mi sapreste dire dove e come invece lo dovrei risolvere?
grazie ancora a tutti
ve ne posso chiedere un altro?questo qui:
$ 4) lim_(n -> oo ) root(n)(n!) $
non mi convince tanto il mio ragionamento che ora vi espongo:
allora per la formula di stearling (non so se si scrive così) so che $ n! ~~ n^n (sqrt(2pin)// e^n) $ cosi otterei questo limite:
$ lim_(n -> oo) root(n)(n^n (sqrt(2pin)// e^n)) = root(n)(n^n*0) = root(n)(0) = 0 $
se è sbagliato mi sapreste dire dove e come invece lo dovrei risolvere?
grazie ancora a tutti
3) è giusto.
per questo 4), fai i passaggi con calma e riportali, non saltare un mare di roba come hai fatto.
per questo 4), fai i passaggi con calma e riportali, non saltare un mare di roba come hai fatto.
mmm....non ci sono....
- allora innanzitutto ho sbagliato a usare quella formula? o è quella la strada da seguire?
- poi i passaggi che ho saltato sono questi:
la parte dentro parentesi tende a zero per l'ordine degli infiniti,e quindi mi rimane $ n^n * 0$ sotto la radice n-esima
$ n^n * 0$ fa zero? se si mi rimane radice n-esima di zero che dovrebbe essere zero
è sbagliato o no? perchè poi il libro nemmeno il risultato mi dà....
- allora innanzitutto ho sbagliato a usare quella formula? o è quella la strada da seguire?
- poi i passaggi che ho saltato sono questi:
la parte dentro parentesi tende a zero per l'ordine degli infiniti,e quindi mi rimane $ n^n * 0$ sotto la radice n-esima
$ n^n * 0$ fa zero? se si mi rimane radice n-esima di zero che dovrebbe essere zero
è sbagliato o no? perchè poi il libro nemmeno il risultato mi dà....
sì è la strada giusta. ah a proposito si scrive Stirling.
devi fare $lim_(n to +infty)root(n)((n^n*sqrt(2pin))/(e^n))$
ceca di farlo con calma, un passo alla volta, non è molto difficile.
ma non fare errori tipo svolgere mezzo limite, trovare uno $0$ e poi dire $n*0=0$.. non ha senso ti pare?
allora diresti anche che $lim_(n to +infty)n^3/n=lim_(n to +infty)1/n*n^3=0*n^3=0$ ??? non ha senso come vedi, i limiti vanno calcolati per bene, non solo un pezzo.
devi fare $lim_(n to +infty)root(n)((n^n*sqrt(2pin))/(e^n))$
ceca di farlo con calma, un passo alla volta, non è molto difficile.
ma non fare errori tipo svolgere mezzo limite, trovare uno $0$ e poi dire $n*0=0$.. non ha senso ti pare?
allora diresti anche che $lim_(n to +infty)n^3/n=lim_(n to +infty)1/n*n^3=0*n^3=0$ ??? non ha senso come vedi, i limiti vanno calcolati per bene, non solo un pezzo.
scusa abbi pazienza ma non riesco a vedere la soluzione....mi viene un forma indeterminata ti faccio vedere cosa ho fatto:
$ lim_(n -> oo ) root(n)((n^n * sqrt(2pin)) // e^n ) = root(n)(oo * oo // oo ) = (oo // oo)^(1 // n) = (oo // oo)^(1 // oo) = (oo // oo)^(0) $
stavolta ti ho messo tutti i passaggi che ho fatto ( saranno sbagliati però ci sono tutti
). dove sbaglio? grazie!
$ lim_(n -> oo ) root(n)((n^n * sqrt(2pin)) // e^n ) = root(n)(oo * oo // oo ) = (oo // oo)^(1 // n) = (oo // oo)^(1 // oo) = (oo // oo)^(0) $
stavolta ti ho messo tutti i passaggi che ho fatto ( saranno sbagliati però ci sono tutti
). dove sbaglio? grazie!
scusa ma come li risolvi tu i limiti?
scrivere $infty$ non ha senso, non puoi mica fare operazioni del genere $infty/infty$ !!! per quello si dice che è una forma di indeterminazione
svolgere un limite non vuol dire sostituire al asimbolo n$ il valore a cui tende e sperare di tirar fuori qualcosa di buono!
dovrai fare dei calcoli, ad esempio se hai, come in questo caso $lim_(ntoinfty)root(n)((n^n)/(e^n))$ e poi vabbè altra roba ma adesso non ci interessa, sarànaturale svolgere la radice no? quanto farà $root(n)(n^n)$ ?
