{-1}^n

[valesyle92]

una successione del tipo {(-1)^n} è di Cauchy ?

[DavideGenova1]

Direi proprio di no: una successione di Cauchy è tale che $AA\epsilon>0 EEN : AA m,n > N |x_m-x_n|<\epsilon$ e, comunque fissato N, se prendi per esempio m > N pari e n > N dispari, hai che $|x_m-x_n|=|(-1)^m-(-1)^n|=2$.
Ciao!

[valesyle92]

ma 2 è un numero piccolo quindi la successione dovrebbe essere di Cauchy xke quando la distanza fra i termini è piccola...dove sbaglio?

[dissonance]

"valesyle92":ma 2 è un numero piccolo

Per te, forse. Per me invece è piccolo 0.000002 e quindi 2, che è un milione di volte più grande, è grande. Punti di vista

[valesyle92]

ahahhah grande dissonance ! ma allora come si fa a capire se uno è piccolo o è grande?

[dissonance]

Non devi verificare per un numero solo, ma "per ogni \(\varepsilon\)". Ovvero, per quanto piccolo tu possa prendere un valore di soglia \(\varepsilon\), devi poter trovare un \(N\) tale che da questo \(N\) in poi la distanza tra i termini della successione sia più piccola di \(\varepsilon\). Come nota Davide, se prendi il valore di soglia \(\varepsilon\) più piccolo di 2, sei fregata: hai voglia a considerare termini successivi ad \(N\) grandi, troverai sempre termini che distano tra loro più del valore di soglia. E quindi addio condizione di Cauchy.

Aiuta visualizzare la situazione geometricamente: prova a disegnare la retta \(\mathbb{R}\) e impara a rappresentare le successioni numeriche come successioni di puntini. Ecco per esempio come appare \(1/n\) (i primi dieci termini):

[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=-0.01; ymax=0.01; axes(); dot([1, 0]); dot([0.5, 0]); dot([0.33, 0]); dot([0.25, 0]); dot([0.20, 0]);dot([1/6, 0]); dot([1/7, 0]); dot([1/8, 0]); dot([1/9, 0]); dot([1/10, 0]);[/asvg]

La successione è di Cauchy. Fai un disegno del genere con \((-1)^n\) e vedi invece come la situazione appare subito molto diversa.

[albertobosia]

per controllare se è di cauchy in \(\mathbb R\) ti basta controllare se è convergente

[valesyle92]

si giusto se è convergente sara' sicuramente di Cauchy .. ma cmq non tutte le successioni di Caucy sono convergenti!

[albertobosia]

non ti preoccupare: in \(\mathbb R\) (e più in generale in qualsiasi spazio compatto per successioni) le successioni di cauchy sono tutte convergenti.

[valesyle92]

OKEY GRAZIEEEE :):):):) molto gentile ad aiutarmi!

[dissonance]

"albertobosia":per controllare se è di cauchy in \(\mathbb R\) ti basta controllare se è convergente

E vabbé ma così perdi tutta l'essenza del criterio di Cauchy, che è molto utile in analisi, sai? E' MOLTO più difficile stabilire se una successione è convergente di quanto non sia stabilire se è di Cauchy.

"albertobosia":non ti preoccupare: in \(\mathbb R\) (e più in generale in qualsiasi spazio compatto per successioni) le successioni di cauchy sono tutte convergenti.

\(\mathbb{R}\) non è uno spazio "compatto per successioni". Ti confondi con la nozione di "spazio metrico completo".

[albertobosia]

"dissonance":[quote="albertobosia"]per controllare se è di cauchy in \(\mathbb R\) ti basta controllare se è convergente

E vabbé ma così perdi tutta l'essenza del criterio di Cauchy, che è molto utile in analisi, sai? E' MOLTO più difficile stabilire se una successione è convergente di quanto non sia stabilire se è di Cauchy.[/quote]cercavo di semplificare il problema. in questo caso mi sembra più lampante che non sia convergente.

"dissonance":[quote="albertobosia"]non ti preoccupare: in \(\mathbb R\) (e più in generale in qualsiasi spazio compatto per successioni) le successioni di cauchy sono tutte convergenti.

\(\mathbb{R}\) non è uno spazio "compatto per successioni". Ti confondi con la nozione di "spazio metrico completo".[/quote]hai chiaramente ragione.

[dissonance]

"albertobosia":in questo caso mi sembra più lampante che non sia convergente.

Ecco, no, vorrei insistere su questo punto che secondo me è estremamente importante per l'analisi matematica come è oggi.

In realtà non è più lampante che non sia convergente. Concettualmente, dire che una successione "non è convergente" è un casino, se ci pensiamo un attimo. Bisognerebbe testare TUTTI i numeri reali \(l\) e poter dire per ciascuno che non è verificata la definizione di limite (per ogni \(\varepsilon\) esiste \(N\) tale che per ogni \(n\) più grande di \(N\) risulta \(|x_n-l|< \varepsilon\)). Molto macchinoso.

Invece il criterio di Cauchy è formidabile perché permette di risolvere tali questioni SENZA tirare in ballo il limite, ma analizzando solo i termini della successione. Dire che una successione "non è di Cauchy" non è particolarmente tragico: basta fare un discorso simile a quello proposto da Davide in uno dei primi post. E questo esclude automaticamente che la successione possa essere convergente.

Vale anche un discorso inverso, cosa che rende il criterio di Cauchy ancora più utile. Volendo dimostrare che una successione è convergente, occorrerebbe prima sapere a cosa converge e poi verificare la definizione di limite. Ma se ancora ci stiamo chiedendo se la successione converge, come facciamo a sapere già quale sarà il limite? Questa empasse rende completamente inservibili i metodi dell'analisi sui numeri razionali. Ma sui numeri reali, nei quali una successione di Cauchy è automaticamente convergente, abbiamo a disposizione lo strumento del criterio di Cauchy, che ci permette di uscire dall'empasse.

[albertobosia]

argomentazione interessante, devo dire.

[valesyle92]

grande dissonance ...discorso molto chiaro e utilissimo!