scrivere $infty$ non ha senso, non puoi mica fare operazioni del genere $infty/infty$ !!! per quello si dice che è una forma di indeterminazione
svolgere un limite non vuol dire sostituire al asimbolo n$ il valore a cui tende e sperare di tirar fuori qualcosa di buono!
dovrai fare dei calcoli, ad esempio se hai, come in questo caso $lim_(ntoinfty)root(n)((n^n)/(e^n))$ e poi vabbè altra roba ma adesso non ci interessa, sarànaturale svolgere la radice no? quanto farà $root(n)(n^n)$ ?
lo so che infinito su infinito è forma indeterminata per questo ti dico che non mi viene!
se porto fuori dalla radice n alla n poi mi viene infinito per zero.....che è sempre forma indeterminata....cioè faccio così
$ n * root(n)(sqrt((2pin)) // e^n) $
scusa ma tu come lo risolvi? non puoi farmi vedere il procedimento che devo fare?so due giorni che ci provo!
se porto fuori dalla radice n alla n poi mi viene infinito per zero.....che è sempre forma indeterminata....cioè faccio così
$ n * root(n)(sqrt((2pin)) // e^n) $
scusa ma tu come lo risolvi? non puoi farmi vedere il procedimento che devo fare?so due giorni che ci provo!
ok il passaggio:
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\sqrt[n]{\frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n}}[/tex]
è corretto...
Ora rifletti, puoi portare qualcos'altro fuori dalla radice?
Per quanto riguarda il mostrarti tout-court la risoluzione dell'esercizio: non è stato fatto perché la filosofia di questo forum non è quella di un servizio di risoluzione esercizi gratuito
Siamo qui per aiutarci vicendevolmente in maniera costruttiva
[tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\sqrt[n]{\frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n}}[/tex]
è corretto...
Ora rifletti, puoi portare qualcos'altro fuori dalla radice?
Per quanto riguarda il mostrarti tout-court la risoluzione dell'esercizio: non è stato fatto perché la filosofia di questo forum non è quella di un servizio di risoluzione esercizi gratuito
Siamo qui per aiutarci vicendevolmente in maniera costruttiva
io sono testardo e voglio arrivare alla soluzione quindi riproviamo 
vi faccio vedere quest'altro tentativo e forse ci sono quasi...allora:
$ lim_(n -> oo) n / e * root(n)(sqrt(2pin) ) = lim_(n -> oo) n / e * root(n) (2^(1/2)*pi^(1/2)*n^(1/2)) = lim_(n -> oo) n / e * 2^(1/(2n))*pi^(1/(2n))*n^(1/(2n)) $
in poche parole rispetto a prima ho portato fuori anche $ 1/e^n $ e ho fatto un pò di calcoli...e arrivo qua:
$ n / e $ tende a $ oo $
$ 2^(1/(2n)) $ e $ pi^(1/(2n) $ tendono a 1
$ n^(1/(2n)) $ tende a 1 perchè c'è un limite notevole che dice che $ lim_(n -> oo) root(n)(n^k) = 1 AA k in RR $
quindi la conclsione è che $ lim_(n -> oo) root(n)(n!) = oo $
è giusto adesso? spero di si
vi faccio vedere quest'altro tentativo e forse ci sono quasi...allora:
$ lim_(n -> oo) n / e * root(n)(sqrt(2pin) ) = lim_(n -> oo) n / e * root(n) (2^(1/2)*pi^(1/2)*n^(1/2)) = lim_(n -> oo) n / e * 2^(1/(2n))*pi^(1/(2n))*n^(1/(2n)) $
in poche parole rispetto a prima ho portato fuori anche $ 1/e^n $ e ho fatto un pò di calcoli...e arrivo qua:
$ n / e $ tende a $ oo $
$ 2^(1/(2n)) $ e $ pi^(1/(2n) $ tendono a 1
$ n^(1/(2n)) $ tende a 1 perchè c'è un limite notevole che dice che $ lim_(n -> oo) root(n)(n^k) = 1 AA k in RR $
quindi la conclsione è che $ lim_(n -> oo) root(n)(n!) = oo $
è giusto adesso? spero di si
Direi di sì
c'ho messo un pò ma alla fine ci sono riuscito 
grazie a tutti per le risposte e per la pazienza!
grazie a tutti per le risposte e per la pazienza!
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